2023-2024学年江苏省镇江市丹阳市高一上学期11月期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省镇江市丹阳市高一上学期11月期中数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4,5}，M={1,2}，N={3,5}，则∁UM∩N=
A. {4}B. {3,4}C. {3,5}D. {3,4,5}
2.已知a∈R，则“1a>2”是“a<12”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)= 2−xx+(x−1)0的定义域为
A. [0,1)∪(1,2]B. (−∞,0)∪(2,+∞)
C. (0,2]D. (0,1)∪(1,2]
4.已知函数f(x)=ax3−x+1,x<1x2−ax,x≥1，若f(f(0))=−2，实数a=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.已知正实数x，y满足x+4y=2xy，则x+y的最小值为
A. 2+52B. 4C. 92D. 5
6.已知函数f(x)=−2x+3,01满足对任意实数x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0成立，则实数a的取值范围是
A. [−2,2]B. [− 3, 3]
C. (−∞,− 5]∪[ 5,+∞)D. [− 5, 5]
7.已知函数f(x)=(x−1)2,0A. 0B. 4 3C. 0或4 3D. 4−2 3
8.设函数f(x)=−2x+2,x≥013x+1,x<0，则满足f(x)+fx+12>2的实数x的取值范围是
A. (−∞,0]B. −∞,14C. −∞,14D. 0,14
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列四个函数中，在定义域上是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是
A. f(x)=3x2−2B. f(x)=|2x−1|C. f(x)=1|x|D. f(x)=2|x|
10.已知幂函数y=xα的图象过点(8,4)，下列说法正确的是
A. 函数y=xα的图象过原点B. 函数y=xα是偶函数
C. 函数y=xα的值域为RD. 函数y=xα在(−∞,0)是单调减函数
11.以下结论正确的是
( )
A. 函数y=x2+1x的最小值是2
B. 若a，b∈R且ab>0，则ba+ab≥2
C. 若x∈R，则x2+1x2+2+4的最小值为4
D. 若实数a，b满足a+2b=1，则3a+9b≥2 3
12.已知函数f(x)=k−3x1+k⋅3x是定义域为R的奇函数，则下列选项中正确的是
A. 实数k=±1
B. 函数f(x)在定义域R上单调递减
C. 函数f(x)的值域为(−1,1)
D. 若g(x)=f(2x)+1，则对任意实数a，有g(a)+g(−a)=2
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.设a为实数，集合A=[−1,6)，B=(1−a,+∞)，若A∩B≠⌀，则a的取值范围是__________．
14.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
满足f[g(x)]>g[f(x)]的所有x的值的和为__________．
15.若关于x的不等式x2−2x−1+m≤0在区间[0,3]内有解，则实数m的取值范围__________．
16.若函数f(x)同时满足①函数f(x)为增函数，②f(x+y)=f(x)f(y)，请写出一个符合条件的函数f(x)= ；若命题“∃x>0，关于x的不等式f(x)+2x+a<0成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合P={x|3a−10≤x<2a+1}，Q={x||2x−3|≤7}．
(1)当a=2时，求P∩(∁RQ)；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+bx2+2是定义在(−1,1)上的奇函数，且f−12=29．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在(−1,1)上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于t的不等式ft+12+ft−12<0．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2−(a+2)x−b(其中a，b∈R).
(1)若不等式f(x)>0的解集为(−3,2)，求a+b的值；
(2)当a≥0，b=−2时，求不等式f(x)≥0的解集．
20.(本小题12分)
某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与可变成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的可变成本为f(x)(单位：万元)，当年产量不超过14万件时，f(x)=23x2+4x；当年产量超过14万件时，f(x)=17x+400x−100．
假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
(1)写出年利润g(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2−2ax+b+2(a>0)在区间[0,1]上的最大值比最小值大3，且f(1)=0．
(1)求a，b的值；
(2)当x∈13,2时，函数y=f(x)的图象恒在函数y=mx2+1的图象下方，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
设f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f(1−x)=x2−3x+3．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=|f(x)−ax+3|在[1,3]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了集合的交集、补集运算，属于基础题．
根据补集的定义求出集合M的补集，然后与集合N进行交集运算可答案．
【解答】解：因为全集U={1,2,3,4,5}，
M={1,2}，
所以 ∁UM={3,4,5}；
又N={3,,5}，
所以(∁UM)∩N=={3,5}.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查必要条件、充分条件、充要条件的性质和应用，属于基础题．
由1a>2，解得：0【解答】
解：由1a>2，解得：0由“1a>2”，能推导出“ a<12”；反之不成立．
∴“1a>2”是“ a<12”的充分不必要条件，
故选A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查求函数的定义域，属于基础题．
由题意得出不等式组 2−xx⩾0x−1≠0，求出x的取值范围即可．
【解答】
解：由已知得2−xx⩾0x−1≠0，解得0所以f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2]．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力．
利用分段函数求出f(0)，然后求解方程得到a的值．
【解答】
解：函数f(x)=ax3−x+1,x<1x2−ax,x≥1，f(0)=1，
f(f(0))=−2，即f(1)=−2，
可得1−a=−2，
解得a=3．
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式求最值，属于中档题．
x+4y=2xy可变形为2x+12y=1，x+y变形为x+y2x+12y，展开利用基本不等式解决．
【解答】
解：由x+4y=2xy，
可得：2x+12y=1．
x+y=x+y2x+12y=52+x2y+2yx⩾52+2 x2y·2yx=92
当且仅当x2y=2yx，即x=3,y=32时等号成立．
则x+y的最小值为92
故选C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分段函数的单调性，是中档题
由题意可得函数f(x)在0,+∞上为增函数，利用分段函数的单调性列不等式组求解即可
【解答】
解：对任意实数x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0
可得函数f(x)在0,+∞上为增函数，
当0因为y=|x−a2+3|在(−∞,a2−3)上单调递减，在(a2−3,+∞)上单调递增，
所以1⩾a2−3|1−a2+3|⩾−2+3,
解得− 3⩽a⩽ 3，
可得实数a的取值范围是[− 3, 3]
故选B
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分段函数，属于基础题．
由x≥2时，f(x)=2(x−2)是增函数，则f(a)≠f(a+2)，所以0【解答】
解：由x≥2时，f(x)=2(x−2)是增函数，若a≥2，则f(a)≠f(a+2)，
所以0 解得a=2− 3，
则f(a+ 3)=f(2)=0．
故选A．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题．
利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项．
【解答】
解：当x=14时f(14)+f(14+12)=−12+2−32+2=2，不满足题意，故B错误；
当x=−1时f−1+f−12=3+1+ 3+1>2，故D错误；
当x=16时f16+f23=−13+2−43+2=73>2，故A错误；
故答案为C
9.【答案】AD
【解析】【分析】
结合奇偶性的定义及单调性的定义分别检验各选项即可．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．
【解答】解：A：f(x)=3x2−2 为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，符合题意；
B：f(x)=|2x−1| 为非奇非偶函数，不符合题意；
C：f(x)=1|x| 为偶函数，在(0,+∞)单调递减，不符合题意；
D：f(x)=2|x|为偶函数且在(0,+∞)单调递增，符合题意；
10.【答案】ABD
【解析】【分析】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
根据题意求出幂函数的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：幂函数y=xα的图象过点(8,4)，
所以8α=4，解得α=23，
所以幂函数为y=x23;
所以幂函数y=x23的图象过原点，A正确;
且幂函数y=x23是定义域R上的偶函数，B正确;
幂函数y=x23的值域是[0,+∞)，所以C错误．
幂函数y=x23在(−∞,0)是单调减函数，D正确;
故选：ABD．
11.【答案】BD
【解析】解： 对于A，当x<0时，y<0，故A错误;
对于B，由基本不等式知当ab>0时，则ba+ab≥2，
当且仅当a=b且a，b不为零时等号成立，故B正确;
对于C，x2+2+1x2+2+2≥2+2=4，当且仅当x2+2=1x2+2时等号成立，
令x2+2=1x2+2，方程无解，故C错误;
对于D，因为3a>0,9b>0，a+2b=1，
则3a+9b⩾2 3a·9b=2 3a+2b=2 3，当且仅当3a=9b，即a=2b=12时等号成立，故D正确．
利用基本不等式依次判断各选项，注意基本不等式的取等条件是解决本题的关键．
本题考查由基本不等式求最值或取值范围，指数运算，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的值域问题，属于较难题，
因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，利用特殊值可求出k，即可判断选项A；
由指数函数的单调性可判断选项BC；
由题可判断f(2x)为R上的奇函数，利用奇函数的定义可判断选项D．
【解答】
解：
对于A，因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(1)+f(−1)=0，即k−31+3k+k−131+k3=0，解出k=1，故A不正确；
对于B，因为函数f(x)=1−3x1+3x=−1+21+3x，1+3x在R上单调递增，
故函数f(x)在R上单调递减，故B正确；
对于C，因为函数f(x)的定义域为R，1+3x>1，21+3x∈0,2，
所以函数f(x)=1−3x1+3x=−1+21+3x的值域为−1,1，故C正确；
对于D，因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(2x)为R上的奇函数，
则g(a)+g−a=f(2a)+1+f(−2a)+1=2，故D正确．
13.【答案】(−5,+∞)
【解析】【分析】
根据A∩B≠⌀即可得出a的取值范围．
本题考查了交集的定义及运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】解：∵A∩B≠⌀，A=[−1,6)，B=(1−a,+∞)
∴1−a<6，则a>−5
∴a的取值范围是(−5,+∞)．
故答案为：(−5,+∞)．
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，属于基础题..
根据已知表格，将x=0，1，2分别代入f[g(x)]，g[f(x)]，检验．
【解答】
解：根据已知表格可得：
令x=0，f[g(x)]=f[g(0)]=f(0)=2，g[f(x)]=g[f(0)]=g(2)=1，所以f[g(x)]>g[f(x)]，
令x=1，f[g(x)]=f[g(1)]=f(2)=0，g[f(x)]=g[f(1)]=g(1)=2，所以f[g(x)]令x=2，f[g(x)]=f[g(2)]=f(1)=1，g[f(x)]=g[f(2)]=g(0)=0，所以f[g(x)]>g[f(x)]，
所以x=0或2满足条件，
故所有x的值的和为2．
故答案为2．
15.【答案】(−∞,2]
【解析】【分析】
本题考查不等式的恒成立问题和二次函数的最值，属于基础题．
由题意得m≤− x2+2x+1在区间[0,3]内有解，再利用不等式的存在性问题得
m≤(− x2+2x+1)max，最后利用二次函数性质计算得结论．
【解答】
解： 因为关于x的不等式x2−2x−1+m≤0在区间[0,3]内有解，
即m≤− x2+2x+1在区间[0,3]内有解，
而函数y=− x2+2x+1在区间[0,3]上的最大值为2，所以m≤2，
因此实数m的取值范围是m≤2
故答案为(−∞,2]．
16.【答案】2x(答案不唯一，形如y=axa>1的函数都可以)；[−1,+∞)
【解析】【分析】
本题考查抽象函数，函数的单调性，指数函数的性质，存在量词命题的否定，属于较难题．
第一空，利用指数函数的性质求解即可；
第二空，根据题意可得命题“∀x>0，关于x的不等式f(x)+2x+a⩾0成立”为真命题，即a⩾−f(x)−2xmax，x>0，利用函数f(x)的单调性求解即可．
【解答】
解：第一空：f(x)=2x满足题意，答案不唯一，形如y=axa>1的函数都可以；
故答案为2x(答案不唯一，形如y=axa>1的函数都可以)；
第二空：若命题“∃x>0，关于x的不等式f(x)+2x+a<0成立”为假命题，
则命题“∀x>0，关于x的不等式f(x)+2x+a⩾0成立”为真命题，
即a⩾−f(x)−2xmax，x>0，
因为函数f(x)为增函数，所以y=−f(x)−2x为减函数，
因为f(x+y)=f(x)f(y)，令x=y=0可得f0=f20，解得f(0)=0或1，
若f(0)=0，令x=0，y=1可得f(1)=f(0)f(1)=0，不满足题意，
则f(0)=1，
则a⩾−1，
故答案为[−1,+∞).
17.【答案】解：(1)当a=2时，P={x|−4≤x<5}，
因为|2x−3|≤7，所以−2≤x≤5，则Q=[−2,5]．
∴∁RQ=(−∞,−2)∪(5,+∞)
∴P∩(∁RQ)=[−4,−2)．
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”必要不充分条件，
所以Q⫋P，P不是空集，则3a−10<2a+1，解得a<11，
又P={x|3a−10≤x<2a+1}，Q=[−2,5]．
则2a+1>53a−10≤−2，
∴a>2a≤83，
综上，可得2则实数a的取值范围为(2,83].
【解析】本题考查集合的交集、补集混合运算，考查充分、必要、充要条件与集合的关系，属于中档题．
(1)由条件可求得Q=[−2,5]，则∁RQ=(−∞,−2)∪(5,+∞)，根据交集的定义可求得P∩(∁RQ)；
(2)由“x∈P”是“x∈Q”必要不充分条件，可得Q⫋P，P不是空集，根据包含关系求解即可．
18.【答案】解：(1)∵f(x)=ax+bx2+2是定义在(−1,1)上的奇函数，且f−12=29．
∴f(0)=0f(−12)=29⇒b=0−2a+4b9=29⇒a=−1b=0,fx=−xx2+2,
经检验，f(−x)=−f(x)．
故fx=−xx2+2．
(2)函数fx在−1,1上是增函数．
证明：任取−1fx1−fx2= x2−x12−x1x22+x122+x22>0 ⇒fx1>fx2，
所以函数fx在−1,1上是减函数；
(3)ft+12<−ft−12⇒ft+12⇒{+12>12−t−10−32故不等式的解集为(0,12)．
【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的证明以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
(1)根据f0=0⇒b=0，f−12=29⇒a=−1，可得结果；
(2)根据单调性的定义证明即可；
(3)根据函数的奇偶性、单调性结合函数的定义域，列出不等式组解出结果．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=ax2−(a+2)x−b(a,b∈R)，
∵不等式f(x)>0的解集为(−3,2)，
∴a<0且−3和2是方程ax2−(a+2)x−b=0的两根，
∴−3+2=a+2a−3×2=−ba，解得a=−1，b=−6，
∴a+b=−7．
(2)当b=−2时，不等式为ax2−(a+2)x+2≥0，即(ax−2)(x−1)≥0，
当a=0时，不等式为−2(x−1)≥0，解得x≤1；
当a>0时，不等式化为(x−2a)(x−1)≥0，
当01，解得x≥2a或x≤1;
当a=2时，不等式为(x−1)2≥0，解得x∈R;
当a>2时，2a<1，解得x≥1或x≤2a．
综上所述，当a=0时，不等式的解集为(−∞,1]；
当0当a=2时，不等式的解集为R;
当a>2时，不等式的解集为(−∞,2a]∪[1,+∞).
【解析】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
(1)由题意知−3和2是方程ax2−(a+2)x−b=0的两根，利用根与系数的关系列方程组求出a、b的值；
(2)b=−2时，不等式可化为(ax−2)(x−1)≥0，讨论2a与1的大小，分别求出不等式的解集即可．
20.【答案】解：(1)根据题意得，
当 0≤x≤14 时， gx=16x−fx−30=−23x2+12x−30 ，
当 14故g(x)=−23x2+12x−30,0⩽x⩽1470−x−400x,14(2)当 0≤x≤14 时， gx=−23x2+12x−30 ，
且当 0≤x≤9 时， gx 单调递增，
当 9此时 g(x)max=g9=−23×81+12×9−30=24 ．
当 14当且仅当 x=20 时，等号成立．
因为 24<30 ，故当 x=20 时， gx 取得最大值30，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产 20 万件该芯片．

【解析】本题考查分段函数模型的应用，基本不等式，属于中档题．
(1)分 0≤x≤14 和 14(2)结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解．
21.【答案】解：(1)令f(x)=a(x2−2x)+b+2=a(x−1)2+b+2−a
∵a>0，∴函数f(x)的开口方向向上，对称轴为x=1．
∴f(x)在[0,1]单调递减，
∴f(x)max−f(x)min=f(0)−f(1)=b+2−(b+2−a)=a=3，
又f(1)=a−2a+b+2=0，解得b=1，
∴a=3，b=1，
2)由(1)知f(x)=3x2−6x+3，函数y=f(x)的图象恒在函数y=mx2+1的图象下方，
等价于∀x∈[13,2]，3x2−6x+3即∀x∈[13,2]，m>2(1x)2−6(1x)+3恒成立，
令t=1x∈[12,3]，即∀t∈[12,3].m>2t2−6t+3恒成立，
只需m>(2t2−6t+3)max
令ℎ(t)=2t2−6t+3，
又ℎ(t)在(12,32)单调递减，在(32,3)单调递增，
又ℎ(12)=12，ℎ(3)=3>ℎ(12)，即ℎ(t)max=3．
所以m>3．
【解析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，不等式的恒成立问题，函数的单调性，函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
(1)函数图象开口向上，对称轴为x=1，故f(x)在[0,1]上单调递减，f(0)−f(1)=3，可得a，b的值；
(2)∀x∈[13,2]，3x2−6x+32t2−6t+3恒成立，求ℎ(t)=2t2−6t+3的最大值，即可解决．
22.【答案】解：(1)由题意得，f(1−x)=x2−3x+3，
令1−x=t∈R，则x=1−t，
即f(t)=(1−t)2−3(1−t)+3=t2+t+1，
故f(x)=x2+x+1，x∈R.
(2)由(1)得，g(x)=|f(x)−ax+3|=|x2+(1−a)x+4|，
设ℎ(x)=x2+(1−a)x+4=(x−a−12)2+4−(1−a)24，
(i)当4−(1−a)24≥0，即−3≤a≤5时，
因为g(x)在[1,3]上单调递增，所以a−12≤1，即a≤3，
故−3⩽a⩽3;
(ii)当4−(1−a)24<0，即a<−3或a>5时，
设ℎ(x)=0的两根分别是x1，x2(x1则g(x)在[x1,a−12]和[x2,+∞)上单调递增，
则有ℎ(1)≤0,−1−a2≥3⇒a≥6a≥7⇒a≥7或ℎ(1)≥0.−1−a2≤1⇒a≤6a≤3⇒a≤3.
即a∈(−∞,3]∪[7,+∞)
综上所述，实数a的取值范围为(−∞,3] U[7,+∞)
【解析】本题考查求具体函数的解析式，考查二次函数的图象与性质问题，属于较难题．
(1)利用换元法求解函数的解析式；
(2)g(x)在[1,3]上为单调递增函数，故分两种情况分别讨论即可．x
0
1
2
x
0
1
2
g(x)
0
2
1
f(x)
2
1
0