2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期11月期中考试数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x∈Zx+1≥0，B=xx2−x−6<0，则A∩B=( )
A. x∈Zx≥−1B. x−1≤x≤3C. −1,0,1,2,3D. −1,0,1,2
2.已知复数z=1−i1+i+2i，则z=( )
A. 12B. 22C. 1D. 2
3.在▵ABC中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6，则▵ABC是
( )
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形
4.已知α,β,γ是空间中三个不同的平面，m,n是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是
( )
A. 若α⊥β,β⊥γ，则α//γB. 若α//β,β//γ，则α//γ
C. 若m⊥β,n⊥α,α//β，则m//nD. 若m⊥α,n⊥β,m⊥n，则α⊥β
5.对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)与二次函数y=(a−1)x2−x在同一坐标系内的图象可能是 ( )
A. B.
C. D.
6.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 2cm，下底直径为9 2cm，喉部(中间最细处)的直径为8cm，则该塔筒的高为
( )
A. 272cmB. 18cmC. 27 22cmD. 18 2cm
7.将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为( )
A. π3B. 3 3π4C. π6D. 6π6
8.已知函数fx=−x2−4x−2,x≤0,lnx,x>0,若函数gx=3f2x−m+3fx+m有5个不同的零点，则实数m的取值范围是
( )
A. −∞,−2B. −∞,−6
C. 6∪−∞,−6D. −∞,−6∪6,+∞
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若直线l过点4,−2且在两坐标轴上的 截距互为相反数，则直线l的方程为
( )
A. x−2y=0B. x+2y=0C. x+y−2=0D. x−y−6=0
10.已知圆C1:x2+y2+2mx−10y+m2=0，圆C2:x2+y2+4y−5=0，则下列说法正确的是
( )
A. 若点1,1在圆C1的内部，则−2B. 若m=2，则圆C1,C2的公共弦所在的直线方程是4x−14y+9=0
C. 若圆C1,C2外切，则m=± 15
D. 过点3,2作圆C2的切线l，则l的方程是x=3或7x−24y+27=0
11.已知x>0，y>0，且2x+2y+xy−5=0，则下列结论错误的是
( )
A. xy的取值范围是0,1B. x+y的取值范围是2,52
C. 4x+y的最小值是2D. x+4y的最小值为2
12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点 3, 32，直线l：y=−12x+m与椭圆C交于M，N两点，且线段MN的中点为P，O为坐标原点，直线OP的斜率为32，则下列结论正确的是
( )
A. C的离心率为12
B. C的方程为x212+y2=1
C. 若m=1，则MN=3 52
D. 若m=12，则椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知tanα=2，则sinπ+2α2cs2α−1的值为______．
14.已知抛物线E：y2=8x的准线为l，A0,3，点B是E上任意一点，过B作BC⊥l，垂足为C，则AB+BC的最小值为______．
15.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M是正方形ABCD外接圆上任意一点，则AB⋅AM的取值范围是______．
16.已知F1,F2分别是双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的上、下焦点，经过点F2且与y轴垂直的直线与C的一条渐近线相交于点P，且P在第四象限，四边形PF1QF2为平行四边形，若C的离心率的取值范围是 213, 5，则直线QF2的倾斜角α的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知函数fx=−2sin2x+cs2x−π3+1．
(1)求函数fx 的 最小正周期；
(2)将函数fx 的 图象向右平移π3个单位长度后得到gx的图象，当x∈0,π2时，求gx的值域．
18.(本小题12分)
已知半径为4的圆C与直线l1:3x−4y+8=0相切，圆心C在y轴的负半轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l2:kx−y+3=0与圆C相交于A,B两点，且▵ABC的面积为8，求直线l2的方程．
19.(本小题12分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，且AA1=4，AB=1，AD=2，P为棱BB1的中点．
(1)求P到AC1的距离；
(2)求AC1与平面A1C1P所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−csB=bcsA+2csC．
(1)求角B的大小．
(2)若O是▵ABC的内心，且AO=2，CO=3，求AC和BO．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD//BC，AD⊥DC，BC=2AD=2 2,DC=2，正三角形PCD所在平面与平面ABCD垂直，E,F分别为DC,PC的中点．
(1)求证：AB⊥平面PAE；
(2)求二面角F−BD−C 的 平面角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点2, 2，离心率为 22．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知C的下顶点为A，不过A的直线l与C交于点E,F，线段EF的中点为G，若∠AGE=2∠GAF，试问直线l是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】解不等式可得集合 A 与 B ，进而可得 A∩B ．
解：因为 A=x∈Zx+1≥0=x∈Zx≥−1 ， B=xx2−x−6<0=x−2所以 A∩B=−1,0,1,2 ，
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据复数除法运算化简，然后由复数的模的公式可得．
解：依题意， z=1−i1−i1+i1−i+2i=−2i2+2i=−i+2i=i ，
所以 z=1 ．
故选：C．
3.【答案】C
【解析】【分析】由正弦边角关系得 a:b:c=4:5:6 ，设 a=4t ( t>0 )，应用余弦定理确定 csC 的符号，结合 C 为最大内角，即可得答案．
解：因为 sinA:sinB:sinC=4:5:6 ，由正弦定理得 a:b:c=4:5:6 ，
设 a=4t ( t>0 )，则 b=5t ， c=6t ，
由余弦定理得 csC=a2+b2−c22ab=16t2+25t2−36t22×4t×5t=18>0 ，则 C 为锐角，
又 C 为最大内角，故 ▵ABC 为锐角三角形．
故选：C
4.【答案】A
【解析】【分析】对于A，借助于长方体模型，很容易判断结论错误；对于B，运用面面平行的传递性易得；
对于C，通过平行平面的性质和线面垂直的性质即得；对于D，借助于两平面的法向量的垂直关系可得．
解：
对于A，如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，设平面 ADD1A1 为平面 α ，平面 A1B1C1D1 为平面 β ，
平面 DCC1D1 为平面 γ ，显然满足 α⊥β,β⊥γ ，但是平面 α 与平面 γ 不平行，故A错误；
对于B，根据面面平行的传递性，若 α//β,β//γ ，则 α//γ 成立，故B正确；
对于C，若 m⊥β,α//β ，则 m⊥α ，又 n⊥α ，所以 m//n ，故C正确；
对于D，设直线 m,n 的方向向量分别为 a,b ，若 m⊥α,n⊥β,m⊥n ，
则平面 α,β 的一个法向量分别为 a,b ，且 a⊥b ，所以 α⊥β ，故D正确．
故选A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数和对数函数的图象，属于中档题．
根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案．
【解答】解：由对数函数y=lgax(a>0且a≠1)与二次函数y=a−1x2−x可知，
①当0而二次函数y=a−1x2−x开口向下，且其对称轴为x=12(a−1)<0，故排除A与D；
②当a>1时，此时a−1>0，对数函数y=lgax为增函数，
而二次函数y=a−1x2−x开口向上，且其对称轴为x=12(a−1)>0，故B错误，而C符合题意．
故选C．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可．
解：该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点 O 为原点，建立平面直角坐标系，
设A与 B 分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ，
因为双曲线的离心率为 10= 1+ba2 ，所以 b2=9a2 ．
又喉部(中间最细处)的直径为 8cm ，所以 2a=8,a=4 ，所以双曲线的方程为 x216−y2144=1 ．
由题意可知 xA=3 2,xB=9 22 ，代入双曲线方程，得 yA=3 2,yB=−21 22 ，
所以该塔筒的高为 yA−yB=27 22 ．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，然后可解．
解：由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，
正方体的体对角线长为 3
所以，此时圆柱的底面半径为 r= 32 ，高为 2r= 3 ，
所以该圆柱体积的最小值为 πr2⋅2r=2π× 323=3 3π4 ．
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据解析式画出 fx 草图，将问题化为 y=fx 的图象与直线 y=1 ， y=m3 共有5个交点，数形结合有 y=fx 的图象与直线 y=m3 有1个交点，即可求参数范围．
解：作出函数 fx 的图象如图所示，

函数 gx=3f2x−m+3fx+m ，且 gx 有5个零点，
等价于 3fx−mfx−1=0 有5个解，即 fx=1 或 fx=m3 共有5个解，
等价于 y=fx 的图象与直线 y=1 ， y=m3 共有5个交点．
由图得 y=fx 的图象与直线 y=1 在4个交点，
所以 y=fx 的图象与直线 y=m3 有1个交点，则直线 y=m3 应位于直线 y=−2 下方，
所以 m3<−2 ，解得 m<−6 ，即实数 m 的取值范围是 −∞,−6 ．
故选：B
9.【答案】BD
【解析】【分析】依题意可分截距为0和不为0两种情形讨论即可求解．
解：当截距为0时，
则l过点 4,−2 和原点，
所以l的方程为 y=−12x ，即 x+2y=0 ；
当截距不为0时，
由直线l过在两坐标轴上的截距互为相反数，
则设l的方程为 xa+y−a=1 ，
又l过点 4,−2 ，得 4a+−2−a=1 ，解得 a=6 ，
所以l的方程为 x−y−6=0 ．
故选：BD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】根据点在圆的内部解不等式 1+1+2m−10+m2<0 即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线 l 的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确．
解：对于A，由点 (1,1) 在圆 C1 的内部，得 1+1+2m−10+m2<0 ，解得 −4对于B，若 m=2 ，则圆 C1:x2+y2+4x−10y+4=0 ，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是 4x−14y+9=0 ，故B正确；
对于C，圆 C1 的标准方程为 (x+m)2+(y−5)2=25 ，圆心为 C1−m,5 ，半径 r1=5 ，
圆 C2 的标准方程为 x2+(y+2)2=9 ，圆心为 C20,−2 ，半径 r2=3 ，
若圆 C1,C2 外切，则 C1C2=r1+r2 ，即 m2+49=5+3 ，解得 m=± 15 ，故C正确；
对于D，当 l 的斜率不存在时， l 的方程是 x=3 ，圆心 C2 到 l 的距离 d=3=r2 ，满足要求，
当 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y=kx−3+2 ，
圆心 C2 到 l 的距离 d=4−3k k2+1=r2=3 ，解得 k=724 ，
所以 l 的方程是 7x−24y+27=0 ，故D正确．
故选：BCD．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】选项A、B根据基本不等式即可判断，选项C、D，由条件可知 x=−2+9y+2 ，代入选项后再根据基本不等式即可判断．
解：对于选项A，因为 x>0 ， y>0 ，所以 x+y≥2 xy ，当且仅当 x=y 时取等号．
由 2x+2y+xy−5=0 ，得 5−xy=2x+2y≥4 xy ，即 xy2+4 xy−5≤0 ，解得 0< xy≤1 ，即 0对于选项B，由题可得 5−2x+y=xy≤x+y22 ，当且仅当 x=y 时取等号．
所以有 x+y2+8x+y−20≥0 ，所以 x+y≥2 ．
又 5−2x+y=xy>0 ，所以 x+y<52 ，即 2≤x+y<52 ，故B错误；
对于选项C，由 2x+2y+xy−5=0 ，得 x2+y=5−2y ，得 x=5−2yy+2=−2y+2+9y+2=−2+9y+2>0 ，解得 y<52 ．
y>0 ，则 0所以 4x+y=−8+36y+2+y=36y+2+y+2−10≥2 36y+2⋅y+2−10=2 ，
当且仅当 36y+2=y+2 ，即 y=4 时等号成立，因为 4∉0,52 ，所以等号不成立，故C错误；
对于选项D， x+4y=−2+9y+2+4y=9y+2+4y+2−10≥2 9y+2⋅4y+2−10=2 ，
当且仅当 9y+2=4y+2 时，即 y=−12 时等号成立.又 y>0 ，所以等号不成立，故D错误．
故选：BCD．
12.【答案】AC
【解析】【分析】点差法的应用，以及点与椭圆位置关系的确定．
利用点差法确定 a2 ， b2 关系 b2=34a2 ，结合 a2=b2+c2 ，有 c2=14a2 求得离心率；根据椭圆过定点确定椭圆标准方程；由弦长公式求弦长；假设椭圆 C 上存在 E ， F 两点并设其中点坐标 Qx0,y0 利用点差法确定 Q4,−32 ，验证 424+−3223>1 ，所以点 Q 在椭圆 C 外，这与 Q 是弦 EF 的中点矛盾，所以椭圆 C 上不存在 E ， F 两点，使得 E ， F 关于直线 l 对称．
解：设 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，则 Px1+x22,y1+y22 ，即 kOP=y1+y2x1+x2=32 ，
因为 M ， N 在椭圆 C 上，所以 x12a2+y12b2=1 ， x22a2+y12b2=1 ，两式相减，
得 x1+x2x1−x2a2+y1+y2y1−y2b2=0 ，即 1a2+y1+y2y1−y2b2x1+x2x1−x2=0 ，
又 kMN=y1−y2x1−x2=−12 ，所以 1a2−34b2=0 ，即 b2=34a2 ，又 a2=b2+c2 ，
所以 c2=14a2 ，离心率 e=ca=12 ，故A正确；
因为椭圆 C 过点 3, 32 ，所以 3a2+34b2=1 ，解得 a2=4 ， b2=3 ，
所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1 ，故B错误；
若 m=1 ，则直线 l 的方程为 y=−12x+1 ，由 y=−12x+1,x24+y23=1, 得 x2−x−2=0 ，所以 x1=−1 ， x2=2 ， MN= 1+−1222+1=3 52 ，故C正确；
若 m=12 ，则直线 l 的方程为 y=−12x+12 .假设椭圆 C 上存在 E ， F 两点，使得 E ， F 关于直线 l 对称，设 Ex3,y3 ， Fx4,y4 ， EF 的中点为 Qx0,y0 ，所以 x3+x4=2x0 ， y3+y4=2y0 .因为 E ， F 关于直线 l 对称，所以 kEF=2 且点 Q 在直线 l 上，即 y0=−12x0+12 .又 E ， F 在椭圆 C 上，所以 x324+y323=1 ， x424+y423=1 .两式相减.得 x3+x4x3−x44+y3+y4y3−y43=0 ，即 x3+x44+y3+y4y3−y43x3−x4=0 ，所以 y3+y4=−3x3+x48 ，即 y0=−38x0 ，联立 y0=−12x0+12,y0=−38x0, 解得 x0=4,y0=−32. 即 Q4,−32 .又 424+−3223>1 ，所以点 Q 在椭圆 C 外，这与 Q 是弦 EF 的中点矛盾，所以椭圆 C 上不存在 E ， F 两点，使得 E ， F 关于直线 l 对称，故D错误．
故选：AC
13.【答案】43
【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解．
解： tanα=2,sinπ+2α2cs2α−1=−sin2αcs2α−sin2α=−2sinαcsαcs2α−sin2α=−2tanα1−tan2α=43 ．
故答案为： 43 ．
14.【答案】 13
【解析】【分析】根据抛物线的定义 BC=BF ，可知 AB+BC 的最小值为 AF 进而可得．
解：
如图，抛物线 y2=8x 的焦点坐标为 2,0 ，
根据抛物线的定义 BC=BF ，所以 AB+BC=AB+BF ，
故当 A ， B ， F 三点共线时， AB+BC 取得最小值为 AF ，
AF= OA2+OF2= 32+22= 13 ，
故答案为： 13
15.【答案】−8 2+8,8 2+8
【解析】【分析】以正方形 ABCD 的中心 O 为原点建立平面直角坐标系，设以 x 轴非负半轴为始边， OM 为终边的角为 α ，根据三角函数定义写出点M的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标表示，结合余弦函数的有界性可得．
解：以正方形 ABCD 的中心 O 为原点建立平面直角坐标系如图所示，
则点 A−2,−2 ， B2,−2 ， AB=4,0 ，
设以 x 轴非负半轴为始边， OM 为终边的角为 α 0≤α<2π ，
易知外接圆的半径为 2 2 ，
所以点 M2 2csα,2 2sinα ，则 AM=2 2csα+2,2 2sinα+2 ，
所以 AB⋅AM=2 2csα+2×4+2 2sinα+2×0=8 2csα+8 ，
因为 csα∈−1,1 ，所以 8 2csα+8∈−8 2+8,8 2+8 ．
即 AB⋅AM 的取值范围为 −8 2+8,8 2+8 ．
故答案为： −8 2+8,8 2+8
16.【答案】2π3,3π4
【解析】【分析】解题的关键点是根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知 Q 也在双曲线的渐近线上，利用 ba= ca2−1 求解．
解：根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知 Q 也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，从而由可知 QF1⊥y 轴，设 Qx0,c ，又 Q 在渐近线 y=−abx 上，可得 Q−bca,c ，利用 tanα=kQF2=−2ab ， ba= ca2−1 和离心率的取值范围可得答案围．
【详解】由双曲线的对称性可知 Q 也在双曲线的渐近线上，且 Q 在第二象限，
由 PF2⊥y 轴，可知 QF1⊥y 轴，所以可设 Qx0,c ，
又 Q 在渐近线 y=−abx 上，所以 Q−bca,c ，所以 tanα=kQF2=−2ab ，
因为 C 的离心率的取值范围是 213, 5 ，
所以 ba= ca2−1∈2 33,2,tanα=−2ab∈− 3,−1 ，
又 α∈0,π ，所以 α∈2π3,3π4 ．
故答案为 ： 2π3,3π4 ．
17.【答案】解：(1)fx=−2sin2x+cs2x−π3+1
=cs2x+12cs2x+ 32sin2x
= 3 32cs2x+12sin2x
= 3sin2x+π3 ，
所以函数 fx 的最小正周期 T=2π2=π ．
(2)将函数 fx 的图象向右平移 π3 个单位长度后得到 gx= 3sin2x−π3+π3= 3sin2x−π3 ，
又 x∈0,π2 ，所以 2x−π3∈−π3,2π3 ，
所以 sin2x−π3∈− 32,1 ，
所以 gx∈−32, 3 ，
故 gx 在 0,π2 上的值域为 −32, 3 ．

【解析】【分析】(1)将 fx=−2sin2x+cs2x−π3+1 化简为 Asinωx+φ+B 的 形式即可求解；
(2)整体思想求值域．
18.【答案】解：(1)由已知可设圆心 C0,bb<0 ，则 −4b+8 32+42=4 ，解得 b=−3 或 b=7 (舍)，
所以圆 C 的方程为 x2+(y+3)2=16 ．
(2)设圆心 C 到直线 l2 的距离为 d ，则 AB=2 16−d2,S▵ABC=12AB×d=d 16−d2=8 ，
即 d4−16d2+64=0 ，解得 d=2 2 ，
又 d=3+3 k2+1 ，所以 k2=72 ，解得 k=± 142 ，
所以直线 l2 的方程为 14x−2y+6=0 或 14x+2y−6=0

【解析】【分析】(1)根据直线与圆相切，根据点到直线距离公式求出圆心，再应用圆的标准方程即可;
(2)根据几何法求弦长，再结合面积公式计算即可．
19.【答案】解：(1)以 D 为坐标原点 DA ， DC ， DD1 所在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz ，
则 A2,0,0 ， A12,0,4 ， C10,1,4 ， P2,1,2 ，
则 C1A=2,−1,−4 ， C1P=2,0,−2 ， C1A1=2,−1,0
csC1A,C1P=C1A⋅C1PC1AC1P=12 21×2 2=6 42 ，
所以 P 到 AC1 的距离 d=C1P⋅sinC1A⋅C1P=2 2×1 7=2 147 ．
(2)设平面 A1C1P 的一个法向量 n=x,y,z ，则 n⋅C1A1=0,n⋅C1P=0. ，即 2x−y=0,2x−2z=0,
令 x=1 ，解得 y=2 ， z=1 ，故 n=1,2,1 ．
设直线 AC1 与平面 A1C1P 所成的角为 θ ，则 sinθ=C1A⋅nC1An=4 21× 6=2 1421 ，
故直线 AC1 与平面 A1C1P 所成角的正弦值为 2 1421 ．

【解析】【分析】(1)以 D 为坐标原点，建系，由向量法得出 P 到 AC1 的距离；
(2)由向量法得出直线 AC1 与平面 A1C1P 所成角的正弦值．
20.【答案】解：(1)在 ▵ABC 中，由正弦定理及 a(2−csB)=b(csA+2csC) ，得 sinA(2−csB)=sinB(csA+2csC) ，
即 2sinA−2sinBcsC=sinBcsA+sinAcsB ，
又 sinA=sin(π−B−C)=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC ，
因此 2(sinBcsC+csBsinC)−2sinBcsC=2csBsinC=sin(A+B)=sinC ，
又 C∈(0,π) ，即有 sinC>0 ，于是 csB=12 ，而 B∈(0,π) ，
所以 B=π3 ．
(2)因为 O 是 ▵ABC 的内心，则 OA,OB,OC 分别平分 ∠BAC,∠CBA,∠ACB ，
于是 ∠AOC=π−∠OAC−∠OCA=π−(12∠BAC+12∠BCA)=π−12(π−∠ABC)=2π3 ，
在 ▵ACO 中，由余弦定理得 AC2=OA2+OC2−2OA⋅OCcs∠AOC=22+32−2×2×3cs2π3=19 ，即 AC= 19 ，
过点 O 分别作 AC,AB,BC 的垂线，垂足分别为 E,G,F ，则 OE=OG=OF ，
在 ▵ACO 中， S▵ACO=12AO×CO×sin∠AOC=12AC×OE ，即 12×2×3sin2π3=12× 19⋅OE ，
解得 OE=3 5719 ，则 OF=3 5719 ，在直角 ▵BOF 中， ∠OBF=12∠ABC=π6 ，从而 BO=2OF=6 5719 ，
所以 AC= 19 ， BO=6 5719 ．


【解析】【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的 正弦化简作答．
(2)利用三角形内心的性质求出 ∠AOC ，再利用余弦定理、三角形面积公式求解作答．
21.【答案】(1)证明：因为 ▵PCD 是正三角形， E 为 DC 的中点，所以 PE⊥CD ，
又平面 PCD⊥ 平面 ABCD ，平面 PCD∩ 平面 ABCD=CD,PE⊂ 平面 PCD ，
所以 PE⊥ 平面 ABCD ，而 AB⊂ 平面 ABCD ，所以 PE⊥AB.
如图，连接 BE ，
在直角梯形 ABCD 中， AD//BC,AD⊥DC,BC=2AD=2 2,DC=2 ，
所以 AE= 3,BE=3 ，
在平面 ABCD 内过点 A 作 AG⊥BC ，垂足为 G ，则 AG=CD=2,BG=BC−AD= 2 ，
所以 AB= AG2+BG2= 6 ，所以 AB2+AE2=BE2 ，即 AB⊥AE ．
又 AE∩PE=E,AE,PE⊂ 平面 PAE ，所以 AB⊥ 平面 PAE ．
(2)
取 AB 的中点 H ，连接 EH ，
在直角梯形 ABCD 中， AD//BC,E,H 分别为 CD,AB 的中点，则 EH//AD ，
又 AD⊥DC ，所以 EH⊥CD ，
由(1)知 PE⊥ 平面 ABCD ，又 CD,EH⊂ 平面 ABCD ，则 PE⊥CD,PE⊥EH ，
以 E 为原点， ED,EH,EP 所在直线分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则 B−1,2 2,0,C−1,0,0,D1,0,0,P0,0, 3,F−12,0, 32 ，
因为 PE⊥ 平面 ABCD ，所以平面 BCD 的一个法向量为 m=EP=0,0, 3 ，
BD=2,−2 2,0,DF=−32,0, 32 ，
设平面 BDF 的法向量为 n=x,y,z ，则 n⋅BD=2x−2 2y=0n⋅DF=−32x+ 33z=0 ，
令 y=1 ，得 x= 2,z= 6 ，所以平面 BDF 的一个法向量为 n= 2,1, 6 ．
设二面角 F−BD−C 的平面角为 θ ，
所以 csθ=cs⟨m,n⟩=m⋅nmn=3 2 3× 2+1+6= 63 ，
由图可知二面角 F−BD−C 的平面角为锐角，
所以二面角 F−BD−C 的平面角的余弦值为 63 ．

【解析】【分析】(1)由面面垂直得线面垂直坐得线线垂直 PE⊥AB ，在直角梯形中由勾股定理逆定理证明 AB⊥AE ，即可证明线面垂直；
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
22.【答案】解：(1)依题意，得 ca= 22,22a2+ 22b2=1, 又 a2=b2+c2 ，解得 a=2 2,b=2,
所以椭圆方程为 x28+y24=1 ．
(2)
因为 ∠AGE=2∠GAF,∠AGE=∠GAF+∠AFG ，所以 ∠GAF=∠AFG,GA=GF ，
又 G 为线段 EF 的中点，所以 GA=12EF ，因此 AE⊥AF ．
根据题意可知直线 l 的斜率一定存在，设 l 的方程为 y=kx+m,Ex1,y1,Fx2,y2 ，
联立 y=kx+m,x28+y24=1, 消去 y ，
得 2k2+1x2+4kmx+2m2−8=0,Δ=4km2−42m2−82k2+1 ，
根据韦达定理可得 x1+x2=−4km2k2+1,x1x2=2m2−82k2+1 ，
因为 A0,−2 ，
所以 AE⋅AF=x1,y1+2⋅x2,y2+2=1+k2x1x2+km+2x1+x2+m+22
=1+k22m2−82k2+1+km+2−4km2k2+1+m+22 ，
所以 1+k22m2−82k2+1+km+2−4km2k2+1+m+22=0 ，
整理得 m+23m−2=0 ，解得 m=−2 或 m=23 ．
又直线 l 不经过点 A0,−2 ，所以 m=−2 舍去，
于是直线 l 的方程为 y=kx+23 ，恒过定点 0,23 ，该点在椭圆 C 内，满足 Δ>0 ，
所以直线 l 恒过定点，定点坐标为 0,23 ．

【解析】【分析】(1)根据题意，列出关于 a,b,c 的方程，代入计算，即可得到结果；
(2)根据题意，设 l 的方程为 y=kx+m ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由
AE⋅AF=0 ，代入计算，即可得到结果．