_浙江省宁波市宁海县跃龙中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份_浙江省宁波市宁海县跃龙中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若a＜b，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．a+2＜b+2B．2﹣a＜2﹣bC．ac＜bcD．am2＜bm2
3．下列选项中a的值，可以作为命题“a2＞6，则a＞3”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2B．a＝4C．a＝﹣2D．a＝﹣4
4．将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
5．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D．∠C＝90°，AB＝6
6．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°
7．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD＝（ ）
A．3：4B．4：3C．16：9D．9：16
8．若不等式组的解集为1＜x＜2，则（m+n）2022的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
9．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP为直角三角形时，则运动的时间为（ ）
A．3sB．3s或4sC．1s或4sD．2s或3s
10．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（ ）
A．13B．15C．16D．17
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．命题“对顶角相等”的逆命题是 ．
12．平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣2）与点 关于y轴对称．
13．如果关于x的不等式（a﹣2023）x＞a﹣2023的解集为x＜1，那么a的取值范围是 ．
14．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝ ．
15．如果一个三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则∠C＝ °．
16．图1是小馨在“天猫双12”活动中购买的一张多挡位可调节靠椅．档位调节示意图如图2所示，已知两支脚AB＝AC＝0.7米，BC＝0.84米，O为AC上固定连接点，靠背OD＝0.7米．档位为Ⅰ档时，OD∥AB，档位为Ⅱ档时，OD'⊥AC．当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端D向后靠的水平距离（即EF）为 米．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．第17、18题各6分，第19、20、21、22题各8分，第23题10分，第24题12分）
17．解不等式组，并把解表示在数轴上．
18．如图，AB∥DE，∠A＝∠D，BE＝CF．
（1）线段AC＝ （填写图中现有的一条线段）；
（2）证明你的结论．
19．如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，连结AE，CD．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）连结AD，若∠BDC＝150°，DB＝3，CD＝5，求AD的长．
20．如图，在平面直角坐标系中A（1，4），B（5，0），C（2，1）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）请求出△A1B1C1的面积为 ．
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC最小，最小值为 ．
21．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝2a﹣b，例如：5@3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝﹣6﹣5＝﹣11．
（1）若x@3＜5，求x的取值范围；
（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的取值范围．
22．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表：
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
23．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝10cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒2厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．
（1）求AB的长；
（2）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（请在备用图中画出具体图形）
24．【思维启迪】
（1）如图1，点P是线段AB，CD的中点，则AC与BD的数量关系为 ，位置关系为 ；
【思维探索】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使CE＝CD，连接AE，若BD⊥AE，请用等式表示AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由；
★小明思考良久后，根据CE＝CD这一条件，给出了如图4的辅助线：延长AC到T，使得CT＝AC，连接DT，BT．请你根据小明给出的辅助线，继续猜想AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD．若AF＝8，CF＝3，请求出FD的长．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．若a＜b，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．a+2＜b+2B．2﹣a＜2﹣bC．ac＜bcD．am2＜bm2
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
解：A、不等式两边都加2，得a+2＜b+2，故A符合题意；
B、不等式的两边都乘以﹣1，再两边都加2，得2﹣a＞2﹣b，故B不符合题意；
C、不等式的两边都乘以c，c可正可负可为0，所以不等号的方向不确定，故C不符合题意；
D、不等式的两边都乘以m2，m2可正可为0，所以不等号的方向不确定，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．下列选项中a的值，可以作为命题“a2＞6，则a＞3”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2B．a＝4C．a＝﹣2D．a＝﹣4
【分析】根据举反例时需满足命题的题设，而不满足命题的结论即可作答．
解：用来证明命题“a2＞6，则a＞3”是假命题的反例可以是：a＝﹣4，
∵（﹣4）2＞6，但是a＝﹣4＜3，
∴选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用举反例法证明一个命题是假命题，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．
4．将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【分析】如图（见解析），先根据三角板可得∠2＝45°，∠4＝30°，再根据角的和差可得∠3＝45°，然后根据三角形的外角性质即可得．
解：如图，由题意可知，∠2＝45°，∠4＝30°，
∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，
∴∠3＝90°﹣∠2＝45°，
∴∠1＝∠3+∠4＝45°+30°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
5．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D．∠C＝90°，AB＝6
【分析】根据三角形的三边关系以及确定三角形的条件有SAS、AAS、ASA、SSS、HL，即可判断．
解：A、错误．∵3+4＜8，不能够成三角形．
B、正确．已知两角夹边，三角形就确定了．
C、错误．边边角不能确定三角形．
D、错误．一角一边不能确定三角形．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
6．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°
【分析】分这个角为底角和顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解即可．
解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，
当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD＝（ ）
A．3：4B．4：3C．16：9D．9：16
【分析】利用角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1＝h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比＝AB：AC＝8：6＝4：3，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．
8．若不等式组的解集为1＜x＜2，则（m+n）2022的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得2﹣m＜x＜n+4，从而可得2﹣m＝1，n+4＝2，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可解答．
解：，
解不等式①得：x＞2﹣m，
解不等式②得：x＜n+4，
∴原不等式组的解集为：2﹣m＜x＜n+4，
∵不等式组的解集为1＜x＜2，
∴2﹣m＝1，n+4＝2，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴（m+n）2022＝[1+（﹣2）]2022
＝（﹣1）2022
＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP为直角三角形时，则运动的时间为（ ）
A．3sB．3s或4sC．1s或4sD．2s或3s
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可得AH的长，进一步可得BH的长，当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当点P运动到点H时，∠APB＝90°；②当点P运动到∠BAP＝90°时，分别求解即可．
解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AH＝cm，
根据勾股定理，得BH＝3cm，
当△ABP为直角三角形时，分两种情况：
①当点P运动到点H时，∠APB＝90°，
此时运动时间为3÷1＝3（s），
②当点P运动到∠BAP＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴BP＝2AP，
在Rt△ABP中，根据勾股定理，得AP2+AB2＝（2AP）2，
解得AP＝2cm，
∴BP＝4cm，
此时运动时间为4÷1＝4（s），
综上所述，满足条件的运动时间有3s或4s，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，动点问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
10．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（ ）
A．13B．15C．16D．17
【分析】作点M关于直线CD的对称点G，过点G作GN⊥AB于点N，GN交CD于点P，由垂线段最短可知MP+NP的最小值为GP+NP＝NG，再根据含30°角的直角三角形性质求解即可．
解：如图，作点M关于直线CD的对称点G，过点G作GN⊥AB于点N，GN交CD于点P，
∴MP＝GP，
∵GN⊥AB，
∴MP+NP＝GP+NP，
由垂线段最短可知，MP+NP的最小值为NG，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵GN⊥AB，
∴∠BNC＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BN＝9，
∴BG＝2BN＝18，
∴MG＝BG﹣BM＝10，
∴MC＝MG＝5，
∴BC＝BM+MC＝13＝AC．
故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形性质，解题关键是作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．命题“对顶角相等”的逆命题是 相等的角为对顶角 ．
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为：相等的角为对顶角．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
12．平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣2）与点 （1，﹣2） 关于y轴对称．
【分析】根据关于y轴对称的点性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等即可解答．
解：平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣2）与点（1，﹣2）关于y轴对称．
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】根据关于y轴对称的点性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等即可解答．
13．如果关于x的不等式（a﹣2023）x＞a﹣2023的解集为x＜1，那么a的取值范围是 a＜2023 ．
【分析】根据题意可得a﹣2023＜0，然后进行计算即可解答．
解：∵关于x的不等式（a﹣2023）x＞a﹣2023的解集为x＜1，
∴a﹣2023＜0，
∴a＜2023，
故答案为：a＜2023．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
14．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝ 5 ．
【分析】设EC＝x，在Rt△ABE中，由勾股定理得42+（8﹣x）2＝x2，即可解得答案．
解：设EC＝x，则BE＝8﹣x，
∵将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，
∴AE＝EC＝x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴EC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能应用勾股定理列方程解决问题．
15．如果一个三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则∠C＝ 125或110 °．
【分析】根据“准互余三角形”的定义知∠A+2∠B＝90°，或2∠A+∠B＝90°，即可求出∠B的度数，从而得出答案．
解：∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，
∴∠A+2∠B＝90°，或2∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠B＝35°，或∠B＝50°，
∴∠C＝125°，或∠C＝110°，
故答案为：125或110．
【点评】本题主要考查了新定义题，三角形内角和定理等知识，读懂题意，求出∠B的度数是解题的关键．
16．图1是小馨在“天猫双12”活动中购买的一张多挡位可调节靠椅．档位调节示意图如图2所示，已知两支脚AB＝AC＝0.7米，BC＝0.84米，O为AC上固定连接点，靠背OD＝0.7米．档位为Ⅰ档时，OD∥AB，档位为Ⅱ档时，OD'⊥AC．当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端D向后靠的水平距离（即EF）为 0.14 米．
【分析】过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，再次证明全等：△ABG≌△DON，△ACG≌△OD'M，便可解决问题．
解：过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，如图所示，
则OM＝HE，ON＝HE，
∵AB＝AC＝0.7米，BC＝0.84米，
∴BG＝CG＝BC＝0.42米，
∴AG＝＝0.56（米），
∵AB∥OD，BC∥OM，
∴∠ABG＝∠DON，
在△ABG和△DON中，
，
∴△ABG≌△DON（AAS），
∴BG＝ON＝HE＝0.42米，
∵OD'⊥AC．
∴∠D'OM+∠MOC＝90°，
∵OM∥BC，
∴∠MOC＝∠ACG，
∵∠ACG+∠CAG＝90°，
∴∠CAG＝∠D'OM，
在△ACG和△OD'M中，
，
∴△ACG≌△OD'M（AAS），
∴AG＝OM＝HF＝0.56米，
∴EF＝HF﹣HE＝0.56﹣0.42＝0.14（米），
故答案为：0.14．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是构造全等三角形．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．第17、18题各6分，第19、20、21、22题各8分，第23题10分，第24题12分）
17．解不等式组，并把解表示在数轴上．
【分析】分别求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集，最后把不等式组的解集表示在数轴上即可
解：，
解：由不等式①得：x＜2，
由不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，
把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示：
【点评】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是准确解出两个不等式组的解集，注意不等式两边同除以一个相同的负数，不等号方向要发生改变．
18．如图，AB∥DE，∠A＝∠D，BE＝CF．
（1）线段AC＝ DF （填写图中现有的一条线段）；
（2）证明你的结论．
【分析】（1）结合题中所给条件并且观察图形可知△ABC≌△DEF，则AC＝DF，于是得到问题的答案；
（2）由AB∥DE，得∠B＝∠DEF，由BE＝CF，推导出BC＝EF，而∠A＝∠D，即可根据“AAS”证明△ABC≌△DEF，则AC＝DF．
【解答】（1）解：结合题中所给条件并且观察图形可知△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
故答案为：DF．
（2）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝EF+CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
19．如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，连结AE，CD．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）连结AD，若∠BDC＝150°，DB＝3，CD＝5，求AD的长．
【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°，再证∠CBD＝∠ABE，然后由SAS判定△ABE≌△CBD即可；
（2）由等边三角形的性质得∠BED＝60°，DE＝DB＝3，再由全等三角形的性质得AE＝CD＝5，∠BEA＝∠BDC＝150°，则∠AED＝90°，然后由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，
即∠CBD＝∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：如图，∵△BDE是等边三角形，
∴∠BED＝60°，DE＝DB＝3，
由（1）可知，△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD＝5，∠BEA＝∠BDC＝150°，
∴∠AED＝∠BEA﹣∠BED＝150°﹣60°＝90°，
∴AD＝＝＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中A（1，4），B（5，0），C（2，1）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）请求出△A1B1C1的面积为 4 ．
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC最小，最小值为 3 ．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用两直角边分别为3、3的直角三角形面积减去一个直角边分别为1、3的直角三角形面积和底为1、3，高为1的提醒面积；
（3）作点C关于y轴的对称点，连接AC′，与y轴的交点即为所求，其最小值即为AC′的长度，根据勾股定理求解即可．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为×4×4﹣×1×3﹣×（1+4）×1＝4，
故答案为：4；
（3）如图所示，点P即为所求，其最小值为AC′的长度，为＝3．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．
21．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝2a﹣b，例如：5@3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝﹣6﹣5＝﹣11．
（1）若x@3＜5，求x的取值范围；
（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的取值范围．
【分析】（1）根据新定义列出关于x的不等式，解之可得；
（2）先解关于x的方程得出x＝1，再将x＝1代入x@a＜5列出关于a的不等式，解之可得．
解：（1）∵x@3＜5，
∴2x﹣3＜5，
解得：x＜4；
（2）解方程2（2x﹣1）＝x+1，得：x＝1，
∴x@a＝1@a＝2﹣a＜5，
解得：a＞﹣3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式及一元一次方程，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
22．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表：
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据前两周两种自行车的销售数量及销售总利润，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出a，b的值；
（2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出各销售方案，再利用总利润＝每辆的利润×销售数量，可分别求出各方案获得的总利润，比较后可得出：该专卖店售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元．
解：（1）依题意得：，
解得：．
答：a的值为80，b的值为120．
（2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，
依题意得：，
解得：10≤x＜12.5，
∵x为整数，
∴x可以为10，11，12．
当x＝10时，25﹣x＝15，此时利润＝10×80+15×120＝2600（元）；
当x＝11时，25﹣x＝14，此时利润＝11×80+14×120＝2560（元）；
当x＝12时，25﹣x＝13，此时利润＝12×80+13×120＝2520（元）．
∵2600＞2560＞2520，
∴该专卖店售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝10cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒2厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．
（1）求AB的长；
（2）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（请在备用图中画出具体图形）
【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB即可；
（2）首先证∠ABD＝∠ACE＝45°，再分两种情况进行讨论：①当点E在射线CM上运动时，由于∠ABD＝∠ACE＝45°，则点B必在CD上，依题意得：CD＝3t cm，CE＝2t cm，BD＝（10﹣3t）cm，显然当BD＝CE时，△ABD≌△ACE，由此得10﹣3t＝2t，据此解出t即可；②当点E在CM的反向延长线上时，由于∠ACE＝∠ABD＝135°，则点D必在CB的延长线上，显然当BD＝CE时，△ABD≌△ACE，由此得3t﹣10＝2t，据此解出t即可．
解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝10cm，
由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，
∴2AB2＝102，
∴AB2＝50，
∴AB＝（cm）；
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝10cm，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
又∵CM⊥BC，
∴∠BCM＝90°，
∴∠ACE＝∠BCM﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
分两种情况讨论如下：
①当点E在射线CM上运动时，
∵∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴点B必在CD上，如图1所示：
依题意得：CD＝3t cm，CE＝2t cm，
∴BD＝BC﹣CD＝（10﹣3t）cm，
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴当BD＝CE时，△ABD≌△ACE，
∴10﹣3t＝2t，
解得：t＝2，
即当t为2秒时，△ABD≌△ACE；
②当点E在CM的反向延长线上时，
∵∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝45°+90°＝135°，
∴点D必在CB的延长线上，如图2所示：
∵∠ABD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABD＝∠ACE＝135°，
又∵AB＝AC，
∴当BD＝CE时，△ABD≌△ACE，
∵CD＝3t cm，CE＝2t cm，
∴BD＝CD﹣BC＝（3t﹣10）cm，
∴3t﹣10＝2t，
解得：t＝10，
即当t为10秒时，△ABD≌△ACE．
综上所述：当t为2秒或10秒时，△ABD≌△ACE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质是解决问题的关键．
24．【思维启迪】
（1）如图1，点P是线段AB，CD的中点，则AC与BD的数量关系为 AC＝BD ，位置关系为 AC∥BD ；
【思维探索】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使CE＝CD，连接AE，若BD⊥AE，请用等式表示AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由；
★小明思考良久后，根据CE＝CD这一条件，给出了如图4的辅助线：延长AC到T，使得CT＝AC，连接DT，BT．请你根据小明给出的辅助线，继续猜想AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD．若AF＝8，CF＝3，请求出FD的长．
【分析】（1）证△PAC≌△PBD（SAS），得AC＝BD，∠A＝∠B，即可得出AC∥BD；
（2）过点D作DF∥AE，使DF＝AE，连接CF、BF，证△AEC≌△FDC（SAS），得∠ACE＝∠FCD，AC＝CF，再证AB＝BF，进而证BD⊥DF，然后由勾股定理即可得出结论；
★延长AC到T，使得CT＝AC，连接DT，BT，同法可证AE＝DT，AE∥DT，再证BD⊥DT，进而由勾股定理得BT2＝DT2+BD2＝AE2+BD2，然后证BT＝BA，即可得出结论；
（3）延长FD到T，使得DT＝DF，连接BT，延长CE交BT于点J，证△ADF≌△BDT（SAS），得AF＝BT＝8，∠FAD＝∠TBD，再证△AFC≌△CJB（AAS），得CF＝BJ＝3，AF＝CJ＝8，然后证△FJT是等腰直角三角形，得FT＝FJ＝5，即可得出结论．
解：（1）∵点P是线段AB、CD的中点，
∴PA＝PB，PC＝PD，
在△PAC和△PBD中，
，
∴△PAC≌△PBD（SAS），
∴AC＝BD，∠A＝∠B，
∴AC∥BD．
故答案为：AC＝BD，AC∥BD；
（2）AB，BD，AE之间的数量关系：AB2＝AE2+BD2，理由如下：
如图2，过点D作DF∥AE，并使DF＝AE，连接CF、BF，
则∠AEC＝∠FDC，
在△AEC和△FDC中，
，
∴△AEC≌△FDC（SAS），
∴∠ACE＝∠FCD，AC＝CF，
∴点A、C、F三点共线，
∵∠ACB＝90°，AC＝CF，
∴AB＝BF，
∵BD⊥AE，DF∥AE，
∴BD⊥DF，
∴BF2＝DF2+BD2，
∴AB2＝AE2+BD2；
★根据小明给出的辅助线，AB，BD，AE之间的数量关系：AB2＝AE2+BD2，理由如下：
如图4，延长AC到T，使得CT＝AC，连接DT，BT，
同理可证AE＝DT，AE∥DT，
∵BD⊥AE，
∴BD⊥DT，
∴∠TDB＝90°，
∴BT2＝DT2+BD2＝AE2+BD2，
∵CB⊥AC，AC＝CT，
∴BT＝BA，
∴AB2＝AE2+BD2；
（3）如图3，延长FD到T，使得DT＝DF，连接BT，延长CE交BT于点J，
∵点D为AB中点，
∴AD＝BD，
在△ADF和△BDT中，
，
∴△ADF≌△BDT（SAS），
∴AF＝BT＝8，∠FAD＝∠TBD，
∴AF∥BT，
∵AF⊥CJ，
∴CJ⊥BT，
∴∠AFC＝∠CJB＝∠ACB＝90°，
∵∠ACF+∠BCJ＝90°，∠BCJ+∠CBJ＝90°，
∴∠ACF＝∠CBJ，
在△AFC和△CJB中，
，
∴△AFC≌△CJB（AAS），
∴CF＝BJ＝3，AF＝CJ＝8，
∴JT＝BT﹣BJ＝8﹣3＝5，FJ＝CJ﹣CF＝8﹣3＝5，
∴FJ＝JT，
∵∠FJT＝90°，
∴△FJT是等腰直角三角形，
∴FT＝FJ＝5，
∴DF＝FT＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
A型车销售量（辆）
B型车销售量（辆）
总利润（元）
第一周
10
12
2240
第二周
20
15
3400
A型车销售量（辆）
B型车销售量（辆）
总利润（元）
第一周
10
12
2240
第二周
20
15
3400