浙江省杭州市西湖区杭师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州市西湖区杭师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共26页。试卷主要包含了 若P是圆C， 已知椭圆， 已知点，若圆O等内容，欢迎下载使用。

本试题满分150分，考试时间120分钟
一．单项选择（共8题，每小题5分；满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的方向向量，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的倾斜角为.
故选：C
2. 已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用向量的线性运算即可求得结果．
【详解】因为，，，
所以.
故选：D.
3. 若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离不可能是（ ）
A. 4B. 6
C. 3＋1D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意作出示意图，判断出直线过定点，进而求出圆心到直线距离的最大值，然后判断各个答案.
【详解】如图，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点．由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6；当直线与圆有公共点时，点P到直线距离的最小值为0．即距离的范围是[0,6].
故选：D.
4. 某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（ ）
A. 中位数是3，众数是2B. 平均数是3，中位数是2
C. 方差是 ，平均数是2D. 平均数是3，众数是2
【答案】C
【解析】
【分析】举特例可说明正误，利用方差的计算公式可判断C.
【详解】选项A：有可能出现点数6，例如 ；
选项B：有可能出现点数6，例如；
选项C：设这5次的点数为 ，则方差
如果出现点数6，而，则方差大于或等于3.2，故不可能出现点数6；
选项D：有可能出现点数6，例如，
故选：C．
5. 已知椭圆（）的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可求得椭圆方程为，由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的方程，则的最小值为点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.
【详解】由题意得，则，，
所以椭圆方程为，
因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点，
因为，即点为线段的中点，
设，显然，则，
，可得，
则，即，
所以，即直线的斜率，
所以直线为，即，
因为M为直线上任意一点，
所以的最小值为点到直线的距离，
故选：B.
6. 已知点，若圆O：上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，A在圆O 上，PA中点也在圆上，根据中点位置列出方程式解得中点的轨迹为，然后根据两圆的位置关系求得a的取值范围.
【详解】设A的坐标为，PA的中点坐标为，
则有：，
解得：，
又线段PA中点也在圆上，所以两圆有公共点，
所以，
解得：，
解得：，
故选：B.
7. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，
易得，，，
因为平面，平面，所以平面，
同理平面，
又因为平面，，所以平面平面.
因为平面，所以H为线段FG上的点.
由平面，平面，得，
又，则，
由平面，得平面，
因为，所以平面，，.
因为，
所以，，.
所以
.
因为，所以.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解.
8. 设抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于两点，以为直径的圆与轴交于两点，且，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，作y轴，过A，B向准线作垂线，垂足为，，由梯形中位线得到，然后求得r，进而得到，然后，利用韦达定理求解.
【详解】解：如图所示：

设，作y轴，过A，B向准线作垂线，垂足为，，
则，所以，
则，即，
解得或（舍去），则，
设，
由，消去y得，
则，解得，
所以直线方程为，即，
故选：A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 已知圆C的方程为，直线的方程为，下列选项正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆相交
C. 直线被圆所截最短弦长为
D. 存在一个实数，使直线经过圆心
【答案】ABC
【解析】
【分析】化简直线的方程为，结合方程组的解，可判定A正确；求得圆心到定点的距离，得到点在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B正确；根据圆的性质，得到当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C正确；将圆心坐标代入直线的方程，可判定D不正确.
【详解】对于A项：由直线的方程，可化为，
联立方程组，解得，即直线恒经过定点，所以A正确；
对于B项：由圆的方程，可得圆心，半径，
又由，可得在圆内，所以直线与圆相交，所以B正确；
对于C项：由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，所以C正确；
对于D项：将圆心代入直线的方程，可得，所以不存在一个实数，使得直线过圆心，所以D不正确.
故选：ABC.
10. 甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A. 事件、是相互独立事件B. 事件、是互斥事件
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用列举法分别求出事件，，，，的概率，结合互斥事件、相互独立事件的定义直接求解．
【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数，
记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，
事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，
事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，
事件包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，，，，，
，
，事件、是相互独立事件，故正确；
事件与能同时发生，故事件与不互斥事件，故错误；
，故正确；
包包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，，，，，
．故错误．
故选：．
11. 直线l与抛物线相交于，，若，则（ ）
A. 直线l斜率为定值B. 直线l经过定点
C. 面积最小值为4D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由数量积的坐标表示结合抛物线方程得出，联立直线和抛物线方程，由韦达定理得出直线l经过定点，再由判别式判断A，由面积公式结合不等式的性质判断C.
【详解】，因为，所以，即，，又，所以，故D正确；
设直线，由得，即，，即直线l过定点，故B正确；又，则，故A错误；
，当时，面积取最小值，故C正确.
故选：BCD
12. 在棱长为1的正方体中，点M是的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，，点R到平面的距离等于它到点D的距离，则（ ）
A. 点P的轨迹的长度为B. 点Q的轨迹的长度为
C. PQ长度的最小值为D. PR长度的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，取BC的中点N，连接AN，，根据面面平行的判定可证得平面平面，从而得点P的轨迹为线段AN，解三角形计算可判断；
对于B，连接DQ，由勾股定理得，从而有点Q的轨迹是以点D为圆心，以为半径的圆，由圆的周长计算可判断；
对于C，过点D作于，交点Q的轨迹于，此时的长度就是PQ长度的最小值，由三角形相似计算得，由此可判断；
对于D，由已知得点R到直线的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的抛物线，以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线的方程为，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：， 联立，整理得，由，解得，再根据平行线间的距离可求得PR长度的最小值．
【详解】解：对于A，取BC的中点N，连接AN，，则，，所以平面，平面，
又平面，平面，，所以平面平面，
又点P在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，所以点P的轨迹为线段AN，
因为，所以点P的轨迹的长度为，故A不正确；
对于B，连接DQ，因为Q在底面ABCD上，，所以，解得，
所以点Q的轨迹是以点D为圆心，以为半径的圆，如下图所示，
所以点Q的轨迹的长度为，故B正确；
对于C，过点D作于，交点Q的轨迹于，此时的长度就是PQ长度的最小值，
而，所以，所以，即，解得，所以，
所以PQ长度的最小值为，故C正确；
，
对于D，因为点R到平面的距离等于它到点D的距离，由正方体的特点得点R到直线的距离等于点R到平面的距离，
所以点R到直线的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的抛物线，
以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，
则，，，直线AB的方程为，直线AN的方程为，
则抛物线的方程为，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：，
联立，整理得，，解得，
所以直线l的方程为：，
则直线AN与直线l的距离为：，
所以PR长度的最小值为，故D正确，
故选：BCD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．）
13. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为和，则密码被成功破译的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】设事件“甲能破译密码”，事件“乙能破译密码”，
则事件与相互独立，且，
则密码被成功破译的概率为：
.
故答案为：.
14. 已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是___________
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解.
【详解】空间内三点，，，
所以，，，，
由，
易得，所以，
所以点到直线距离.
故答案为：.
15. ，是椭圆C的两个焦点，点P是椭圆C上异于顶点的一点，点I是 的内切圆圆心，若 的面积是 的面积的4倍，则椭圆C的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】作图，根据几何关系以及条件求出a与c的关系式，再求出e.
【详解】设椭圆方程为：，如图，设P（m，n），，，
的周长为l，内切圆I的半径为r，
则由椭圆的定义可得l＝2a＋2c，∴， ，
∴，解得：，；
故答案为：．
16. 已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上且在轴上方，若线段的中点在以为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合双曲线的定义可得，，，再利用余弦定理以及同角三角关系求斜率.
【详解】由双曲线可知，
设线段的中点为，双曲线的右焦点为，
则，，
由题意可知：点在第一象限，则，，
可得，
且为锐角，则，
可得，所以直线的斜率为.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
【答案】17.
18 或
【解析】
【分析】（1）根据题干假设出圆的标准方程，代入题干信息即可求解.
（2）讨论过点的直线斜率不存在时，是否与圆相交，弦长是否为；斜率存在时，利用弦长公式进行计算，求解直线的方程即可.
【小问1详解】
设圆的标准方程为，
代入题干得：，解得：
则圆的标准方程为：
【小问2详解】
当过点的直线斜率不存在时，直线为：，此时圆心到直线的距离为所以相切，与题干不符；
当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为：，即，
此时圆心到直线的距离为，又因为相交的弦长为，则.
所以，解得或
则直线的方程为：或
18. 如图，在三棱锥中，平面，点分别是和的中点，设，直线与直线所成的角为
（1）求的长；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建系，设，利用空间向量结合异面直线夹角运算求解；
（2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.
【小问1详解】
由题意可知：平面，且，
如图，以为坐标原点，为轴所在直线建立空间直角坐标系，
设，则，
可得，
由题意可得：，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得：，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19. 实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境．2019年下半年以来，全国各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例．某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．

（1）求的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；
（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取6人进行专访，并在这6人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接由频率分布直方图求出即可；
（2）由频率分布直方图中平均值的公式求出；
（3）古典概率，先求符合条件的人数，再求基本事件总数，符合条件的事件数量，最后求概率.
【小问1详解】
由题意得：，
【小问2详解】
根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值：
【小问3详解】
从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取6人进行专访，
中选：人，分别记为，
中选：人，分别记为，
并在这6人中选取2人作为记录员，
，基本事件总数，
选取的2名记录员中至少有1人年龄在包含的基本事件：
，
基本事件数，
选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率
20. 已知椭圆（）的上下左右四个顶点分别为，轴正半轴上的点满足．
（1）求椭圆的标准方程以及点的坐标．
（2）过点的直线交椭圆于两点，且和的面积相等，求直线的方程．
（3）在（2）的条件下，求当直线的倾斜角为钝角时，的面积．
【答案】20. 椭圆的标准方程为 ，点坐标为
21. 或
22.
【解析】
【分析】（1）由及椭圆的定义即可求得标准方程及点点坐标.
（2）由 与 的面积相等知点到直线 的距离相等，再由点到直线的距离公式即可求得直线方程.
（3）由（2）求得的直线方程，联立椭圆，再由面积公式即可求得三角形的面积.
【小问1详解】
设点的坐标为 ，易知，可得，
则，，
因此椭圆的标准方程为 ，点坐标为 ．
【小问2详解】
由（1）可知：，
由题意可知：直线的斜率存在，设直线，即，
由与的面积相等知点到直线的距离相等，
所以，解得或，
所以直线的方程为或．
【小问3详解】
因为在椭圆内部，则直线与椭圆相交，
若直线的倾斜角为钝角，则，
此时直线的方程为，即
联立方程 ，消去得，
设，坐标分别为 ，，则，
所以的面积
，
故所求 的面积为．
21. 如图，在三棱柱中，，为的中点，平面平面．
（1）证明：；
（2）已知四边形是边长为2的菱形，且，线段上的点，且，当平面与平面的夹角的余弦值为时，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直证明线面垂直，进而证明线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.
【小问1详解】
因为，且D为BC的中点，则，
因为平面平面ABC，交线为BC，AD⊥BC，AD平面ABC，
可得AD⊥平面，且平面，
所以.
【小问2详解】
连接，，
因为四边形为边长为2的菱形，且，
可知为等边三角形，且D为BC的中点，则，
又因平面平面ABC，交线为BC，平面，
所以平面ABC，
以D为原点，DC，DA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，，
，可得．
设平面AED的一个法向量为，则，
令，则，可得，
设平面AEC的一个法向量为，则，
令，则，可得，
设平面EAD与平面EAC的夹角为，
则，解得：，
故点E为中点，.
22. 已知双曲线（）的离心率为，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）点在双曲线上，直线与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值．
【答案】（1）
（2）当为的中点时，
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得双曲线的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，设，得到，得出直线的方程求得和，结合为的中点，列出方程求得，求得为定值，利用直角的性质，即可求解.
【小问1详解】
因为双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则且，
设，则，
直线的方程为，
令，可得，即,
同理可得，
因为为的中点，所以，
即，
则，
可得，
整理得，
所以或，
若，即，则直线方程为，即，
此时直线过点，不合题意；
若时，则直线方程为，恒过定点，
所以为定值，
又由为直角三角形，且为斜边，
所以当为的中点时，.
【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；组数
分组
“环保族”人数
占本组的频率
第一组
45
0.75
第二组
25
第三组
20
0.5
第四组
0.2
第五组
3
0.1