黑龙江省齐齐哈尔市龙江县育英学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市龙江县育英学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了考试时间120分钟，全卷共三道大题，总分120 分，125圈,可得D点的坐标为等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
本考场试卷序号
（由监考填写）
1.考试时间120分钟。
2.全卷共三道大题，总分120 分。
1．山西省第十六届运动会于2023年8月8日在大同体育中心开幕，下列用篆书描绘的体育图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中黄球的个数可能是（ ）
A．4B．6C．9D．10
3．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
4．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上B．y随x的增大而减小
C．它的图象在第一、三象限D．当时，

（6） （7）
6．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．5B．6C．8D．9
9．某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元．设平均每天票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知二次函数图像的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图像经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4

（10） （12）
11．若、是方程的两实数根，则 ．
12．如图，多边形为内接正五边形，与相切于点，则 ．
13．如图，，分别与相切于，，切于，已知，的半径为，则的周长是 ．
14．已知圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的底面直径为 cm．

（15） （16）
15．双曲线和如图所示，是双曲线上一点，过点作轴，垂足为，交双曲线于点，连接，若的面积为2，则 ．
16．如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ．
17．如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，菱形的对角线交点D的坐标为
18．（8分）解方程：
(1)； (2)．
19．（7分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点都在格点上B、C．
(1)建立平面直角坐标系，并直接写出点A坐标；
(2)将绕点A按逆时针方向旋转得到，画出；
(3)求的面积．
20．（8分）我校举行“创建文明城市，从我做起”的征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
(1)参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
(2)补全条形统计图；
(3)组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生征文比赛，已知A等级中男生有2名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
21．（10分）如图，在中，，以边为直径作交边于点，过点作于点，、的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
22．（10分） 如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标．
23．（12分）【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由；
【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系；
【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．

24．（14分）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
题 号
一
二
三
四
五
六
总分
核分人
得 分
命题人单位：育英学校 姓名：
得 分
评卷人
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
得 分
评卷人
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
得 分
评卷人
三、解答题（共69分）
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟记“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形”是解题关键．
【详解】解：由中心对称图形的定义可知，只有C选项是中心对称图形，
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
根据红球在总数中所占比例与实验所得频率应该相等，列式解答即可求出答案．
【详解】解：设袋中红球有个，
根据题意，可得：，
解得：，
则黄球的个数为(个)．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元一次方程的解，分和两种情况，时为一元一次方程，满足条件；时，令，求出k的取值范围．综合两种情况，即可得出结论．注意分和两种情况讨论是解题的关键．
【详解】解：当时，
关于x的方程为一元一次方程，有实数根；
当时，
关于x的方程为一元二次方程，
∵有实数根，
∴，
∴且；
综上，k的取值范围是．
故选：A．
4．A
【分析】根据旋转的性质可得，，，进而根据等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，得到，
∴，，，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了旋转的性质和等腰三角形性质的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．B
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质．反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．根据这个性质逐项判定则可．
【详解】解：A、把代入，得，
点在它的图象上，正确，故此选项不符合题意；
B、，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，故此选项符合题意；
C、，
∴它的图象在第一、三象限，正確，故此选项不符合题意；
D、∵当时，，
，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴当时，，正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．B
【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴，
∴，
∴，
∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键．
7．B
【分析】根据圆的内接四边形对角互补，圆心角是对弧的圆周角的2倍计算即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得，再利用勾股定理得，进而可求解，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
【详解】解：连接，如图：

为直径，且，，
，
在中，，根据勾股定理得：
，
，
，
故选C．
9．A
【分析】根据“三天累计票房6.62亿元”列一元二次方程即可；掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键．
【详解】解：设平均每天票房增长率为x，则第二票房收入，第三票房收入，
由题意可得：．
故选A．
10．D
【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线对称轴的方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用时得到，把代入得到，然后利用可对③进行判断；利用二次函数当时有最小值可对④进行判断；由于二次函数与直线的一个交点为，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，从而得到，，则可对⑤进行判断．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，即，
，
抛物线与轴的交点在轴的下方，
，
，故①错误；
抛物线与轴有2个交点，
，故②正确；
时，，
，
而，
，
，
，故③正确；
，有最小值，
（为任意实数），
即，故④正确；
图象经过点时，方程的两根为，，
二次函数与直线的一个交点为，
抛物线的对称轴为直线，
二次函数与直线的另一个交点为，
即，，
，故⑤正确．
综上分析可知，正确的有②③④⑤共4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴的交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由判别式确定．
11．2021
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的概念，先根据一元二次方程的解的定义得到，利用根与系数的关系得到，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵a是方程的根，
∴，即，
∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴
．
故答案为：2021．
12．/度
【分析】连接，，由多边形是正五边形可求出中心角的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可．
【详解】解：连接，，

多边形是正多边形，
，
．
直线与相切于点，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线性质；作出适当的辅助线（遇到切线，连接过切点的半径），利用切线性质是解答此题的关键．
13．24
【分析】本题考查了切线长定理；利用勾股定理求得切线的长，再根据切线长定理可知，，，进而可求出结果．
【详解】解：连接．
∵，与相切，
∴，，
在中，
由勾股定理可得．
根据切线长定理可得，，，
所以的周长．
故答案为：．
14．10
【分析】根据圆锥侧面的计算公式，求得底面半径，即可求解．
【详解】解：；
解得，所以直径为
故答案为：10．
【点睛】此题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积的计算公式．
15．5
【分析】本题考查反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义及其基本模型计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵反比例函数位于第一象限，
∴，
∴
故答案为：5．
16．10
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：，
，
，，，，
，
，
．
故答案为：10．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．
【分析】菱形的顶点,,得D点坐标为，每秒旋转,则第2025秒时,菱形旋转了253.125圈,可得D点的坐标为.
【详解】解：菱形的顶点,,得点坐标为,即
每秒旋转，则第2025秒时，得
菱形旋转了253.125圈，菱形的对角线交点D的坐标为
故答案为：.
18．(1)．
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解；
（1）利用完全平方式整理等式左边、再移项然后用平方差公式进行因式分解、最后分别令两个一次式为0，解方程即可；
（2）对等式右边利用平方差公式进行整理、移项后利用提公因式法进行因式分解、最后分别令两个一次式为0，求解方程即可．
【详解】（1）解：原方程可化为，
移项得：，
分解因式得：，
即，
∴或，
∴．
（2）原方程可化为，
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
∴，．
19．(1)建立平面直角坐标系见解析；
(2)图见解析
(3)4
【分析】本题考查作图——旋转变换、坐标与图形：
（1）根据点B，C的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）利用三角形面积公式计算即可．
熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示：
由图得：
（2）根据旋转的性质可得：
如图，即为所求．

（3）．
20．(1)20,90,40
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出学生总数，再用总人数减去A、C、D的人数得到“B等级”，然后用乘以“B等级”所占的百分比即可求得“B等级”的扇形的圆心角的度数；再后求出“C等级”所占的百分比即可求得m的值；
（2）根据（1）求得“B等级”的数量，补全条形统计图即可；
（2）根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数，由C等级人数及总人数可求得m的值；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，然后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得：（人），即参赛学生共20人；
则B等级人数（人）．
“B等级”的扇形的圆心角的度数为：；
“C等级”的所占的百分比为：，即．
故答案为：20，90，40．
（2）解：补全条形图如下：
（3）解：根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下：

由表可知共有6种等可能的结果，其中所选两名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，
∴所选学生恰是一男一女的概率．
【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列表法求概率等知识点，弄清题意、从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接、，由圆周角的性质定理和等腰三角形的三线合一定理，即可得到答案；
（2）先求出的长度，然后由三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接、，如图：
为的直径，
．
，
点是的中点．
是中点，
是的中位线．
．
，
．
是的切线．
（2）连接、，
，且，
在中，，，
，
又，
即，
．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
22．（1）y=﹣2x+1；（2）点P的坐标为（﹣，0）或（，0）．
【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为(x,0)，根据三角形的面积公式结合S△ABP=3，即可得出，解之即可得出结论．
【详解】（1）∵双曲线y=（m≠0）经过点A（﹣，2），
∴m=﹣1．
∴双曲线的表达式为y=﹣．
∵点B（n，﹣1）在双曲线y=﹣上，
∴点B的坐标为（1，﹣1）．
∵直线y=kx+b经过点A（﹣，2），B（1，﹣1），
∴，解得
∴直线的表达式为y=﹣2x+1；
（2）当y=﹣2x+1=0时，x=，
∴点C（，0）．
设点P的坐标为（x，0），
∵S△ABP=3，A（﹣，2），B（1，﹣1），
∴×3|x﹣|=3，即|x﹣|=2，
解得：x1=﹣，x2=．
∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；（2）根据三角形的面积公式以及S△ABP=3，得出．
23．（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得．
（2）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得．
（3）把旋转到的位置，连接，先根据SAS证明，由此可得，．又由可得．因此是直角三角形，由此可得，因此．
【详解】（1）如图1，

∵，，
∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，如图1，
∵，
∴，点F，D、G共线，
则，，
，
即，
在和中，，
∴，
∴；
（2），理由如下：如图2，
∵，，
∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，

∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，点F、D、G共线
在和中，，
∴，
∴，
即：，
（3），
理由是：把旋转到的位置，连接，则，．

∵，，
∴，
又∵，
∴，
则在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．通过旋转变换构造全等三角形是解题的关键．本题还运用了转化的思想：要想证明两条较短线段之和等于第三条线段，需要将这两条线段转化到一条直线上，希望多加体会．
24．(1)
(2)（1，2）
(3)
(4)
【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；
（2）抛物线的对称轴为，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；
（3）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．
【详解】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入得， ，
解这个方程组得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，设直线AB的解析式为：，
把点 A（-1，0），B（4，5）代入，
得，
解得 ，
直线AB的解析式为： ，
由（1）知抛物线的对称轴为，
点C为抛物线对称轴上一动点，，
当点C在AB上时，最小，
把x=1代入，得y=2，
点C的坐标为（1，2）；
（3）解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1
设，则，
则，
当时，DE有最大值为，
（4）解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1，
直线与y轴的交点为D（0，1），
，
，
若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形，
依题意，知D与F重合，点 的坐标为（1，1）；
②以为中心分别作点F，点C点的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；
③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；
④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，
综上所述，点N的坐标为：
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键．