浙江省杭州市源清中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州市源清中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中有且只有一项符合题意，多选、错选、不选均不得分.
1. 设全集，集合，，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据为全集，集合，利用补集运算得到，再由利用交集的运算求解.
【详解】因为全集，集合，
所以，又，
所以
故选：B
2. 已知命题，，则是（ ）.
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
利用全称命题与特称命题的否定关系，直接写出结果即可．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题，，
则命题的否定形式是，．
故选：．
3. 下列各式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数幂的运算性质逐项分析可得答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，当时，，，
所以，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
4. 若，则下列不等关系一定成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由，可判断；由，，可判断；由，，可判断；由不等式的性质可判断．
【详解】由，，可得，故错误；
由，，可得，故错误；
由，，可得，故错误；
由，，可得，故正确．
故选：．
5. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出函数的定义域、奇偶性和单调性，结合性质辨别图象即可.
【详解】因为的定义域是，排除A，B；
定义域关于原点对称，
，
所以为偶函数，排除C；
又时，为增函数，所以图象如D.
故选：D.
6. 已知a，b是实数，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分必要条件的关系,结合不等式性质即可判断.
【详解】当且时, ,即且时成立.
当时,即解得且,或且
综上可知, “且”是“”的充分不必要条件
故选:A
【点睛】本题考查了不等式比较大小,充分必要条件的关系及判断,属于基础题.
7. 已知满足，，且，则的最小值（ ）
A. 11B. C. 10D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将变形为，然后利用基本不等式“”的妙用求解.
【详解】因为，，且，所以，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为10.
故选：C.
8. 已知，对任意的，均有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由题意把恒成立问题转化为恒成立，分类讨论，分离参数求解函数最值即可求解.
【详解】当时，由得，
化简得，即，易知，
当时，，由题意，
而函数在上无最大值，所以不合题意；
当时，，由题意，
因为函数在上的最大值为1，所以，
即，解得（舍去）或，所以；
综上，实数的取值范围是.
故选：A
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中有多项符合题意，选全得5分，漏选得2分，错选、不选均不得分.
9. 下列函数中，既是奇函数，又是单调递减函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
【详解】对于A：定义域为R，且，故为偶函数，故A错误；
对于B：的定义域为，且，
所以为奇函数，
又在定义域上单调递增，所以在定上单调递减，故B正确；
对于C：的定义域为关于原点对称，
且，所以为奇函数，
时，单调递增，单调递增，由单调性的性质知，
在上单调递增，故C错误；
对于D：由得，即，
所以，所以为奇函数，
时，单调递减且，
时，单调递减且，
由奇函数性质知，在上单调递减，故D正确.
故选：BD
10. 已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ）
A. 函数恒过定点
B. 函数的值域为
C. 函数在区间上单调递增
D. 若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数解析式确定即可判断A；根据指数函数的值域来判断B；利用复合函数的单调性与指数函数的性质即可判断C；分情况作图分析，求直线与函数的图像有两个公共点时，可得实数a的取值范围，可判断D.
【详解】已知函数（，且），则，
对于A，，函数恒过定点，故A错误；
对于B，，则，所以，函数的值域为，故B正确；
对于C，当时，则单调递减，又，所以，
所以，显然此时在上单调递增；
当时，则单调递增，又，所以，
所以，显然此时在上单调递增；故C正确；
对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，
分和两种情况分别作图，如图所示：
当时，，显然不合题意；
当时，此时，即，故D错误.
故选：BC.
11. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
12. 下列说法中正确的为（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 若幂函数的图象经过点，则函数为偶函数
C. 若函数，且，则实数值为.
D. 在上是增函数，则实数取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】A根据函数定义域的定义直接求；B先求出幂函数，再用偶函数的定义判断；C先求出，再判断；D利用分段函数是增函数的性质直接求即可.
【详解】对于A，若函数的定义域为，函数的定义域满足，则，
故函数的定义域为，故A正确；
对于B，设幂函数，因为幂函数的图象经过点，
所以，则，
当时，函数无意义，故B错误；
对于C，设，则，
因为，所以，故C错误；
对于D，因为在上是增函数，则，
解得，故D正确；
故选：AD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用分段函数化简求解函数值即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以.
故答案为：.
14. 函数的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定函数有意义列出不等式组，再解不等式组作答 .
【详解】函数有意义，则有，解得，
所以原函数的定义域为.
故答案为：.
15. 设，将从小到大排列为________________.
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性求解.
【详解】因为在R上递减，所以，
因为在上递增，所以，
又因为，
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查指数，对数，幂的比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
16. 已知函数在区间上的最大值是10，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出x∈[6，10]，再分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最值，即可求出a的范围．
【详解】当x∈[1，9]，x∈[6，10]，
①当a≥10时，f（x）＝2a﹣x，f（x）max＝2a﹣6＝10，∴a＝8，舍去
②当a≤1时，f（x）＝x10，此时命题成立；
③当1＜a＜10时，f（x）max＝max{|6﹣a|+a，|10﹣a|+a}，
则或，
解得a＝8或a＜8，
综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，8]．
【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够利用最值构造出与函数值域有关的不等式，通过求解函数的值域求得结果.
四、解答题：本大题共6小题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 计算下列各式值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】直接利用指数和对数的运算性质和法则求解.
【详解】（1），
，
.
（2），
，
【点睛】本题主要考查指数和对数的运算性质和法则，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
18. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）时，结合一元二次不等式的解法化简集合，，由此能求出．
（2）由可得，得或，由此能求出实数的取值范围．
【详解】（1）由题可得：
当时，
或
则
（2）因为，则，
因为集合不可能是空集，
所以：或
即：或
所以的取值范围为
【点睛】本题主要考查了不等式，求集合的交集、集合的子集，属于容易题，这类题型尽管比较容易，但是在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.
19. 中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?
（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
【答案】（1）40元；
（2）至少应达到10.2万件，每件定价30元.
【解析】
【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值；
（2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.
【小问1详解】
设每件定价为t元，依题意得，
则，解得，
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元
【小问2详解】
依题意，时，不等式有解 ，
等价于时，有解，
因为（当且仅当时等号成立），
所以，此时该商品的每件定价为30元，
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
20. 已知函数，，.
（1）当时，求使的函数值为0的自变量的值；
（2）若时，求的最小值.
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】（1）解方程得解；（2）换元后，化为一元二次函数在闭区间上的最小值问题，按照对称轴位于区间的右侧、中间、左侧分三类讨论即可．
【详解】（1），
，，；
（2），，，
设，，
当时，（2）；
当时，，
当时，，
综上：．
【点睛】本题是我们学习指数函数部分的常规题，考查指数函数方程的解法，考查一元二次函数在闭区间上的最小值问题．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性.
【答案】（1）1,0；（2）,证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据条件可得f（0）＝0，f（﹣2）＝﹣1，解不等式组即可；
（2）将a，b的值代入f（x）中，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式的步骤即可得到函数在区间上的解析式，再利用定义证明f（x）的单调性即可；
【详解】（1）由题可知，函数是定义在上的奇函数，且，
则，解得；
（2）由（1）可知当时，，
当时，
任取，且，
且，则
于是，所以在上单调递增.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用和单调性的证明，属基础题．
22. 已知函数
（1）当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）；
（2）设在区间上最大值为，求的解析式.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间.
（2）对分成三种情况，结合函数解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式.
【小问1详解】
当时，，
当时，易得单调递增；
当时，，
因为对勾函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
又当时，，所以在上单调递增，
综上，的单调递增区间为，.
【小问2详解】
因为，
当时，，则，
根据对勾函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以；
当时，，则，显然在上单调递增，
所以；
当时，，
当时，单调递增，故，
当时，，则，
所以，又，，
当，即时，，
当，即时，；
综上，.