宁夏银川市贺兰县景博中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附答案）

这是一份宁夏银川市贺兰县景博中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上，已知定点..和直线等内容，欢迎下载使用。

数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1．若直线的斜率为1，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.点，P在直线上，，则P点的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4．过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知两平行直线，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ）
A．B．C．2D．3
7．经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D．
8．已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分。漏选得2分，多选或错选得0分）
9．已知是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．在等腰梯形中，分别是的中点，沿将折起至，使平面平面（如图）.已知，下列四个结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，则下列说法中正确的有（ ）
A. 异面直线与 所成的角为 B.
C． D．直线与所成角的余弦值为0
12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）

A． B．直线与平面所成角的正弦值为
C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知向量x≠0都是直线l的方向向量，则x的值是_______
14．已知空间向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影向量是 ．
15．已知直线，则点关于的对称点的坐标为 ．
16．在平面直角坐标系中，设为不同的两点，直线的方程为，设，其中均为实数．下列四个说法中：
①存在实数，使点在直线上；
②若，则过两点的直线与直线重合；
③若，则直线经过线段的中点；
所有结论正确的说法的序号是
四、解答题（本答题共70分）
17．（本小题10分）已知直线,.
(1)若直线，求的值。
(2)为坐标原点，若，直线交轴正半轴于A,交轴正半轴于B，若的面积为，求的值；
18．（本小题12分）如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，．
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，求的值．
19．（本小题12分）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．
20．（本小题12分）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．
(1)求直线的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
①角A的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为．
若________________，求直线的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
21．（本小题12分）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．
(1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值；
(2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．
22．（本小题12分）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
(1)求证：；
(2)在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成角的大小为，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．
参考答案：
一、单选题：
1．B 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B
二、多选题
9．AD 10．ABC 11．BD 12．BCD
三、填空题
13．-1 14． 15．（3,3）
16．③
【详解】若点N在直线l上则ax2+bx2+c=0，
∴不存在实数δ，使点N在直线l上，
故①不正确；
若δ=1，则ax1+by1+c=ax2+by2+c，
即，
∴kMN=kl，
即过M、N两点的直线与直线l平行或重合，
故②错误；
若δ=﹣1，则ax1+by1+c+ax2+by2+c=0
即，，
∴直线l经过线段MN的中点，
即③正确；
故答案为③④．
17．(1)-1 (2)-1或-4
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为点E为的中点，所以.
（2）因为，，
所以
.
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在中，因为E，F分别是BC，AC的中点，
所以．平面，平面，
则平面，
因为，则，又，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
则平面，
又因为， 且平面，
所以平面平面．
（2）因为，，，
由余弦定理可得
，
所以，从而．
以B为坐标原点，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．

故，，，．
从而，，．
设平面ABD的法向量为，
由，得，
取，则为平面ABD的一个法向量，
所以，
所以直线AC与平面ABD所成角的正弦值为．
20．(1)
(2)
【详解】（1）因为边上的高所在的直线方程为，
所以直线的斜率，又因为的顶点，
所以直线的方程为：，即；
（2）若选①，角的平分线所在直线方程为，
由，解得，所以点A坐标为，
设点B关于的对称点为，
则，解得，即坐标为，
又点在直线上，所以的斜率，
所以直线的方程为，即．
若选②：边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，所以点，
设点，则的中点在直线上，
所以，即，又点在直线上，所以，
所以的斜率，所以直线的方程为，
即直线的方程为．
21．(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

菱形中，，所以,
在中，
因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为，所以，
则点A、B、D、P的坐标分别是，
E是PB的中点，则，于是，.
设的夹角为θ，则有.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为；
（2）连接，分别是的中点，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.
因为，,设平面PAD的法向量，
则，令，则，所以，又，
则点E到平面PAD的距离.
22．(1)证明见解析
(2)存在；中点
【详解】（1）证明：如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，
由，，可得是等腰直角三角形，即，

∵平面，∴，又平面PAC,
∴平面，∴．
（2）(方法1)过点M作交于点N，则，
∵平面，∴平面． 过点M作交于点G，
连接，则是二面角的平面角．
若，则，又，
∴，
∴，，∴M是的中点．

在三棱锥中，可得，
设点B到平面的距离是h，
则，
∴，解得．
在中，可得．设与平面所成的角为，
则．
(方法2)建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
，，，．设，则点M的坐标为，
∴．设平面的法向量是，则
得则可取．
又是平面的一个法向量，
∴，解得，
即点M是线段的中点．