江苏省南京市浦口区南京书人实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份江苏省南京市浦口区南京书人实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1．平面内，已知⊙O的半径是4cm，线段，则点P（ ）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
2．一元二次方程配方后可化为（ ）
A．B．C．D．
3．一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，则x的值不可能是（ ）
A．12B．8C．6D．4
4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BD平分，若，则∠ABD的度数为（ ）
（第4题）
A．20°B．25°C．30°D．35°
5．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的（ ）A．B．C．D．
6．如图，⊙O经过菱形ABCD的顶点A，B，C，顶点D在⊙O内，延长AD，CD与⊙O分别交于点E，F，连接BE，BF．下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ）
（第6题）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．方程（的解是______．
8．请填写一个常数，使得关于x的方程______有两个不等的实数根．
9．某城市2020年底绿化面积为300公顷，经过两年绿化，到2022年底绿化面积为363公顷，则绿化面积平均每年的增长率为______．
10．用一个圆心角为90°的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为4，则圆锥的侧面积为______．
11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，，，点E在上，则______°．
（第11题）
12．如图，在中，，，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，AC分别相切于点D，E，DE与BO的延长线交DE于点F，则______°．
（第12题）
13．不透明的盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率是；放回后，往盒中再放进10枚黑棋，搅匀后从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率为，则______，______．
14．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是⊙O的弦，N是AB的中点，MN⊥AB，垂足为N．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：．当，时，则l的值为______．
（第14题）
15．如图，⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，若正八边形的边长为2，则的长为______．
（第15题）
16．如图，AD是△ABC的高，以O为圆心的两个同心圆，小圆经过点A，D，大圆经过点B，C，若小圆半径为6，大圆半径为10，则______．
（第16题）
三、解答题（本大题共11小题，共88分．）
17．（8分）解下列方程：
（1）；（2）
18．（9分）小南家到学校有A，B两条公交线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小南做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车1次并分别记录所用时间（单位：min），数据如下：
A，B线路所用时间统计表
（1）填表：
（2）计算A，B两条线路所用时间的方差；结合数据你认为小南选择哪一条乘车路线更好？并说明理由．
19．（8分）甲、乙两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择A景点的概率为______；
（2）求甲、乙两人至少有一人选择A景点的概率．
20．（7分）如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍．从这块空地上划出“型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了2m，长减少了3m，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽.
（第20题）
21．（8分）如图，在⊙O中，MN为直径，AB为弦，且MN⊥AB，垂足为C．
（第21题）
（1）若，，求BM的长度；
（2）若，则______°．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值．
23．（8分）如图，在△ABC中，，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作⊙O的切线，与BC交于点E，与AB的延长线交于点F.
（第23题）
（1）求证：DF⊥BC；
（2）若B是OF的中点，，则图中阴影部分的面积为______．
第2页
24．（8分）某农业合作社以64000元的成本收购了某种农产品80吨，目前可以以1200元／吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元．那么，储藏多少个星期售完这批农产品可获利122000元？
25．（6分）已知P为⊙O外一点，用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
①②
（1）如图①，在⊙O上求作一个点M，使；
（2）如图②，在⊙O上求作一个点N，使
26．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF．
（第26题）
（1）求证：；
（2）若，求证：CB是⊙O的切线.
27．（10分）“等弧”的探究．
【初步研究】
（1）如图①，AB，分别是⊙O，的弦，，，求证：
①
【深入研究】
（2）如图②，在中，，是以A为圆心且与BC相切的弧，在△ABC的内部（包含边界）存在，使，且点M，N分别在边AB，AC上．
①在图②中，用直尺和圆规作出一条；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
②若，，则满足条件的所在圆的圆心轨迹的长度为______．
②
【解决问题】
（3）如图③，折扇OAB完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA长为30cm．为了装饰折扇，现需从四边形丝绸材料CDEF中裁剪出，使，且为了节约材料，与边DE，EF均相切．已知，，，请在图中用直尺和圆规作出满足条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
③
九年级数学学习单参考答案
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7． 8．0（＜4即可） 9．10% 10．64π 11．126°
12．40° 13．， 14． 15． 16．672
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题8分）
（1）解：
，
（2）解：，
，
，
或，
，
18．（本题9分）
（1）①17，②22，③23．
（2），
，
答：我认为小南选择B线路更好，因为两条线路所用时间的平均数相同，但是，B线路所用的时间更稳定．（答案不唯一）
19．（本题8分）
（1）
（2）解：（1）甲、乙两人分别A，B，C三个景点中随机选择一个景点，所有可能出现的结果有：（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共有9种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，满足“甲、乙两人至少有一人选择A景点”（记为事件A）的结果有5种，
所以
23．（本题7分）
解：设求原空地的宽是xm，则长是2xm．
，
第6页
化简得，，
解得，（舍去），
答：原空地的长为12m，宽为6m．
21．（本题8分）
（1）证明：，为的直径，
，
在中，，则，
即，解得.
在中，，则，
即，解得.
（2）54
22.（本题8分）
解：（1）证明：，，
，
，
，即.
∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2），为该方程的两个实数根
，
，即
，
，.
23.（本题8分）
（1）连接OD
在中
，
，
，
，
，
，
∵DE是⊙O的切线，切点为D，
，
，
。
（2）
24．（本题6分）
方法不唯一
（1）如图，点M即为所求
（2）如图，点N即为所求．
25．（本题8分）
解：设储藏x个星期售完这批农产品可获利122000元．
由题意得：，
化简得：
解得：
答：储藏15个星期售完这批农产品可获利122000元．
26．（本题8分）
（1）证明：方法一：
，，
，
，
，
，
即.
方法二：因为，则以A为圆心，AB为半径作圆，得到，又因为，所以，进而可证
（2）方法一：
连接AF并延长交BC于点M，连接AO并延长交DC于点N，连接CO，DO．
，，
∴点A，F在BC的垂直平分线上，
∴AM垂直平分BC．
同理，AN垂直平分
，
.
又，
∴AC平分，
∴.
.
∴，
即.
又∵CB经过半径的外端，
∴CB是的切线.
方法二：
证明：连接CO并延长交于点，连接FM.
，
，
，
．
是的直径，
，
.
，
，
，
.
即.
又∵CB经过半径的外端，
∴CB是的切线.
27.（本题10分）
（1）（方法不唯一）
证明：在中，，
．.
同理.
，.
在与中，
，，，
∴.
，即⊙O和是等圆．
又，
4分（2）①（方法不唯一）6分
②4．第10页
（3）（方法不唯一）10分
第11页
周一
周二
周三
周四
周五
A线路所用时间
15
32
15
17
31
B线路所用时间
20
23
19
23
25
平均数
中位数
众数
A线路所用时间
22
①______
15
B线路所用时间
②______
23
③______
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
C
C
D
B
B
作法一
图形
1．在AB上任取一点M，以M为圆心，DE长为半径作弧，与AC交于点N，连接MN；
2．分别以M，N为圆心，AD长为半径作弧，交于点O；
3．以O为圆心，OM为半径作⊙O，则即为所求．
作法二
图形
1．在AB上任取一点M，以M为圆心，DE长为半径作弧，与AC交于点N，连接MN；
2．作MN的垂直平分线l，再以M为圆心，DA为半径作弧，与l相交于点O；
3．以O为圆心，OM为半径作⊙O，则即为所求．
作法三
图形
1．在AB上任取一点M，以M为圆心，DE长为半径作弧，与AC交于点N，连接MN；
2．作MN的垂直平分线l，再作的外接圆，与l相交于点O；
3．以O为圆心，OM为半径作⊙O，则即为所求．
作法一
图形
1．作∠DEF的角平分线EM；
2．过点C作，与EM交于点O；
3．过点O作OH⊥DE，垂足为H；
4．以O为圆心，OH为半径作⊙O，与CD，CF交于点P，Q，则即为所求．
作法二
图形
1．如图，作∠DEF的角平分线EM；
2．过点C作CH⊥DE，垂足为H；
3．过点C作，NC与EM交于点O；
4．以O为圆心，CH为半径作⊙O，与CD，CF交于点P，Q，则即为所求．