2023-2024学年浙江省S9联盟高二上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省S9联盟高二上学期期中联考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M=−1,0,1,2，N=xx2−2x−3≥0，则M∩N=( )
A. −1,0,1B. 0,1,2C. −1D. −1
2.已知复数z=1−i2+i(i为虚数单位)，则z的虚部为
( )
A. −35B. −35iC. 35D. 35i
3.已知向量a=m,2，b=4,−8，若a=λb，则实数m的值是
( )
A. −4B. −1C. 1D. 4
4.函数y=12x2−2x+1的单调递减区间为
( )
A. −∞,1B. 1,+∞C. −∞, 2D. 2,+∞
5.已知直线l1：ax−3y−3=0，l2：3x−ay+1=0，则“a=3”是“l1//l2”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为
( )
A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘
7.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足AP=35AB+23AD+14AA1，则点P到直线AB的距离为
( )
A. 25144B. 7312C. 1312D. 10515
8.设m∈R，若过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx−y−m+2=0交于点Px,y，则PA⋅PB的最大值是
( )
A. 52B. 2C. 3D. 5
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知A−1,−2，B2,4两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值可能为
( )
A. −4B. 3C. −2D. 1
10.(多选题)某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 得分在[40,60)之间的共有40人
B. 从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5
C. 估计得分的众数为55
D. 这100名参赛者得分的中位数为65
11.已知a>b>0，且ab=1，则下列式子中正确的有
( )
A. lg2a+lg2b>0B. lg2a⋅lg2b<0C. 2a+2b>4D. b2−1a>0
12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，F，G分别为B1C1，A1D1，CD的中点，O，P分别为BE，CC1上的动点，作平面α//BE截正方体的截面为β，则下列说法正确的是
( )
A. β不可以是六边形
B. 存在点P，使得BE⊥FP
C. 当α经过点F，P时，点D到平面α的距离的最大值为2 63
D. OP+PG的最小值为6 55
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u=−2,0,5，v=t,3,2，则t值是_________．
14.在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为 ．
15.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A=0,1,2,3,4,5内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y=2x上的概率为___________．
16.设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，fx=ax3+bx.若f0+f3=6，则f20234=_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知A2,3，B−4,1，C0,−3．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
18.(本小题12分)
如图，正四面体(四个面都是正三角形)OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=23AN．
(1)用向量OA，OB，OC表示OP；
(2)求OP．
19.(本小题12分)
在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线x−2y+5=0垂直；
②过点2,−3；
③与直线2x+y+2=0平行．
问题：已知直线l过点P1,−1，且________．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)已知M3,−1，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得MN−ON最大．
20.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AC=3，AB=4，BC=5，点D是线段BC的中点，
(1)求证：AB⊥A1C
(2)求D点到平面A1B1C的距离；
21.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是一个矩形，EF//AC,AC=2EF,AB=AE=2,AD=4，∠BAE=120∘．
(1)求证：AE//平面BFD；
(2)若平面EAB⊥平面ABCD，求平面EAB与平面FCD的夹角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知a,b,c 分别为▵ABC 三个内角A,B,C 的对边，cs2A+cs2C=1+cs2B 且b=1，
(1)求B；
(2)若AB⋅AC<12，求1a+1c的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】解出集合 N ，利用交集的定义可求得集合 M∩N ．
解：因为 N=xx2−2x−3≥0=xx≤−1 或 x≥3 ，且 M=−1,0,1,2 ，
故 M∩N=−1 ．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】利用复数的运算法则以及共轭复数的定义即可得出结果．
解：因为 z=1−i2+i=1−i2−i2+i2−i=1−3i5=15−35i ，
即 z=15−35i ，
所以 z 的共轭复数为 z=15+35i ，其虚部为 35 ．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】利用向量的坐标运算求解即可．
解：因为向量 a=m,2 ， b=4,−8 ，且 a=λb
所以 m,2=4λ,−8λ ，
所以 m=4λ2=−8λ ，解得： m=−1λ=−14 ，所以 m=−1 ．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】【分析】利用复合函数的单调性即可求解．
解：令 u=x2−2x+1 ，
因为函数 y=12u 在 R 上为单调递减函数，
要求函数 y=12x2−2x+1 的单调递减区间，只需求函数 u=x2−2x+1 的单调递增区间，
又因为函数 u=x2−2x+1 的单调递增区间为 1,+∞ ，
所以函数 y=12x2−2x+1 的单调递减区间为 1,+∞ ．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】由直线平行的判断方法分析“ a=3 ”和“ l1//l2 ”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案．
解：直线 l1 ： ax−3y−3=0 ， l2 ： 3x−ay+1=0 ，
若 l1//l2 ，则有 a2=3×3 ，解得 a=±3 ，
经检验，当 a=±3 时，直线 l1,l2 不重合，符合 l1//l2 ，
则 a=3 时，满足 l1//l2 ，而 l1//l2 时，不能得到 a=3 ，
所以“ a=3 ”是“ l1//l2 ”的充分不必要条件．
故选：A
6.【答案】B
【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角．
将异面直线平移到同一个三角形中，可求得异面直线所成的角．
解：如图，取 AC ， BD ， AD的中点，分别为 O ， M ， N ，
则 ON//12CD,MN//12AB ，所以 ∠ONM 或其补角即为所求的角．
因为平面 ABC 垂直于平面 ACD ， BO⊥AC ，所以 BO⊥ 平面 ACD ，所以 BO⊥OD ．
设正方形边长为 2 ， OB=OD= 2 ，所以 BD=2 ，则 OM=12BD=1 ．
所以 ON=MN=OM=1 .所以 ▵OMN 是等边三角形， ∠ONM=60∘ ．
所以直线 AB 与 CD 所成的角为 60∘ .故应选B．
7.【答案】B
【解析】【分析】点 P 作 PM⊥ 平面 ABCD 于点 M ，过 M 作 MN⊥AB 于点 N ，连接 PN ，则 PN 为所求，联立 AP=35AB+23AD+14AA1 即可求解．
解：如图，过点 P 作 PM⊥ 平面 ABCD 于点 M ，过 M 作 MN⊥AB 于点 N ，连接 PN ，则线段 PN 的长即为点P到直线AB的距离，
因为正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为1，且 AP=35AB+23AD+14AA1 ，
所以 AN=35 ， MN=23 ， PM=14 ，
所以 PN= MN2+PM2= 7312 ．
故选：B．
8.【答案】A
【解析】【分析】先确定两直线所过的定点 A 、 B 的坐标，然后根据两直线的位置关系可判断它们垂直，结合基本不等式求解即可．
解：依题意，直线 x+my=0 过定点 A0,0 ，直线 mx−y−m+2=0 可整理为 mx−1+2−y=0 ，故直线过定点 B1,2 ，
又因为直线 x+my=0 和直线 mx−y−m+2=0 始终垂直， P 为两直线交点，
所以 PA⊥PB ，
则 AB2=PA2+PB2=1−02+2−02=5 ，
由基本不等式可得 PA⋅PB≤PA2+PB22=AB22=52 ，
当且仅当 PA=PB= 102 时取等号，所以 PA⋅PB 的最大值是 52 ．
故选：A．
9.【答案】AC
【解析】【分析】分AB所在的直线平行于直线l和AB的中点在直线l上两种情况进行讨论求解．
解：因为A−1,−2，B2,4两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等，所以AB所在的直线平行于直线l或AB中点在直线l上，
当AB所在的直线平行于直线l时，因为kAB=4+22+1=2，所以直线l的斜率−a=2，所以a=−2；
当AB的中点−1+22,−2+42在直线l上时，a×12+1+1=0，解得a=−4，
故选：AC．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】根据图中数据首先求出a，然后逐一判断即可．
解：根据频率和为1，由(a+0.035+0.030+0.020+0.010)×10=1，解得a=0.005，
得分在[40,60)的频率是0.40，估计得分在[40,60)的有100×0.40=40(人)，A正确；
得分在[60,80)的频率为0.5，可得从这100名参赛者中随机选取一人，
得分在[60,80)的概率为0.5，B正确；
根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为50+602=55，即估计得分的众数为55，C正确；
由0.05+0.35=0.4<0.5，知中位数位于[60,70)内，所以中位数的估计值为60+0.5−≈63.3
故选：ABC
11.【答案】BC
【解析】【分析】利用基本不等式即可判断B、C两个选项，对数的运算性质得到lg2a+lg2b=0，可判断A，通过ab=1把b2−1a转换成b2−b，进而就可以判断D选项．
解：选项A：lg2a+lg2b=lg2ab=lg21=0， A错误；
选项B：lg2a⋅lg2b≤lg2a+lg2b24=lg2ab24=0，
当且仅当lg2a=lg2b，即a=b时，等号成立．
又因为a>b>0，所以 B正确；
选项C：2a+2b≥2 2a⋅2b=2 2a+b≥2 22 ab=4，
当且仅当a=b时，等号成立．
又因为a>b>0，所以 C正确；
选项D：因为ab=1，则b=1a，
b2−1a=b2−b=b−122−14
又因为a>b>0，则1>b>0，
所以当b=12时，b2−1a<0， D错误．
故选：BC
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体中的截面问题，点到平面的距离，空间中线线、线面的位置关系，属于难题．
对于A选项，可以把截面β补全可知截面的形状为六边形故A选项错误；对于B选项，BE⊥FP等价于FP在平面BCC1B1上的射影EP与BE垂直，从而计算出点P的位置；对于C选项，运用等体积法将问题转化为求P点到BE距离的最小值；对于D选项，求空间折线段的最小值要展成直线段．
【解答】
解：
如图，
对于A
取A1F中点H，A1A中点I，C1C中点L，在线段AB上取点J，使得4AJ=AB，在线段BC上取点K，使得4CK =BC，在线段C1D1，上取点M，使得4C1M=C1D1．
易知HM//IL//JK，且HK，IL，JM交于一点，该点为正方体的中心，
所以H，I，J，K，L，M六点共面，
又因为BE//KL，
所以BE//平面HIJKLM
故A错误；
对于B，
当4C1P=C1C时，在△BEP中结合勾股定理可知BE⊥EP，
因为BE⊥EF，EF∩EP=E，所以BE⊥平面EFP，
又FP⊂平面EFP，
所以BE⊥FP，
故B正确；
对于C，
当α经过点F，P时，α为平面AFP，
因为VP−ADF=13×2×12×2×2=43是定值，
所以要使得点D到平面α的距离最大，那么△AFP的面积最小，
由于AF为定值，即P到AF的距离最小，
由于EF⊥平面BCC1B1，且AF//BE，
只需求P到BE的最小距离即可，
当P运动到C1时距离最小，
则P到BE的最小距离为C1Esin∠BEB1=1×2 5=2 55，
即P到AF的最小距离为 22+(2 55)2= 245，
此时S△AFP=12× 5× 245= 6，
则点D到平面α的距离的最大值为3VP−ADFS△AFP=4 6=2 63，
故C正确；
对于D，
延长BC至BG′使得CG′=CG=1，则PG =PG′，
当且仅当O，P，G′，
三点共线且垂直于BE时，OP +PG取最小值，
最小值为BG ′sin∠OBG ′=BG ′sin∠BEB1=3×2 5=6 55，
故D正确．
故选BCD．
13.【答案】5
【解析】【分析】根据面面垂直时，两个平面的法向量垂直，则 u⋅v=0 ，利用向量的坐标表示出两个向量的数量积，得到等式求解即可．
解：因为平面 α 与平面 β 垂直，
所以平面 α 的法向量与平面 β 的法向量垂直，
所以 u⋅v=0 ，即 −2t+0×3+5×2=0 ，解得 t=5 ．
故答案为： 5 ．
14.【答案】 64
【解析】【分析】
本题考查直线与平面所成角的向量求法，属于中档题．
建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可．
【解答】
解：取AC的中点O，连接OB，过点O作Oz//AA1，
依题意可得△ABC是等边三角形，则BO⊥AC，
因为AA1⊥底面ABC，所以Oz⊥底面ABC，
故以O为坐标原点，分别以OB,OC,Oz所在的直线为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系，
则A(0,−12,0)，D( 32,0,1)，所以AD=( 32,12,1)，
易知，平面AA1C1C的一个法向量为n=(1,0,0)，
设AD与平面AA1C1C所成的角为θ，
则sinθ=csAD,n=|AD⋅n||AD|⋅|n|= 32 2= 64，
所以AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为 64．
故答案为： 64．
15.【答案】112
【解析】【分析】依题意，试验发生包含的事件共有 6×6=36 种结果，其中满足条件的有 3 种结果，列举出结果即可求得概率．
解：试验发生包含的事件是横坐标与纵坐标都在集合 A=0,1,2,3,4,5 内任取一个点，
所有的可能结果有： 0,0 ， 0,1 ， 0,2 ， 0,3 ， 0,4 ， 0,5 ， 1,0 ， 1,1 ， 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,5 ， 2,0 ， 2,1 ， 2,2 ， 2,3 ， 2,4 ， 2,5 ， 3,0 ， 3,1 ， 3,2 ， 3,3 ， 3,4 ， 3,5 ， 4,0 ， 4,1 ， 4,2 ， 4,3 ， 4,4 ， 4,5 ， 5,0 ， 5,1 ， 5,2 ， 5,3 ， 5,4 ， 5,5 ，共 6×6=36 种结果，
满足点正好在直线 y=2x 上的有： 0,0 ， 1,2 ， 2,4 ，共有 3 种结果，
所以所求概率是 P=336=112 ，
故答案为： 112 ．
16.【答案】−23164
【解析】【分析】由题设可得 fx+1=−f−x+1 以及 fx+2=f−x+2 ，利用赋值法可得到方程组 a+b=0−8a−2b=6 ，从而得到 x∈1,2 时， fx 的解析式，再利用上述两个关系式推出函数 fx 是以 4 为周期的函数，即可求得 f20234 的值．
解：因为 fx+1 为奇函数，则 fx+1=−f−x+1 ，
令 x=0 ，则 f1=−f1 ，故 f1=0 ，则有 a+b=0 ，
令 x=−1 ，则 f0=−f2=−8a−2b ，
又因为 fx+2 为偶函数， fx+2=f−x+2 ，
令 x=1 ，则 f3=f1=0 ，
又因为 f0+f3=6 ，即 −8a−2b=6 ，
联立 a+b=0−8a−2b=6 ，解得： a=−1b=1 ，
所以当 x∈1,2 时， fx=−x3+x ，
又因为 fx+2=f−x+2=f−x−1+1=−fx−1+1=−fx ，
即 fx+2=−fx ，
则 fx+4=−fx+2=fx ，
所以函数 fx 是以 4 为周期的函数，
故 f20234=f126×4+74=f74=−743+74=−23164 ．
故答案为： −23164 ．
17.【答案】解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率 kAB=1−3−4−2=13 ，
直线AC的斜率 kAC=3−−32−0=3 ，
故直线AB的斜率为 13 ，直线AC的斜率为3．
(2)当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，
直线AD的斜率由 kAB 增大到 kAC ，
所以直线AD的斜率的变化范围是 13,3 ．

【解析】【分析】(1)由斜率公式直接求解；
(2)由倾斜角与斜率的关系即可求解．
18.【答案】解：(1)因为M是棱BC的中点，点N满足 ON=2NM ，点P满足 AP=23AN ．
所以 OP=OA+AP=OA+23AN=OA+23ON−OA=13OA+23ON=13OA+23×23OM=13OA+49× 12OB+OC=13OA+29OB+29OC ．
(2)因为四面体OABC是正四面体，则 OA=OB=OC=1 ，
OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC=1×1×12=12 ，
OP2=13OA+29OB+29OC2
=19OA2+481OB2+481OC2+2⋅13⋅29OA⋅OB+2⋅29⋅29OB⋅OC+2⋅13⋅29OA⋅OC
=19+481+481+227+481+227=3381 ，
所以 OP= 339 ．

【解析】【分析】(1)由空间向量的线性运算直接求解；
(2)结合(1)的结论，由空间向量的数量积公式求模长．
19.【答案】解：(1)选择①与直线 x−2y+5=0 垂直，
则直线 l 的斜率 k×12=−1 ，解得 k=−2 ，又其过点 P1,−1 ，
则直线 l 的方程为： y+1=−2x−1 ，整理得： 2x+y−1=0 ；
选择②过点 2,−3 ，又直线 l 过点 P1,−1
则直线 l 的斜率 k=−3+12−1=−2 ，
则直线 l 的方程为： y+1=−2x−1 ，整理得： 2x+y−1=0 ；
选择③与直线 2x+y+2=0 平行，
则直线 l 的斜率 k=−2 ，又其过点 P1,−1 ，
则直线 l 的方程为： y+1=−2x−1 ，整理得： 2x+y−1=0 ；
综上所述，不论选择哪个条件，直线 l 的方程均为： 2x+y−1=0 ．
(2)根据(1)中所求，可得直线 l 的方程为： 2x+y−1=0 ，又 M3,−1 ，
设点O关于直线 l 的对称点为 Qx,y ，
则 yx×−2=−1 ，且 2×x2+y2−1=0 ，解得 Q45,25 ；
显然 MN−ON=MN−QN≤QM ，
当且仅当Q，N，M三点共线时取得等号；
又直线QM的斜率 k=−711 ，故其方程为： y+1=−711x−3 ，即 y=−711x+1011 ，
由 y=−711x+10112x+y−1=0 ，得 x=115y=1315 ，
则点N的坐标为 115,1315 时，使得 MN−ON 最大．

【解析】【分析】(1)若选择①，则由垂直关系可得直线 l 的斜率 k=−2 ，然后利用点斜式可求出直线 l 的方程；若选择②，则由斜率公式可求出直线 l 的斜率 k=−2 ，然后利用点斜式可求出直线 l 的方程；若选择③，则由平行关系可得直线 l 的斜率 k=−2 ，然后利用点斜式可求出直线 l 的方程；
(2)设点O关于直线 l 的对称点为 Qx,y ，利用对称关系可求得 Q45,25 ，则由图可知
MN−ON=MN−QN≤QM ，当且仅当Q，N，M三点共线时取得等号，从而可求得结果．
20.【答案】解：(1)△ABC中， AC=3 ， AB=4 ， BC=5 ，所以 AB⊥AC ，
在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AA1⊥ 平面 ABC ， AB⊂ 平面 ABC ，所以 AA1⊥AB ，
又因为 AA1∩AC=A ， AC⊂ 平面 ACC1A1 ， AA1⊂ 平面 ACC1A1 ，
所以 AB⊥ 平面 ACC1A1 ， A1C⊂ 平面 ACC1A1 ，所以 AB⊥A1C ．
(2)由(1)知， AA1⊥ 平面ABC， AB⊂ 平面ABC， AC⊂ 平面ABC，
所以 AA1⊥AB ， AA1⊥AC ，又 AB⊥AC ，如图建立空间直角坐标系 A−xyz ，
则 D32,2,0 ， A10,0,3 ， B10,4,3 ， C3,0,0 ，
A1C=3,0,−3 ， A1B1=0,4,0 ， CD=−32,2,0 ，
设平面 A1B1C 的一个法向量为 n=x,y,z ，
则 n⋅A1C=3x−3z=0n⋅A1B1=4y=0 ，解得 x=zy=0 ，令 z=1 ，则 n=1,0,1 ，
设D到平面 A1B1C 的距离为 d ，得 d=CD⋅nn=32 2=34 2 ．

【解析】【分析】(1)由题意 AB⊥AC ，由 AA1⊥ 平面 ABC 得 AA1⊥AB ，从而 AB⊥ 平面 ACC1A1 ，进而得结论；
(2)建立空间直角坐标系，求出平面 A1B1C 的法向量，然后利用点到平面的距离的向量公式求解．
21.【答案】解：(1)设 AC∩BD=O ，连接 OF ，
由于 EF//AO,EF=AO ，所以四边形 EFOA 是平行四边形，
所以 AE//OF ，
由于 AE⧸⊂ 平面 BFD,OF⊂ 平面 BFD ，
所以 AE // 平面 BFD ．
(2)依题意，平面 EAB⊥ 平面 ABCD ， ∠BAE=120∘ ，
以 A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
平面 EAB 的法向量为 m=0,1,0 ，
E−1,0, 3,C2,4,0,D0,4,0 ，
AF=AE+EF=AE+12AC=0,2, 3 ， DC=2,0,0,DF=0,−2, 3 ，
设平面 FCD 的法向量为 n=x,y,z ，
则 {n⇀⋅DC⇀=2x=0n⇀⋅DF⇀=−2y+ 3z=0 ，故可设 n=0, 3,2 ．
设平面 EAB 与平面 FCD 的夹角为 θ ，
则 csθ=m⋅nm⋅n= 3 7= 217．

【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理来证得 AE // 平面 BFD ．
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面 EAB 与平面 FCD 的夹角的余弦值．
22.【答案】(1)因为cs2A+cs2C=1+cs2B，则1−sin2A+1−sin2C=1+1−sin2B，
所以sin2A+sin2C=sin2B，则a2+c2=b2，
所以▵ABC为直角三角形，
所以B=π2．
(2)AB⋅AC=AB⋅AC⋅csA=AB2=c2<12，所以0所以设c=sinθ,a=csθ,θ∈0,π4，
所以1a+1c=1sinθ+1csθ=sinθ+csθsinθcsθ，
令t=sinθ+csθ= 2sinθ+π4,t∈1, 2，
又因为t2=(sinθ+csθ)2=1+2sinθcsθ，所以sinθcsθ=t2−12，
所以1a+1c=2tt2−1,t∈1, 2，
令y=2tt2−1=2t−1t,t∈1, 2，
因为y=t−1t在t∈1, 2上单调递增，
所以y=2t−1t在t∈1, 2上单调递减，所以y>2 2−1 2=2 2，
所以1a+1c的取值范围为2 2,+∞．

【解析】本题考查正弦定理，三角恒等变换和三角函数有关的最值问题，属于中档题．
(1)利用同角三角函数的基本关系与正弦定理可得；
(2)由AB⋅AC<12推得0