2023-2024学年河南省洛阳第一高级中学高二（上）期中数学试卷（a卷）

这是一份2023-2024学年河南省洛阳第一高级中学高二（上）期中数学试卷（a卷），共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知向量，，若，，则
A．B．C．1D．2
2．（5分）一入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为
A．B．C．D．
3．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为、、为椭圆上的一点（不在轴上），则面积的最大值是
A．15B．12C．6D．3
4．（5分）抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于、两点，若的周长为，则
A．2B．C．8D．4
5．（5分）已知圆过圆与圆的公共点，若圆，的公共弦恰好是圆的直径，则圆的面积为
A．B．C．D．
6．（5分）已知椭圆过点，且离心率为，则椭圆的标准方程为
A．
B．
C．或
D．或
7．（5分）已知正三棱柱的棱长均为，是侧棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为
A．B．C．D．0
8．（5分）设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（5分）已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的有
A．双曲线的渐近线方程为
B．以为直径的圆方程为
C．点的横坐标为
D．△的面积为
10．（5分）已知点在圆上，点，，则
A．点到直线的距离小于10B．点到直线的距离大于2
C．当最小时，D．当最大时，
11．（5分）如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点，之间的距离为，若，分别为直线，上的动点，则下列说法正确的是
A．当，时，点到直线的距离为
B．线段的最小值为
C．平面平面
D．当，分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为
12．（5分）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3．则下列说法正确的是
A．抛物线的方程是B．抛物线的准线是
C．的最小值是D．线段的最小值是6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）设空间向量，，若，则 ．
14．（5分）已知圆和圆交于，两点，直线与直线平行，且与圆相切，与圆交于点，，则 ．
15．（5分）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 ．
16．（5分）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，．若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为 ．
四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知圆关于直线对称，且过点和原点．
（1）求圆的方程；
（2）相互垂直的两条直线，都过点，若，被圆所截得弦长相等，求此时直线的方程．
18．（10分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，，，分别是，，的中点．
（1）求证：平面平面．
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由．
19．（10分）生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆的焦点在轴上，中心在原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为，已知椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若从椭圆的中心出发的两束光线，，分别穿过椭圆上的，两点后射到直线上的，两点，若连线过椭圆的上焦点，试问，直线与直线能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由．
20．（10分）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．
（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
2023-2024学年河南省洛阳第一高级中学高二（上）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知向量，，若，，则
A．B．C．1D．2
【分析】根据空间向量的性质及运算规则化简计算即可得出结果．
【解答】解：由，且，得，得．由，
得，
得或，则的值为1或．
选项正确，
故选：．
【点评】本题考查空间向量的运算，属于基础题．
2．（5分）一入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为
A．B．C．D．
【分析】求出关于的对称点的坐标，利用两点式方程求出反射光线所在的直线方程．
【解答】解：光线通过点，设关于直线的对称点，
，
即，，
，
的斜率为：，
反射光线所在直线的方程是：，即，
故选：．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，对称点的坐标的求法：利用垂直平分解答，本题是通过特殊直线特殊点处理，比较简洁，考查计算能力．
3．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为、、为椭圆上的一点（不在轴上），则面积的最大值是
A．15B．12C．6D．3
【分析】由椭圆的方程可得，的值，进而可得的值，可得焦距的值，可得当点为短轴的顶点时三角形面积最大．
【解答】解：由椭圆的方程可得，，所以可得，
可得，可得焦距，
所以，
故选：．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用和三角形的面积的最大值，属于基础题．
4．（5分）抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于、两点，若的周长为，则
A．2B．C．8D．4
【分析】由双曲线方程求出渐近线方程，再求出抛物线的准线方程，联立求得，的坐标，可得，再由勾股定理求得，，利用的周长为列式求得值．
【解答】解：双曲线渐近线方程为，
抛物线的准线方程为，
由题意得：，，
，．
又的周长为，
．
解得：．
故选：．
【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质，是基础的计算题．
5．（5分）已知圆过圆与圆的公共点，若圆，的公共弦恰好是圆的直径，则圆的面积为
A．B．C．D．
【分析】求出公共弦所在的直线方程，通过圆的圆心到直线的距离，半弦长与半径的关系，求出弦长，得到圆的半径，然后求解圆的面积．
【解答】解：由两圆与圆，
作差得，两圆，的公共弦方程为，
圆的半径为，圆的圆心到直线（公共弦）的距离为．
弦长：．
圆，的公共弦恰好是圆的直径，则圆的面积为：．
故选：．
【点评】本题考查两个圆的位置关系，公共弦所在的直线方程，弦长的求法，考查计算能力．
6．（5分）已知椭圆过点，且离心率为，则椭圆的标准方程为
A．
B．
C．或
D．或
【分析】根据椭圆的焦点的位置分类讨论后，结合基本量的关系可求标准方程．
【解答】解：若焦点在轴上，则．由，得，
所以，
此时椭圆的标准方程为．
若焦点在轴上，则．由，得，
此时椭圆的标准方程为．
综上所述，椭圆的标准方程为或．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基础题．
7．（5分）已知正三棱柱的棱长均为，是侧棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为
A．B．C．D．0
【分析】根据棱柱的结构特征，建立空间直角坐标系，利用向量法，求解即可．
【解答】解：以点为坐标原点，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系如图所示：
因为是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，
则，0，，，，，，，，，，，
所以，，，，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，即，取，则，，
故，1，，
又平面的一个法向量为，0，，
所以，，
即平面与平面夹角的余弦值为．
故选：．
【点评】本题考查了棱锥的结构特征应用问题，也考查了二面角的余弦值计算问题，是基础题．
8．（5分）设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为
A．B．C．D．
【分析】利用抛物线的图象与性质、直线方程、一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式运算即可得解．
【解答】解：如图，由题意，抛物线的准线为，可得．
直线与抛物线交于，两点，直线的斜率存在且不为0，
设直线方程为，
将其代入，化简并整理得：．
由△，得．
设，，，，则，，
．
是的中点，，．过点平行轴的直线为，
与抛物线交点为知，，所以．
又，则，
的面积．
由已知条件知，，解得（满足△，解得：．
直线的方程为，即，
直线的斜率为．
故选：．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（5分）已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的有
A．双曲线的渐近线方程为
B．以为直径的圆方程为
C．点的横坐标为
D．△的面积为
【分析】求出双曲线的渐近线方程判断；求出圆的方程判断；求出的横坐标判断；求出三角形的面积判断．
【解答】解：双曲线，可得，，所以双曲线的渐近线方程为：，所以正确；
，所以，以为直径的圆方程为，所以不正确；
解得，由对称性可知的横坐标为：，所以错误；
△的面积为：，所以正确；
故选：．
【点评】本题主要考查双曲线的渐近线、向量的坐标运算等基础知识以及等价转化思想的应用，考查考生的运算求解能力．
10．（5分）已知点在圆上，点，，则
A．点到直线的距离小于10B．点到直线的距离大于2
C．当最小时，D．当最大时，
【分析】求出过的直线方程，再求出圆心到直线的距离，得到圆上的点到直线的距离范围，判断与；画出图形，由图可知，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与点间的距离，再由勾股定理求得判断与．
【解答】解：，，
过、的直线方程为，即，
圆的圆心坐标为，
圆心到直线的距离，
点到直线的距离的范围为，，
，，，
点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故正确，错误；
如图，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大），
此时，
，故正确．
故选：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题．
11．（5分）如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点，之间的距离为，若，分别为直线，上的动点，则下列说法正确的是
A．当，时，点到直线的距离为
B．线段的最小值为
C．平面平面
D．当，分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为
【分析】先证明出平面，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面，即可判断；
以为原点，，，分别为，，轴建立坐标系，用向量法判断选项、、．
【解答】解：取的中点，连接，．
在菱形中，，所以，
因为，所以，所以，
又易知，，
因为，，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，故正确；
以为原点，，，分别为，，轴建立坐标系，
则，，2，，，0，，，
当，时，，1，，，
，，
所以点到直线的距离为
，故错误；
设，0，，，，，由得，，，，
，
当，时，，故正确；
当，分别为线段，的中点时，
，0，，，1，，，，
设与所成的角为，
则，
所以与所成角的余弦值为，故正确；
故选：．
【点评】本题主要考查异面直线所成的角以及面面垂直的判定，属于中档题．
12．（5分）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3．则下列说法正确的是
A．抛物线的方程是B．抛物线的准线是
C．的最小值是D．线段的最小值是6
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得，进而得到抛物线方程；判断，求出准线方程判断，
求得，设，，，，直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，可得圆的半径，由中点坐标公式可得的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．判断，求出距离的最小值判断．
【解答】解：（1）抛物线的焦点为，
得抛物线的准线方程为，
点到焦点的距离等于3，可得，解得，
则抛物线的方程为；所以不正确；
抛物线的准线方程：，所以正确；
（2）由题知直线的斜率存在，，
设，，，，直线的方程为，
由，消去得，
所以，，
所以，
所以的中点的坐标为，
，
所以圆的半径为，
在等腰中，
，
当且仅当时取等号．
所以的最小值为．所以正确；
线段的最小值是：．所以不正确；
故选：．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程，求解交点，运用韦达定理和弦长公式、中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）设空间向量，，若，则 9 ．
【分析】先利用空间向量共线的坐标表示列方程求出和的值，进而可得的坐标，再由模长公式即可求解．
【解答】解；因为空间向量，，
由，即，，，2，，
可得，解得：，，
所以，，则，
所以．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标表示，属于基础题．
14．（5分）已知圆和圆交于，两点，直线与直线平行，且与圆相切，与圆交于点，，则 4 ．
【分析】求出圆的圆心与半径，判断两个圆的位置关系，判断直线的位置，然后求解即可．
【解答】解：圆圆心，半径为2；圆的圆心，半径为，两个圆交于，两点，圆心距为：，直线与直线平行，且与圆相切，所以直线经过圆的圆心，所以．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，两个圆的位置关系的判断，是中档题．
15．（5分）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 ．
【分析】连接，由以为直径的圆可知，设，由题意及椭圆的定义可知，，在直角三角形中，勾股定理可得，
的关系，进而在三角形中求出的正切值，即求出直线的斜率．
【解答】解：连接，
设，则，，
由椭圆的定义可得，
在△中，，
所以，
解得，
所以，
所以直线的斜率为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的性质及直角三角形的性质，直线斜率的求法，属于中档题．
16．（5分）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，．若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为 ．
【分析】在上取点，满足，可得即为异面直线与所成角（或补角），设出边长，可得，即可求出．
【解答】解：如图，在上取点，满足，
因为，，四边形为矩形，
所以，且，则四边形为平行四边形，则，
所以即为异面直线与所成角（或补角），
设，则，，
因为和都是正三角形，所以，，
由，所以，
满足，所以，
即异面直线与所成角的大小为．
故答案为：．
【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查解三角形问题以及数形结合思想，是中档题．
四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知圆关于直线对称，且过点和原点．
（1）求圆的方程；
（2）相互垂直的两条直线，都过点，若，被圆所截得弦长相等，求此时直线的方程．
【分析】（1）设圆心坐标为，利用圆过点和原点，求出，即可求圆的方程；
（2）利用圆的对称性，直接求出直线的斜率，写出直线方程即可．
【解答】解：（1）设圆心坐标为，则，
，，
圆的方程为；
（2）设圆的圆心为，、被圆所截得弦长相等，
由圆的对称性可知，直线的斜率，
直线的方程为：或．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法、直线和圆位置关系的综合应用，属于中档题．
18．（10分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，，，分别是，，的中点．
（1）求证：平面平面．
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用面面垂直的判断定理可证平面平面；
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量法可判断是否存在．
【解答】（1）证明：平面，平面，
平面平面；
（2）解：设的中点为，连接，，
因为是正三角形，故，
而平面平面，平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
由四边形为正方形，且，分别为，的中点，
可得，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，0，，，4，，，4，，，0，，
故，4，，，，
，，，
假设线段上存在点，0，，使得直线与平面所成角为，
由，有，
即，故，0，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以，
整理可得，此方程无解，故假设不成立，
即不存在满足条件的点．
【点评】本题考查面面垂直的判定，考查直线与平面所成的角，考查转化思想和数形结合思想，属中档题．
19．（10分）生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆的焦点在轴上，中心在原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为，已知椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若从椭圆的中心出发的两束光线，，分别穿过椭圆上的，两点后射到直线上的，两点，若连线过椭圆的上焦点，试问，直线与直线能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由椭圆的定义和三角形的面积公式，结合，，的关系，解得，，，可得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线的交点，直线恒过定点求法，可得结论．
【解答】解：（1）由题意设椭圆方程为，
由椭圆的定义可得这束光线的总长度为，即，
由反射点为椭圆的短轴的顶点时，可得三角形面积的最大值为，即，
又．又，所以，，．
故椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为．
联立得方程组
消去并整理，得，
则△．
设，，，，则，．
由对称性知，若定点存在，则直线与直线必相交于轴上的定点．
由得，
则直线的方程为．
令，则
．
又，
则，
所以直线过定点，
同理直线也过定点．
故直线与直线能交于一定点，且该定点为．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．（10分）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．
（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【分析】（1）利用等体积法可求点到平面的距离；
（2）以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的正弦值．
【解答】解：（1）由直三棱柱的体积为4，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
（2）连接交于点，，四边形为正方形，
，又平面平面，平面平面，
平面，，
由直三棱柱知平面，，又，
平面，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，又，解得，
则，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
则，2，，，1，，，0，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，0，，
设平面的一个法向量为，，，
，令，则，，
平面的一个法向量为，1，，
，，
二面角的正弦值为．
【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．
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