浙江省宁波市效实中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省宁波市效实中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷等内容，欢迎下载使用。

1．本卷满分100分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷．
第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）
一、选择题：本题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可得：命题“，”的否定为“，”.
故选：C.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式，再由充分条件、必要条件判断即可.
【详解】由可得，解得或，
因为成立推不出或，而或成立不能推出，
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
3. 函数（）的图象必经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令即可求解.
【详解】令，则，代入函数，解得，
则函数（）的图象必经过点.
故选：D
4. 设，，则的值为（ ）
A. B. C. 27D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B
5. 函数的图象可以看成将某个奇函数的图象（ ）
A 向左平移1个单位得到B. 向左平移个单位得到
C. 向右平移1个单位得到D. 向右平移个单位得到
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的平移变换规则判断即可.
【详解】可以由向左平移个单位得到，
其中定义域为且，
即为奇函数.
故选：B
6. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合分式不等式运算求解.
【详解】由题意可得：，
因为，原不等式等价于，
等价于，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：C.
7. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. 0B. 4C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，利用函数的单调性求解即可．
【详解】当时，恒成立，即恒成立，
令，
当且时，，则，
当且时，，则，
可得在上单调递减，在上单调递增，
又，所以最大值为，
∴，则实数的最小值为5．
故选：D．
8. 已知函数，，则使成立的实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】跟函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，，
由解得，所以的定义域为.
由，解得，所以的定义域为，
由于，所以是偶函数.
当时，为增函数，
所以当时，为减函数.
由得，
所以，解得.
故选：A
【点睛】求解含有函数符号的不等式的方法，主要是考虑奇偶性、单调性、定义域等方面，特别是定义域是很容易忽略的地方，求解函数的性质前，首先必须求得函数的定义域，要在函数的定义域的范围内来对函数进行研究.
二、选择题：本题共4小题．每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数与表示同一函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据同一函数的概念判断即可．
【详解】的定义域为．
，与定义域与对应关系均相同，故A正确；
，与定义域与对应关系均相同，故B正确；
的定义域为，与定义域不同，故C错误；
的定义域为，与定义域不同，故D错误．
故选：AB．
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的性质，即可判断.
【详解】对A，若，则，A正确；
对B，若，则，则，B正确；
对C，若，，设，此时，C错误；
对D，若，，则，则，D正确.
故选：ABD
11. 已知正实数a，b满足，则下列选项中正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为4
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本不等式，结合已知条件判断、、、的最值，注意不等式等号成立的条件，进而判断各项的正误.
【详解】对A，由，又，所以，
当且仅当时等号成立，A错误；
对B，，
当且仅当时等号成立，B正确；
对C，由得，即，
当且仅当时等号成立，C错误；
对D，由，当且仅当时等号成立，D正确.
故选：BD
12. 已知函数，，用表示m，n中的最大值，，记函数，则下列选项中正确的是（ ）
A. 方程有3个解B. 方程最多有4个解
C. 的解集为D. 方程在上的根为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据定义求得的表达式，作出的图象，利用图象可判断ABD，结合的图象分类讨论解不等式判断C．
【详解】由得或，即此时，时，，作出的图象，如图，
由图象可知，有两个解，有一个解，即有3个解，A正确；
例如时，由得或，显然与都有2个解，因此有4个解，又与都最多有2个解，因此B正确；
作出的图象和直线，如下图，
由得，
由，解得或，
结合的图象与直线知C正确；
时，，由得的解是（舍去），
时，，由得（舍去），
时，由得，无解，
时，由得，化简或，或，只有符合题意，其它均舍去，因此在上的解是和，D错．
故选：ABC．
第Ⅱ卷（非选择题部分，共60分）
三、填空题：本题共4小题．每小题3分，共12分．
13. 已知，则解析式为______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法求函数解析式.
【详解】令，则，可得，
所以.
故答案为：.
14. 已知集合，若，则实数a的值为______________．
【答案】或0
【解析】
【分析】根据元素与集合关系列式求解，利用元素的互异性进行验证.
【详解】由题意，，
若，此时，符合题意；
若，则，此时，不符合题意；
若，则或，
时，，不符合题意；
时，，符合题意，
综上，或.
故答案为：或0.
15. 设函数在区间上单调递增，则a的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递增，
故需在区间上单调递增，即，即.
则a的取值范围是.
故答案为：
16. 函数，的值域为______________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解.
【详解】因为，整理得，
可知关于x的方程有正根，
若，则，解得，符合题意；
若，则，
可得或，
解得或且，则或或；
综上所述：或，
即函数，的值域为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）指数的运算法则及性质化简求解；
（2）根据式子的结构特征，利用完全平方公式及立方和公式化简即可得解.
【小问1详解】
【小问2详解】
因为，
所以，即，
所以，即，
所以.
18. 设集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】18. 或
19. 且
【解析】
【分析】（1）求集合与，再结合并集的概念计算即可；
（2）因为，所以，
分和两种情况讨论，由列不等式组，求解集即可.
【小问1详解】
由题意得，
当时，，所以或，
所以或.
【小问2详解】
因为，所以，
当，即时，，满足.
当时，，不满足题意，
当，即时，要使成立，
只需即.
综上，当时，m的取值范围是且.
19. 已知函数．
（1）判断在上单调性并证明；
（2）当时，，且，，求的解析式．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据单调性的定义证明，设，且，；
（2）由转化为，设时，则，代入解析式，即可求解.
【小问1详解】
设，且，，
，，则，
即，所以上单调递增.
【小问2详解】
当时，，
由，，即，
当时，则，则，
则当时，，
故函数的解析式为.
20. （1）若，，求实数a的取值范围；
（2）若，，求实数x的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据全称命题为真，分类讨论不等式恒成立即可；
（2）根据存在性命题为真，转化为不等式有解，求最大值后解不等式即可.
【详解】（1）因为，，
①当时，不等式对成立，符合题意.
②当时，若不等式对恒成立，
则，解得，
综上，实数a的取值范围.
（2），，
即，，
所以，而在上单调递增，
所以，解得，
故实数x的取值范围.
21. 已知函数．
（1）若在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求在区间上的最大值．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，结合分段函数单调性分析求解；
（2）分类讨论在区间上的单调性，结合单调性求最值.
【小问1详解】
因为在R上单调递增，则有：
若，则，
因为在定义域内单调递增，
且，所以符合题意；
若，则，解得，
综上所述：实数a的取值范围.
【小问2详解】
因为，则，
（i）若，可知在上单调递增，最大值为；
（ⅱ）若，则开口向上，对称轴，
可知在上单调递增，最大值为；
（ⅲ）若，则开口向下，对称轴，
①当，即时，可知在上单调递减，最大值为；
②当，即时，可知在上单调递增，最大值为；
③当，即时，可知在上单调递增，在上单调递减，
所以最大值为；
综上所述：若，在区间上的最大值为；
若，在区间上的最大值为；
若，在区间上的最大值为.
22. 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，．
（1）请用描述法写出满足方程解集；（直接写出答案即可）
（2）解不等式；
（3）探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足条件；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）为大于1的正整数
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得，则关于对称，即，则为偶函数，即可得解.
【小问1详解】
依题意，，
当时，，则方程无解，
当为内的无理数时，，则方程无解，
当(为既约真分数)时，则，为大于1的正整数，
则由方程，解得，为大于1的正整数，
综上，方程的解集为为大于1的正整数.
【小问2详解】
若或或为内无理数时，，
而，此时，
若(为既约真分数)，则，为大于1的正整数，
由，得，解得，
又因为(为既约真分数)，所以，
综上，不等式的解为.
【小问3详解】
存在非零实数，使得为偶函数，即为偶函数，证明如下：
当或时，有成立，满足，
当为内的无理数时，也为内的无理数，所以，满足，
当(为既约真分数)，则为既约真分数，
所以，满足，
综上，对任意，都有，
所以关于对称，即，则为偶函数，
所以，存在非零实数，使得为偶函数.