2024届高考数学二轮复习专题强化练(一)含答案

这是一份2024届高考数学二轮复习专题强化练(一)含答案，共12页。

A．3 B．－3
C．eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
解析：因为eq \f(3sin α＋2cs α,2sin α－cs α)＝eq \f(8,3)，
所以eq \f(3tan α＋2,2tan α－1)＝eq \f(8,3)，解得tan α＝2，
所以tan (α＋eq \f(π,4))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝eq \f(2＋1,1－2×1)＝－3.
故选B.
答案：B
2．(2023·广东模拟)设α满足sin α－eq \r(3)cs α＝－2，则cs (π－2α)＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)
解析：因为α满足sin α－eq \r(3)cs α＝－2，所以eq \f(1,2)sin α－eq \f(\r(3),2)cs α＝－1，即sin(α－eq \f(π,3))＝－1，
所以α－eq \f(π,3)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，即α＝2kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，
则cs (π－2α)＝－cs 2α＝－cs (4kπ－eq \f(π,3))＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
故选C.
答案：C
3．(2023·汕头一模)已知x∈(0，eq \f(π,2))，y∈(0，eq \f(π,2))，eq \f(cs x＋sin x,cs x－sin x)＝eq \f(1－cs 2y,sin 2y)，则下列判断正确的是( )
A．tan (y－x)＝1
B．tan (y－x)＝－1
C．tan (y＋x)＝1
D．tan (y＋x)＝－1
解析：因为x∈(0，eq \f(π,2))，y∈(0，eq \f(π,2))，
eq \f(cs x＋sin x,cs x－sin x)＝eq \f(1－cs 2y,sin 2y)，
所以eq \f(1＋tan x,1－tan x)＝eq \f(1－（1－2sin2 y）,2sin ycs y)＝tan y，
所以1＋tan x＝tan y－tan xtan y，
tan y－tan x＝1＋tan ytan x，
故tan (y－x)＝1，
故选A.
答案：A
4．(2023·广州二模)已知函数f(x)＝sin (ωx－eq \f(π,3))(ω>0)的图象关于点(eq \f(π,6)，0)对称，且f(x)在(0，eq \f(5π,48))上单调，则ω的取值集合为( )
A．{2} B．{8}
C．{2，8} D．{2，8，14}
解析：f(x)关于点(eq \f(π,6)，0)对称，所以sin (eq \f(π,6)ω－eq \f(π,3))＝0，
所以eq \f(π,6)ω－eq \f(π,3)＝kπ，ω＝6k＋2，k∈Z；①
0所以eq \f(5π,48)ω－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)，0<ω≤8；②
由①②得ω的取值集合为{2，8}．
故选C.
答案：C
5．(2023·汕头二模)在△ABC中，已知C＝45°，b＝eq \r(2)，c＝2，则角B为( )
A．30°或150° B．60°
C．30° D．60°或120°
解析：在△ABC中，C＝45°，b＝eq \r(2)，c＝2，
所以根据正弦定理得：eq \f(2,\f(\r(2),2))＝eq \f(\r(2),sin B)，解得sin B＝eq \f(1,2)，
因为b故选C.
答案：C
6．(2023·广东二模)已知某摩天轮的半径为60 m，其中心到地面的距离为70 m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100 m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有( )
A．5分钟 B．10分钟
C．15分钟 D．20分钟
解析：设游客到地面的距离为y m，y关于转动时间t(单位：分钟)的函数关系式为y＝Asin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则A＝60，－A＋b＝10，可得b＝70，
函数y＝Asin (ωt＋φ)＋b的最小正周期为T＝30，则ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,15)，
当t＝0时，游客位于最低点，可取φ＝－eq \f(π,2)，
所以y＝60sin (eq \f(πt,15)－eq \f(π,2))＋70＝－60cs eq \f(πt,15)＋70，
由y>100，即－60cs eq \f(πt,15)＋70>100，可得cs eq \f(πt,15)<－eq \f(1,2)，
所以2kπ＋eq \f(2π,3)因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟．
故选B.
答案：B
7．(2023·聊城三模)在△ABC中，∠ACB＝30°，点D在边BC上，且BD＝3，若AB＝2AD，则CD长度的最大值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：如图，
以B点为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，
∠ACB＝30°，点D在边BC上，且BD＝3，
则D(3，0)，
设A(x，y)，因为AB＝2AD，则eq \r(x2＋y2)＝2eq \r(（x－3）2＋y2)，
所以x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，
所以A点轨迹是一个圆，圆心E(4，0)，半径AE＝2，
∠ACB＝30°，DE＝1，CD＝CE＋1，
求CD长度的最大值即为求CE长度的最大值，
在△ACE中，由正弦定理eq \f(AE,sin ∠ACB)＝eq \f(CE,sin ∠EAC)＝4，
则CE＝4sin ∠EAC，当∠EAC＝90°时，即AC与圆E相切时，sin ∠EAC＝1，
则CE长度的最大值为4，CD长度的最大值为5.
故选C.
答案：C
8．(2023·佛山二模)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(|φ|0，则φ的值为( )
A．－eq \f(π,6) B．eq \f(π,6)
C．－eq \f(π,3) D．eq \f(π,3)
解析：因为x3－x2＝2(x2－x1)＝4x1，
所以x2＝3x1，x3＝7x1，
又f(x1)＝f(x2)＝f(x3)>0，
且x1，x2，x3∈(0，eq \f(3π,2))，
所以x3－x1＝6x1＝π，x1＝eq \f(π,6)，x2＝eq \f(π,2)，
所以π－2x1－φ＝2x2＋φ，即π－eq \f(π,3)－π＝2φ，
所以φ＝－eq \f(π,6).
故选A.
答案：A
9．(多选题)函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．ω＝2
B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(7π,12)对称
C．函数y＝f(x)在[－eq \f(2π,3)，－eq \f(π,6)]单调递减
D．函数f(x－eq \f(π,6))是偶函数
解析：根据函数图象可得eq \f(1,4)T＝eq \f(π,3)－eq \f(π,12)，即函数的最小正周期为T＝eq \f(2π,ω)＝π，可得ω＝2，即A正确；
又因为函数图象过(eq \f(π,12)，2)，所以f(eq \f(π,12))＝2sin (2×eq \f(π,12)＋φ)＝2，可得φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π可得φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,3))，
将x＝eq \f(7π,12)代入可得f(eq \f(7π,12))＝2sin (2×eq \f(7π,12)＋eq \f(π,3))＝－2，
所以x＝eq \f(7π,12)为函数y＝f(x)的一条对称轴，故B正确；
当x∈[－eq \f(2π,3)，－eq \f(π,6)]时，2x＋eq \f(π,3)∈[－π，0]，根据正弦函数单调性可得函数f(x)在[－eq \f(2π,3)，eq \f(π,6)]上先减后增，故C错误；
易得f(x－eq \f(π,6))＝2sin [2(x－eq \f(π,6))＋eq \f(π,3)]＝2sin 2x是奇函数，故D错误．
故选AB.
答案：AB
10．(多选题)(2023·广东一模)如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动(忽略小球的大小)，它在t(s)时刻相对于平衡位置的高度h(cm)可以由h＝2sin (eq \f(π,2)t＋eq \f(π,4))确定，则下列说法正确的是( )
A．小球运动的最高点与最低点的距离为2 cm
B．小球经过4 s往复运动一次
C．t∈(3，5)时小球是自下往上运动
D．当t＝6.5时，小球到达最低点
解析：小球运动的最高点与最低点的距离为2－(－2)＝4 (cm)，所以选项A错误；
因为eq \f(2π,\f(π,2))＝4，所以小球经过4 s往复运动一次，因此选项B正确；
当t∈(3，5)时，eq \f(π,2)t＋eq \f(π,4)∈(eq \f(7π,4)，eq \f(11π,4))，所以小球是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C错误；
当t＝6.5时，h＝2sin (eq \f(π,2)×6.5＋eq \f(π,4))＝－2，所以选项D正确．
故选BD.
答案：BD
11．(多选题)(2023·广州一模)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－eq \f(π,2)<φA．函数y＝f(x)的图象关于点(－eq \f(π,8)，0)对称
B．函数y＝f(x)在[0，π]有且仅有2个极值点
C．若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|的最小值为eq \f(π,4)
D．若f(α－eq \f(π,8))f(β－eq \f(π,8))＝eq \f(1,2)，则cs 2(α－β)＝1＋cs 2(α＋β)
解析：因为函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－eq \f(π,2)<φ所以2×eq \f(π,8)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
所以φ＝eq \f(π,4)，f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,4))．
令x＝－eq \f(π,8)，求得f(x)＝0，可得函数y＝f(x)的图象关于点(－eq \f(π,8)，0)对称，故A正确；
当x∈[0，π]，2x＋eq \f(π,4)∈[eq \f(π,4)，eq \f(9π,4)]，
f(x)有且仅有2个极值点：
2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)或eq \f(3π,2)，即x＝eq \f(π,8)或eq \f(5π,8)，故B正确；
若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|的最小值为半个周期，即eq \f(1,2)×eq \f(2π,2)＝eq \f(π,2)，故C错误；
若f(α－eq \f(π,8))f(β－eq \f(π,8))＝eq \f(1,2)＝sin 2α·sin 2β，
则cs 2(α－β)＝cs 2αcs 2β＋sin 2αsin 2β
＝cs 2αcs 2β＋eq \f(1,2)，
而1＋cs 2(α＋β)＝1＋cs 2αcs 2β－sin 2αsin 2β
＝cs 2αcs 2β＋eq \f(1,2)，
所以cs 2(α－β)＝1＋cs 2(α＋β)，故D正确，
故选ABD.
答案：ABD
12．(多选题)(2023·茂名模拟)已知函数f(x)＝|cs x|＋cs |x|，有下列四个结论，其中正确的结论为( )
A．f(x)在区间[eq \f(3π,4)，eq \f(3π,2)]上单调递增
B．π是f(x)的一个周期
C．f(x)的值域为[0，2]
D．f(x)的图象关于y轴对称
解析：因为f(x)＝|cs x|＋cs |x|＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2cs x，x∈[－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ]，k∈Z，,0，x∈（\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ），k∈Z，))
所以f(x)在区间[eq \f(3π,4)，eq \f(3π,2)]上为常函数，所以A选项错误；
所以f(x)的周期为2π，所以B选项错误；
所以f(x)的值域为[0，2]，所以C选项正确；
又易知f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，
所以f(x)的图象关于y轴对称，所以D选项正确．
故选CD.
答案：CD
13．(2023·惠州一模)函数f(x)＝sin (ωx＋eq \f(π,3))(ω>0)的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若x3－x2＝eq \f(π,2)，则xn的值可以是__________(写出符合条件的一个值即可)．
解析：由题意得：T＝2·eq \f(π,2)＝π，故ω＝eq \f(2π,π)＝2，
故f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))，
故x1＝－eq \f(π,6)＋eq \f(π,2)＝eq \f(π,3)，
x2＝eq \f(π,2)＋eq \f(π,3)，
x3＝2·eq \f(π,2)＋eq \f(π,3)，…….
故答案为eq \f(π,3)(答案不唯一)．
答案：eq \f(π,3)(答案不唯一)
14．(2023·佛山一模)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|解析：由题意可得：f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,ω)，
因为f(eq \f(1,3)T)＝f(eq \f(1,2)T)，且eq \f(1,2)T－eq \f(1,3)T＝eq \f(1,6)T所以ω×eq \f(5,12)T＋φ＝eq \f(5,6)π＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
解得φ＝kπ－eq \f(π,3)(k∈Z)，
又因为φ∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，则k＝0，φ＝－eq \f(π,3)，
故f(x)＝sin (ωx－eq \f(π,3))，
因为x∈(0，π)，则ωx－eq \f(π,3)∈(－eq \f(π,3)，ωπ－eq \f(π,3))，
若函数f(x)在区间(0，π)上恰有2个极值点，
则eq \f(3,2)π<ωπ－eq \f(π,3)≤eq \f(5,2)π，解得eq \f(11,6)<ω≤eq \f(17,6)，
故ω的取值范围是(eq \f(11,6)，eq \f(17,6)]．
答案：(eq \f(11,6)，eq \f(17,6)]
15．(2023·青岛一模)湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园．已知∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，∠BAC＝30°，∠DBC＝60°，AB＝2eq \r(2)千米，则CD＝________千米．
解析：由题意可知，eq \f(AB,sin ∠ACB)＝eq \f(AC,sin ∠ABC)，
所以eq \f(2\r(2),sin （180°－30°－45°－60°）)＝eq \f(AC,sin （45°＋60°）)，
即eq \f(2\r(2),sin 45°)＝eq \f(AC,sin 45°cs 60°＋cs 45°sin 60°)，
所以4＝eq \f(AC,\f(\r(6)＋\r(2),4))，所以AC＝eq \r(6)＋eq \r(2)，
又∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，
所以△ABD为等腰直角三角形，
所以AD＝AB＝2eq \r(2)，
在△DAC中由余弦定理得
CD＝eq \r(AC2＋AD2－2·AC·ADcs ∠DAC)
＝eq \r(（\r(6)＋\r(2)）2＋（2\r(2)）2－2（\r(6)＋\r(2)）×2\r(2)cs （90°－30°）)
＝2eq \r(3)，
所以CD＝2eq \r(3).
答案：2eq \r(3)
16．(2023·湛江二模)若函数f(x)＝sin (ωx＋eq \f(π,3))(ω>0)在(－eq \f(π,6)，eq \f(π,18))上具有单调性，且x＝eq \f(2π,9)为f(x)的一个零点，则f(x)在(－eq \f(π,6)，eq \f(π,18))上单调递________(选填“增”或“减”)，函数y＝f(x)－lg x的零点个数为________．
解析：因为函数f(x)＝sin (ωx＋eq \f(π,3))(ω>0)在(－eq \f(π,6)，eq \f(π,18))上具有单调性，
所以eq \f(π,18)－(－eq \f(π,6))≤eq \f(1,2)T，即eq \f(2π,9)≤eq \f(π,ω)，所以0<ω≤eq \f(9,2)，又因为f(eq \f(2π,9))＝sin(eq \f(2π,9)ω＋eq \f(π,3))＝0，所以eq \f(2π,9)ω＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，
即ω＝eq \f(9k,2)－eq \f(3,2)，k∈Z，只有k＝1时，ω＝3符合要求，
此时f(x)＝sin (3x＋eq \f(π,3))，
当x∈(－eq \f(π,6)，eq \f(π,18))时，3x＋eq \f(π,3)∈(－eq \f(π,6)，eq \f(π,2))，所以f(x)在(－eq \f(π,6)，eq \f(π,18))上单调递增，
作出函数y＝f(x)与y＝lg x的图象，由图可知，这两个函数的图象共有9个交点，
所以函数y＝f(x)－lg x的零点个数为9个．
答案：增 9个