2023-2024学年山东湖南省邵阳市高二上学期11月期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东湖南省邵阳市高二上学期11月期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知直线mx−y−4=0与直线(2m−5)x+3y+2=0平行，则实数m=
A. −5B. 1C. −12D. 3
2.已知O是坐标原点，F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，M(32,3)是C上一点，则线段OF的长度为
A. 32B. 3C. 92D. 9
3.已知椭圆C：y236+x220=1，A(0,−4)，B(0,4)，过A作直线PQ与C交于P，Q两点，则△BPQ的周长为
A. 12B. 16C. 20D. 24
4.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是C左支上一点，且AF1⊥AF2，|AF2|=3|AF1|，则C的渐近线方程为
A. y=± 63xB. y=± 62xC. y=±23xD. y=±32x
5.在四面体ABCD中，点E满足DE=λDC，F为BE的中点，且AF=12AB+13AC+16AD，则实数λ=
A. 14B. 13C. 12D. 23
6.已知O是坐标原点，若圆C：x2+y2+6x−8y+a=0上有2个点到O的距离为2，则实数a的取值范围为
A. [−24,16]B. (−24,16)C. [−16,24]D. (−16,24)
7.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 2cm，下底直径为9 2cm，喉部(中间最细处)的直径为8 cm，则该塔筒的高为
A. 272cmB. 18 cmC. 27 22cmD. 18 2cm
8.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2BC=6，PC⊥PD，PC=PD，点O是CD的中点，则线段PB上的动点E到直线AO的距离的最小值为
A. 3B. 2C. 6D. 3
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若直线l过点(4,−2)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为
A. x−2y=0B. x+2y=0C. x+y−2=0D. x−y−6=0
10.已知曲线C的方程为x224−λ+y216+λ=1，则下列说法正确的是
A. 存在实数λ，使得曲线C为圆
B. 若曲线C为椭圆，则−16<λ<24
C. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则λ<−16
D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值
11.已知抛物线E：x2=2py(p>0)，过其准线上的点A(−1,−1)作E的两条切线，切点分别为B，C，则下列说法正确的是
A. 抛物线E的方程为x2=2yB. AB⊥AC
C. 直线BC的斜率为−12D. 直线BC的方程为x+2y−2=0
12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点 3, 32，直线l：y=−12x+m与椭圆C交于M，N两点，且线段MN的中点为P，O为坐标原点，直线OP的斜率为32，则下列结论正确的是
A. C的离心率为12
B. C的方程为x212+y2=1
C. 若m=1，则|MN|=3 52
D. 若m=12，则椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知向量a=(−3,2,m)，b=(−2,3,2 3)，若a⊥b，则m=_________．
14.已知抛物线E：y2=8x的准线为l，A(0,3)，点B是E上任意一点，过B作BC⊥l，垂足为C，则|AB|+|BC|的最小值为_________．
15.已知圆C：x2+y2+2x−4y+1=0，点M是直线x=3上的动点，过M作圆C的两条切线，切点分别为E，F，则|EF|的最小值为_________．
16.已知F1，F2分别是双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点，经过点F2且与y轴垂直的直线与C的一条渐近线相交于点P，且P在第四象限，四边形PF1QF2为平行四边形，若C的离心率的取值范围是 213, 5，则直线QF2的倾斜角α的取值范围是_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)双曲线C的渐近线方程为y=±2x，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4；
(2)双曲线E与双曲线y24−x29=1有共同的渐近线，并且经过点(3 5,−2 3)．
18.(本小题12分)
已知半径为4的圆C与直线l1：3x−4y+8=0相切，圆心C在y轴的负半轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l2：kx−y+3=0与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线l2的方程．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l经过抛物线E：y2=12x的焦点F，且与E相交于A，B两点，直线OB交E的准线于点C．
(1)若|AB|=15，求直线l的方程；
(2)证明：直线AC平行于x轴．
20.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为−45．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知椭圆C的左､右顶点分别为A,B，且AB=6，点M是C上任意一点(与A,B不重合)，直线MA,MB分别与直线l:x=5交于点P,Q，O为坐标原点，求OP⋅OQ．
21.(本小题12分)
在矩形ABCD中，AB=2BC，点P是线段AB的中点，将△BCP沿CP折起到△MCP位置(如图)，使得平面MCP⊥平面APCD，点Q是线段MD的中点．
(1)证明：AQ//平面MCP；
(2)求平面MCD与平面MAD所成角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2, 2)，离心率为 22．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知C的下顶点为A，不过A的直线l与C交于点E，F，线段EF的中点为G，若∠AGE=2∠GAF，试问直线l是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了直线平行的等价条件与应用问题，属于基础题．
根据两直线平行的等价条件即可求出m的值．
【解答】
解：由两直线平行，得m×3−(−1)×(2m−5)=0，解得m=1，
当m=1时，直线x−y−4=0与直线−3x+3y+2=0平行，故m=1．
故选B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的标准方程，是基础题．
将M代入抛物线得出p，可得线段OF的长度．
【解答】
解：由M(32,3)是C上一点，得32=3p，解得p=3，
所以|OF|=p2=32，
故选A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义与性质，属于基础题．
根据椭圆的定义即可得出答案．
【解答】解：由椭圆方程可知a=6，b=2 5，则c= a2−b2=4，所以A(0,−4)，B(0,4)是椭圆C的焦点，
所以△BPQ的周长为l=|AP|+|BP|+|AQ|+|BQ|=4a=24．
故选D．
4.【答案】B
【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质， 属于中档题．
利用双曲线的定义和直角三角形的性质得出a与b的关系式，求出双曲线的渐近线方程.
【解答】解：由题意得：|AF2|−|AF1|=2a，|AF2|=3|AF1|，则|AF2|=3a，|AF1|=a，
又AF1⊥AF2，则|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2⇒a2+(3a)2=(2c)2⇒10a2=4a2+4b2⇒ba= 62，
所以双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± 62x．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：AF=12AB+13AC+16AD，
由于F为BE的中点，
所以AF=12AB+12AE，
整理得AE=23AC+13AD，①，
由DE=λDC，
得AE−AD=λ(AC−AD)，
即AE=λAC+(1−λ)AD，②，
根据①②的对应关系；所以λ=23．
故选：D．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了圆与圆的位置关系及判定，是基础题．
利用题意可得圆C与圆O:x2+y2=4相交，故得a的不等式，解之即可
【解答】
解：将圆C的方程化为标准方程得(x+3)2+(y−4)2=25−a，所以a<25．
因为圆C上有2个点到O的距离为2，所以圆C与圆O:x2+y2=4相交，
所以| 25−a−2|<|OC|<| 25−a+2|，
又|OC|= (−3)2+42=5，所以−24实数a的取值范围为(−24,16)．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用双曲线方程解决实际问题，属中档题．
该塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，以OC所在直线为x轴，过点O且与OC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，由题意可得双曲线的离心率为 10，2a=8，从而可得双曲线的方程为x216−y2144=1.又xA=3 2,xB=9 22，代入双曲线方程可求yA,yB，从而可求解．
【解答】解：该塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，以OC所在直线为x轴，过点O且与OC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设A与B分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，
因为双曲线的离心率为 10，所以 1+b2a2= 10，所以b2=9a2．
又喉部(中间最细处)的直接为8cm，
所以2a=8，即a=4，b2=9×16=144，
所以双曲线的方程为x216−y2144=1．
由题意可知xA=3 2,xB=9 22，
代入双曲线方程可得yA=3 2,yB=−21 22，
所以该塔筒的高为yA−yB=3 2+21 22=27 22cm．
故选C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间中的距离问题，利用向量法解析求解，属中档题．
k利用空间线面位置关系、空间向量、向量法求空间中点到直线距离的公式、二次函数分析运算即可得解．
【解答】
解：如上图，取 AB 的中点为 O′ .连接 PO 、 OO′ 、 AE ．
∵ PC=PD ，点 O 是 CD 的中点，∴ PO⊥CD ．
又∵平面 PCD⊥ 平面 ABCD ，平面 PCD∩ 平面 ABCD=CD ， PO⊂ 平面 PCD ，
∴ PO⊥ 平面 ABCD .又∵ OO′⊂ 平面 ABCD ∴ PO⊥OO′ ．
又∵底面 ABCD 是矩形， O 、 O′ 是 CD 、 AB 中点，∴ OO′⊥CD ．
∴以点 O 为原点， OO′ 、 OC 、 OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴
建立空间直角坐标系如图所示，由 PC⊥PD ， PC=PD ， CD=AB=2BC=6 ，
得 PO=OC=OD=3 ， AD=BC=3 ．
∴ A3,−3,0 ， B3,3,0 ， P0,0,3 ，则 AO=−3,3,0 ， BP=−3,−3,3 ，
设 BE=λBP 0≤λ≤1 ，则 E3−3λ,3−3λ,3λ ， AE=−3λ,6−3λ,3λ ，
AE= −3λ2+6−3λ2+3λ2= 27λ2−36λ+36 ，
∵ AO= −32+32+02=3 2 ，
∴向量 AO 的单位方向向量 v=AOAO=−1 2,1 2,0 ，
则 AE⋅v=−3λ×−1 2+6−3λ×1 2+3λ×0=3 2 ，
因此点 E 到直线 AO 的距离 d= AE2−AE⋅v2= 27λ2−36λ+18= 27λ−232+6 ，
当 λ=23 时， d 取最小值 6 ，
∴线段 PB 上的动点 E 到直线 AO 的距离的最小值为 6 ．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，属于基础题．
分类讨论，分别用点斜式、截距式求得直线的方程．
【解答】
解：当截距为0时，l过点(4,−2)和原点，所以l的方程为y=−12x，即x+2y=0;
当截距不为0时，设l的方程为xa+y−a=1，
由l过点(4,−2)，得4a+−2−a=1，解得a=6，所以l的方程为x−y−6=0．
故选BD．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查二次曲线表示圆锥曲线的条件的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
利用二次曲线，表示椭圆，圆，双曲线的条件，推出 λ的范围与取值，判断选项的正误即可．
【解答】
解：对于A，当24−λ=16+λ，即λ=4时，曲线C的方程为x2+y2=20，所以曲线C为圆，故A正确;
对于B，由曲线C为椭圆，得24−λ>0，16+λ>0且24−λ≠16+λ，解得−16<λ<24λ≠4，故B错误，对于C，由曲线C为焦点在x轴上的双曲线，得24−λ>0，16+λ<0，解λ<−16，故C正确，
对于D，当曲线C是焦点在x轴上的椭圆时，a2=24−λ，
b2=16+λ，c2=a2−b2=8−2λ，所以曲线C的焦距不是定值;
当曲线C是当曲线C是焦点在y轴上的椭圆时，a2=16+λ，b2=24−λ，c2=a2−b2=2λ−8，
所以曲线C的焦距不是定值，故D错误．
故选AC
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的综合应用，属于一般题．
求出准线方程，得抛物线方程，再对选项逐个判断即可．
【解答】
解：因为A(−1,−1)在准线上，所以准线方程为y=−1，所以p=2，抛物线E的方程为x2=4y，故A错误;
设直线方程为y+1=k(x+1)，代入x2=4y，得x2−4kx−4k+4=0，
当直线与抛物线E相切时，Δ=0，即k2+k−1=0，
设AB，AC的斜率分别为k1，k2，易知k1，k2是上述方程的两根，
故k1+k2=−1，k1k2=−1，所以AB⊥AC，故B正确;
设B(x1,y1)，C(x2,y2)，
则x1，x2分别是方程x2−4k1x−4k1+4=0，x2−4k2x−4k2+4=0的根，
所以x1=2k1，x2=2k2，
所以kBC=y1−y2x1−x2=x12−x224(x1−x2)=x1+x24=k1+k22=−12，故C正确;
x1+x2=2(k1+k2)=−2，x1x2=4k1k2=−4，y1+y2=x12+x224=(x1+x2)2−2x1x24=3，
所以BC的中点为(−1,32)，直线BC的方程为y−32=−12(x+1)，即x+2y−2=0，故D正确.故选BCD．
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，中点弦问题，直线与椭圆的位置关系的应用，属于较难题．
由题意利用离心率的定义，中点弦问题，点差法，互相垂直的直线的斜率之间的关系，逐项分析得出结果．
【解答】
解：设Mx1,y1,Nx2,y2，则Px1+x22,y1+y22，即kOP=y1+y2x1+x2=32，
因为M，N在椭圆上，所以x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1,
两式相减得：x1+x2x1−x2a2+y1+y2y1−y2b2=0，
即1a2+y1+y2y1−y2b2x1+x2x1−x2=0，
又kMN=y1−y2x1−x2=−12，
所以1a2−34b2=0.即b2=34a2，所以c2=14a2，离心率e=ca=12，故A正确；
因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点 3, 32，所以3a2+34b2=1，解得：a2=4,b2=3.所以椭圆C的方程为x24+y23=1，故B错误；
若m=1，则直线l的方程为y=−12x+1，由y=−12x+1x24+y23=1得x2−x−2=0，所以x1=−1,x2=2，MN= 1+−1222+1=3 52，故C正确；
若m=12，则直线l的方程为y=−12x+12，
假设椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称，
设Ex3,y3,Fx4,y4，EF的中点Qx0,y0，
所以x3+x4=2x0,y3+y4=2y0，
因为E，F关于直线l对称，所以kEF=2且点Q在直线l上，即y0=−12x0+12，
又E，F在椭圆C上，
所以x324+y323=1x424+y423=1，两式相减得：x3+x4x3−x44+y3+y4y3−y43=0，
则y3+y4=−3x3+x48，即y0=−38x0，
联立y0=−38x0y0=−12x0+12，解得：x0=4y0=−32，即Q4,−32，又424+−3223>1，所以点Q在椭圆C外，这与Q是弦EF的中点矛盾，所以椭圆C上不存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称，故D错误．
13.【答案】−2 3
【解析】【分析】
本题考查空间向量垂直，属于基础题．
利用a·b=0即可求解．
【解答】解：由a⊥b，得a·b=(−3)×(−2)+2×3+2 3m=0，解得m=−2 3．
14.【答案】 13
【解析】【分析】
本题考查抛物线中的最值问题，属于基础题．
利用|AB|+|BC|=|AB|+|BF|≥|AF|= 13即可求|AB|+|BC|的最小值．
【解答】解：设抛物线E的焦点为F(2,0)，
所以|AB|+|BC|=|AB|+|BF|≥|AF|= 22+33= 13，
当且仅当A，B，F三点共线，且点B为线段AF与抛物线E的交点时，等号成立，
即|AB|+|BC|的最小值为 13．
15.【答案】2 3
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的最值问题，属于一般题．
求出圆心坐标和半径，由三角形的面积得|EF|=4|ME||MC|，设|MC|=t，则|EF|=4 1−4t2，结合tmin=4即可求解．
【解答】解：圆C的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=4，圆心为C(−1,2)，半径r=2．
在Rt△MEC中，S△MBC=12×|EC|×|ME|=12×|EF|×|MC|2，
所以|EF|=4|ME||MC|，设|MC|=t，则|EF|=4 t2−4t=4 1−4t2，
所以当t最小时，4t2的值最大，此时|EF|最小，
又t的最小值为点C到直线x=3的距离，即tmin=4，
所以|EF|min=2 3．
16.【答案】[2π3,3π4]
【解析】【分析】
本题重点考查双曲线的性质，属于一般题．
由双曲线的对称性可知Q也在双曲线的渐近线上，且Q在第二象限，设Q(x0,c)，由Q在渐近线上求得tanα=−2ab，结合离心率的取值范围即可求解．
【解答】解：由双曲线的对称性可知Q也在双曲线的渐近线上，且Q在第二象限，
由PF2⊥y轴，可知QF1⊥y轴，所以可设Q(x0,c)，
又Q在渐近线y=−abx上，所以Q(−bca,c)，所以tanα=kOF2=−2ab，
因为C的离心率的取值范围是[ 213, 5]，
所以ba= (ca)2−1∈[2 33,2],tan α=−2ab∈[− 3,−1]，
又α∈[0,π)，所以α∈[2π3,3π4]
17.【答案】解：(1)已知双曲线C的焦点在y轴上，
所以可设C的标准方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，
又C的渐近线方程为y=±2x，所以±abx=±2x，即a=2b，
由C的两顶点之间的距离为4，得2a=4，所以a=2，b=1．
故双曲线C的标准方程为y24−x2=1．
(2)因为E与双曲线y24−x29=1有共同的渐近线，
所以可设E为y24−x29=k，k≠0，
因为E过点(3 5,−2 3)，则124−459=k，解得k=−2，
故双曲线E的标准方程为x218−y28=1．
【解析】本题主要考查双曲线标准方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)根据渐近线得到a=2b，根据距离得到a=2，得到答案．
(2)设双曲线方程为y24−x29=k，k≠0，代入点的坐标，计算得到答案．
18.【答案】解：(1)由已知可设圆心C(0,b)(b<0)，则|−4b+8| 32+42=4，解得b=−3或b=7(舍)，
所以圆C的方程为x2+(y+3)2=16．
(2)设圆心C到直线l2的距离为d，则|AB|=2 16−d2，S△ABC=12|AB|×d=d 16−d2=8，
即d4−16d2+64=0，解得d=2 2，
又d=|3+3| k2+1，所以k2=72，解得k=± 142，
所以直线l2的方程为 14x−2y+6=0或 14x+2y−6=0．
【解析】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式，考查分析与计算能力，属于中档题．
(1)由已知可设圆心C(0,b)(b<0)，则|−4b+8| 32+42=4，求出b，即可求解；
(2)设圆心C到直线l2的距离为d，则|AB|=2 16−d2，然后再由三角形的面积求出d的值，再根据点到直线的距离公式求出k的值，即可求出直线方程．
19.【答案】解：(1)抛物线E:y2=12x的焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由抛物线定义，得AB=AF+BF=x1+x2+6=15，所以x1+x2=9，
当直线l的斜率不存在时，x1+x2=6，不符合要求，故直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x−3)，
联立方程y2=12x，得k2x2−(6k2+12)x+9k2=0，则x1+x2=6k2+12k2=9，解得k=±2，
所以直线l的方程为2x−y−6=0或2x+y−6=0．
(2)证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则直线OB的方程为y=y2x2x=12y2x，令x=−3，可得yC=−36y2，
设直线l的方程为x=my+3，代入方程y2=12x，得y2−12my−36=0，所以y1y2=−36，
所以yC=−36y2=y1，所以直线AC平行于x轴．
【解析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
(1)设出A点，B点，利用抛物线定义得到x1+x2=9，易知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k(x−3)，与抛物线联立，即可得解；
(2)得到直线OB的方程为y=12y2x，令x=−3，可得yC=−36y2，再设直线l的方程为x=my+3，与抛物线联立，求得yC=−36y2=y1，即可证明．
20.【答案】解：(1)根据题意可得，椭圆C的上顶点的坐标为0,b，左､右焦点的坐标分别为 −c,0,c,0，
由题意可知bc⋅−bc=−45，即b2=45c2，
又a2=b2+c2，所以a2=95c2，即c2a2=59,ca= 53，
可得椭圆C的离心率e= 53．
(2)由AB=6，得2a=6，即a=3,c= 5,b=2，
所以椭圆C的方程为 x29+y24=1 ．
如图所示：

设M(x0,y0)，则x029+y024=1，即y02=36−4x029，
又A−3,0,B3,0，则直线MA的方程为y=y0x0+3x+3，
直线MB的方程为y=y0x0−3x−3；
因为直线MA,MB分别与直线l:x=5交于点P,Q，
可得P5,8y0x0+3,Q5,2y0x0−3，
所以OP⋅OQ=(5,8y0x0+3)⋅(5,2y0x0−3)
=25+16y02x02−9
=25+16(36−4x02)9(x02−9)
=25−649=1619．
即OP⋅OQ=1619．

【解析】本题考查椭圆的离心率计算，向量与椭圆的综合问题，属于较难题．
(1)由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得b2=45c2，即可求出离心率；
(2)设出点M坐标，写出直线MA和MB的方程求出交点P,Q坐标，利用y02=36−4x029化简OP⋅OQ的表达式即可求得结果．
21.【答案】(1)证明：设MC的中点为N，连接PN和QN，
因为点N，Q分别为MC，MD的中点，所以NQ//CD且NQ=12CD，
在矩形ABCD中，点P是线段AB的中点，
所以AP//CD且AP=12CD，所以AP//NQ且AP=NQ，
所以四边形APNQ为平行四边形，所以AQ//PN，
又PN⊂平面MCP，AQ⊄̸平面MCP，所以AQ//平面MCP．
(2)解：在矩形ABCD中，AB=2BC，设BC= 2，则CP=DP=2，
所以CP2+DP2=CD2，即CP⊥DP，
取CD的中点E，取PC的中点O，连接MO，OE，所以OE/​/PD，CP⊥OE，
因为AB=2BC，点P是线段AB的中点，所以BC=BP，即MC=MP，
又O为PC的中点，所以MO⊥PC，又平面MCP⊥平面APCD，
平面MCP∩平面APCD=PC，MO⊂平面MCP，
所以MO⊥平面APCD，又OE⊂平面APCD，所以MO⊥OE．
以O为原点，OC，OE，OM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0,1)，A(−2,1,0)，D(−1,2,0)，
设平面MCD的法向量为m=(x1,y1,z1)，又MC=(1,0,−1)，MD=(−1,2,−1)，
则MC⋅m=0MD⋅m=0，即x1−z1=0−x1+2y1−z1=0,
令x1=1，则m=(1,1,1)，所以平面MCD的一个法向量为m=(1,1,1);
设平面MAD的法向量为n=(x2,y2,z2)，又AD=(1,1,0)，
则AD⋅n=0MD⋅n=0，即x2+y2=0−x2+2y2−z2=0，令x2=1，则n=(1,−1,−3)，
所以平面MAD的一个法向量为n=(1,−1,−3)，
设平面MCD与平面MAD所成角为θ，θ∈[0,π2]，
则csθ=|csm,n|=|m⋅n||m|⋅|n|=3 3× 11= 3311，
即平面MCD与平面MAD所成角的余弦值为 3311．

【解析】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求平面与平面的夹角，属于较难题．
(1)设MC的中点为N，连接PN和QN，推导出AQ//PN，根据线面平行的判定定理证明即可；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．
22.【答案】解：(1)依题意，得ca= 22,22a2+( 2)2b2=1,
又a2=b2+c2，解得a=2 2,b=2,(负值舍去)
所以椭圆方程为x28+y24=1．
(2)因为∠AGE=2∠GAF，∠AGE=∠GAF+∠AFG，
所以∠GAF=∠AFG，|GA|=|GF|．
又G为线段EF的中点，所以|GA|=12|EF|，因此AE⊥AF．
根据题意可知直线l的斜率一定存在，
设l的方程为y=kx+m，E(x1,y1)，F(x2,y2)，
联立y=kx+m,x28+y24=1,消去y，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2−8=0，
Δ=(4km)2−4(2m2−8)(2k2+1)，
根据韦达定理可得x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2m2−82k2+1，
因为A(0,−2)，所以AE⋅AF=(x1,y1+2)⋅(x2,y2+2)
=(1+k2)x1x2+k(m+2)(x1+x2)+(m+2)2
=(1+k2)2m2−82k2+1+k(m+2)(−4km2k2+1)+(m+2)2，
所以(1+k2)2m2−82k2+1+k(m+2)(−4km2k2+1)+(m+2)2=0，
整理得(m+2)(3m−2)=0，解得m=−2或m=23．
又直线l不经过点A(0,−2)，所以m=−2舍去，
于是直线l的方程为y=kx+23，恒过定点(0,23)，该点在椭圆C内，满足△>0，
所以直线l恒过定点，定点坐标为(0,23).
【解析】本题考查椭圆的标准方程与离心率，考查直线与椭圆位置关系中的定点问题，属于难题．
(1)由题意可得ca= 22,22a2+( 2)2b2=1,结合a2=b2+c2即可求解；
(2)由题意可得|GA|=|GF|，AE⊥AF.设l的方程为y=kx+m，E(x1,y1)，F(x2,y2)，联立y=kx+m,x28+y24=1,根据韦达定理求出x1+x2，x1x2，利用AE⋅AF=0求出m的值，从而可得定点坐标．