江苏省南京市四校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省南京市四校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本卷：共150分 考试时间120分钟
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，使得D. ，使得
【答案】D
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义判断.
【详解】全称命题的否定是特称命题，
命题，的否定是，使得，
故选：D．
3. 在下列函数中，与函数表示同一函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义，只有两个函数的定义域和对应法则相同，这两个函数才相同，由此对选项一一判断，即可得出答案.
【详解】函数的定义域为，
对于A，函数的定义域为，故与函数不是同一函数；
对于B，函数的定义域为，可化简为，与函数是同一函数；
对于C，函数的定义域为，故与函数不是同一函数；
对于D，函数与函数解析式不相同，故与函数不是同一函数.
故选：B.
4. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数的运算法则及性质判断即可.
【详解】解：对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：A
5. 已知函数，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，则可得，解方程可得的值.
【详解】因为，所以，
解得.
故选：D
6. 关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由且不等于1，
由题意得，，解得.
故选：D.
7. 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数和对数互化，结合对数运算法则可求得，由此可得.
【详解】，，
.
故选：C.
8. 已知偶函数在区间上单调递减，则满足实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得，进而得，再解不等式即可.
【详解】因为偶函数在区间上单调递减，
且满足，
所以不等式等价于，即，
所以，解得，
即的取值范围是.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题合出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在签题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9. 设集合，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系得有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的定义,任意,存在唯一的与之对应分别判断即可.
【详解】根据函数的定义,任意,存在唯一的与之对应,
对于A,当时,没有与之对应,故A错误;
对于B,满足任意,存在唯一的与之对应,故B正确;
对于C, 满足任意,存在唯一的与之对应,故C正确;
对于D,当时,均有2个不用的值与之对应,故C错误.
故选:BC.
10. 已知，那么命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】解不等式组得命题的充要条件，然后根据集合的包含关系进行判断即可.
【详解】解不等式得，
解不等式得，
所以的充要条件为，A错误；
记，因为A，A，A，
所以，BD为命题的必要不充分条件，C为命题的充分不必要条件.
故选：BD
11. 已知函数有且只有一个零点，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D. 若不等式的解集为，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数有且只有一个零点，由，再逐项判断.
【详解】解：因为函数有且只有一个零点，
所以，即，故A正确；
，故B正确；
，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
若不等式的解集为，则，故D错误，
故选：ABC
12. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数B. 在上单调递增
C. 方程有两个实数根D. 函数的值域是
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数的定义域，不关于原点对称可判断A，分离常数后可得函数的单调性可判断B，解方程可判断C，分离常数求解函数值域可判断D.
【详解】A．函数的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
B．时，，函数在上单调递增，
则函数在上单调递减，故在上单调递增，B正确；
C．由题可得是方程一个根，
时，(舍去)，
时，，故C正确；
D．时，，
时，，
当时，，
所以函数的值域为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置．
13. 若函数为奇函数，则a等于________．
【答案】
【解析】
【分析】由题得且，根据函数是奇函数即得解.
【详解】由题得，
所以且，
又为奇函数，定义域应关于原点对称，
∴a＝，此时，
为奇函数．
故答案为：
【点睛】本题主要考查奇函数的概念，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
14. 已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】分和讨论，当时，利用判别式即可求解.
【详解】当时，由方程解得，集合A只有一个元素；
当时，因为集合A中只有一个元素，则，解得.
综上，实数的取值的集合为.
故答案为：
15. 已知函数是定义域为的奇函数，在区间上是增函数，当时，的图象如图所示．若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和单调性间的关系进行求解即可.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
故可化为，即，
当，时，由图象可知，，
当，时,根据奇函数图象的对称性可知，
故的取值范围为.
故答案为：
16. 若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为______，实数的取值范围为______.
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】
计算该不等式，然后辨别两个端点的大小并确定之间的整数，最后计算即可.
【详解】
令
可得
由，所以
所以不等式的解集为
依题可知：不等式有且只有两个整数解
所以这两个整数解为：1，2
所以这两个整数解之和为3
满足，又，所以
故答案为：3，.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数的定义域是，集合.
（1）若，求，；
（2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】(1)根据函数解析式，求出集合,然后利用集合的运算即可求解；
(2)将条件进行等价转化，也即，列出条件成立的不等式组，解之即可.
【小问1详解】
要使函数有意义，
则有，解得，故.
若，则， ，.
【小问2详解】
由（1）知：，
若命题“”是真命题，则.
，
故实数的取值范围是.
18. 化简求值：
（1）计算：
（2）已知，求的值．
【答案】（1）2； （2）7.
【解析】
【分析】（1）应用对数的运算性质化简求值；
（2）由指数幂的运算性质求得，结合因式分解求目标式的值.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
，则
，故.
19. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求、的值；
（2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由奇函数的定义可求得的值，结合可得出的值；
（2）任取、，且，作差，通分、因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立.
【小问1详解】
解：因为是定义在上的奇函数，所以，在上恒成立，
即在上恒成立，
即恒成立，则，所以，，
又因为，即，所以.
故，.
【小问2详解】
证明：由（1）可得，任取、，且，则，，
则
，
即，所以函数在区间上单调递增．
20. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
（1）现有可围48m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？
（2）若使每间虎笼面积为36，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
【答案】（1）长为6m,宽为4m时，面积最大值为；
（2）长为 、宽为时，钢筋网总长最小为.
【解析】
【分析】（1）求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值.
（2）求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值.
【小问1详解】
解：设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，
则，
所以，即，所以，
当，即时等号成立.
所以每间虎笼的长为6m,宽为4m时，面积的最大值为；
【小问2详解】
解：设长，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，
则钢筋网总长为，
所以钢筋网总长最小为，当且仅当，即时，等号成立.
所以当每间虎笼的长为 、宽为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小为.
21. 已知二次函数满足下列两个条件：
①的解集为；②的最小值为
（1）求的值；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1），，；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据不等式解集和最值列方程组求解可得；
（2）分、、三种情况讨论即可.
【小问1详解】
由条件知：，
由①知：的两根为，
所以，
由②结合对称性可知：
联立，解得.
小问2详解】
因为，
即，
化简得，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
22. 已知函数．
（1）当时，求的值域；
（2）若存在，使得不等式成立，求a的取值范围；
（3）讨论函数在上的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析,
【解析】
【分析】（1）分段函数分别求值域即可；
（2）分离参数，结合基本不等式，即可求得的范围；
（3）对二次函数对称轴的情况分类讨论即可.
【小问1详解】
当时，,
时，，当时有最小值1，
时，，此时，
故的值域为
【小问2详解】
由得：（*）
当时，（*）显然不成立
当时，
又
当且仅当即或时等号成立
则，即，
所以a的取值范围为.
【小问3详解】
由题知,
当时，，
当时，的最小值为,
当时，,
即时，
即时，
当时，，在上的最小值为,
当时，，，所以,
当时，，，所以,
当时，，，所以.
综上可知：
当时，
当时，
当时，