安徽省大联考2023-2024学年高二上学期阶段性测试（一）数学试卷(含答案)

这是一份安徽省大联考2023-2024学年高二上学期阶段性测试（一）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、设集合，则( )
A.
B.
C.
D.
2、在空间直角坐标系中，点与点( )
A.关于平面对称
B.关于y轴对称
C.关于平面对称
D.关于x轴对称
3、若光线沿倾斜角为的直线射向y轴上的点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为( )
A.
B.
C.
D.
4、已知三条直线，，交于一点，则实数( )
A.-1B.1C.D.
5、已知，，则a、b、c的大小关系是( )
A.B.C.D.
6、已知向量以，b，为基底时的坐标为，则以，，为基底时的坐标为( )
A.B.C.D.
7、已知，，则的最大值为( )
A.B.1C.D.
8、如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，若直线与平面交于点M，则线段的长度为( )
A.B.2C.D.
二、多项选择题
9、已知向量，，则( )
A.
B.与同向的单位向量为
C.
D.
10、已知中，点和，则下列说法正确的是( )
A.
B.边所在直线的方程为
C.边上的高所在直线的倾斜角为钝角
D.若，则的面积为3
11、已知，直线，，与交于点M，则下列说法正确的是( )
A.当时，直线在x轴上的截距为1
B.不论m为何值，直线一定过点
C.点M在一个定圆上运动
D.直线与直线关于直线对称
12、在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列说法正确的是( )
A.M，N，，B四点共面
B.
C.过点，B，N的平面被正方体所截得的截面是等腰梯形
D.过作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为
三、填空题
13、已知倾斜角为的直线经过点，且，则直线l的方程为_______.
14、已知函数的图象关于直线对称，则当时，函数的值域为_______.
15、在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线l的距离为_______.
16、已知向量，的夹角为（为定值），，当时，的最小值是，则的大小为_______.
四、解答题
17、已知函数的图象与y轴交于点P，且点P在直线上
（1）求a的值；
（2）求不等式的解集.
18、如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19、已知的顶点，顶点C在x轴上，边上的高所在的直线方程为.
（1）求直线的方程；
（2）若边上的中线所在的直线方程为，求m的值.
20、在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A；
（2）若，D为边的中点，求的值.
21、已知直线l的方程为.
（1）若l与直线垂直，求实数m的值；
（2）当l与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求l的方程.
22、如图，在三棱锥中，，，O为棱的中点
（1）证明：平面平面；
（2）若点M在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小
参考答案
1、答案：D
解析：由可得，
即，，
所以.
2、答案：B
解析：点A和点B的纵坐标相同，其他坐标互为相反数，故它们关于y轴对称.
3、答案：A
解析：光线沿倾斜角为的直线射向轴上的点，
经y轴反射后反射光线所在的直线的倾斜角为，反射光线的斜率为，
且反射光线过点，故反射光线所在的直线方程为.
4、答案：C
解析：将方程与联立，得两条直线的交点坐标为，
依题意得，解得.
5、答案：D
解析：，，故.
6、答案：A
解析：因为向量以，b，为基底时的坐标为，所以.
设，，
由空间向量基本定理可得，解得，
因此，以，，为基底时的坐标为.
7、答案：C
解析：，
，当且仅当，
即时等号成立所以原式的最大值为.
8、答案：B
解析：如图，连接，因为直线与都在平面内，
所以直线与的交点即与平面的交点M，
利用三角形相似，可得，以D为原点，为x轴，为y轴，
为z轴建立空间直角坐标系，则，，，
所以，从而，
所以M的坐标为，
所以.
9、答案：ABD
解析：向量.则，A正确；
显然与同向的单位向量为，B正确；
由数量积的定义得，C错误；
显然，则，D正确.
10、答案：AD
解析：，故A正确；将代入，不成立，故B错误；
，故边上的高所在直线的斜率为2，故C错误；
边所在直线的方程为，点A到直线的距离为二，又因为，所以的面积为3，故D正确.
11、答案：BC
解析：当时，直线在x轴上的截距为-1，故A错误；
直线，当m变化，时，恒成立，所以恒过定点，故B正确；
因为不论m取何值，直线与都互相垂直，且恒过定点，恒过定点，
所以点M在以和为直径的端点的圆上运动，故C正确；
将方程中的x，y互换得到，与直线的方程不一致，故D错误.
12、答案：BCD
解析：若M，N，，B四点共面，根据面面平行的性质，
可知，又，所以，显然不成立，故假设不成立，故A错误；
平面，平面，，，，
平面，又平面，从而，故B正确；
取的中点P，易得，所以P，N，，B四点共面，易知，
所以四边形为等腰梯形，故C正确；
正方体外接球的球心在其中心点O处，球的半径，
要使过的平面截该球得到的截面面积最小，
则截面圆的圆心为线段的中点Q、连接，，
则，，所以，
此时截面圆的半径，所以所得截面面积的最小值为，故D正确.
13、答案：
解析：由题意可得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为，
即.
14、答案：
解析：因为的图象关于直线对称，所以，
得，又因为，所以，
当时，，所以.
15、答案：
解析：根据题意，直线的方程可写为，则的方向向量为，
且过点.，，则.
故在上投影向量的模为，
故点P到直线l的距离为.
16、答案：或
解析：
，
当时，.
.因为，所以，
因为，所以，或，因为，
所以.
17、答案：（1）
（2）不等式的解集为
解析：（1）由题意知，
，解得.
（2）由，得，
，
，，
，
故不等式的解集为.
18、答案：（1）异面直线与所成角的余弦值为
（2）直线与平面所成角的正弦值为
解析：（1）由题可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）设，，，
设平面的法向量为，
则，即，取，可得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）由条件知边上的高所在的直线的斜率为，
所以直线的斜率为2，
又因为，所以直线的方程为，即.
（2）因为C点在x轴上.所以设，则线段的中点为，
点D在直线上，所以，得，即，
又点C在直线上，所以，得.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由条件和正弦定理可得，
又，所以，所以，
即，
又，所以，所以.
（2）因为，所以由正弦定理得：
设，则.
因为为边上的中线，所以，
即，
即，
即，显然，所以，
即.
21、答案：（1）
（2）
解析：（I）由已知得l的斜率为，
因为l与直线垂直，所以，
解得.
（2）令，得，令，得，
由且，解得.
所以l与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积，
令，则，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时三角形面积最小，
此时l的方程为，即.
22、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，连接.
，，O为棱的中点，
，且，
又，
，且，
则，则，
，，平面，
平面，而平面，
平面平面.
（2）建立以O为坐标原点，直线，，分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，
故，，，，
设，，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，可得，，即，
设直线与平面所成角为，则，
，解得或（舍去），
则平面的法向量为.
易知平面的一个法向量为，
设二面角为，
，
二面角的大小为.