广东省江门市台山市培正中学2023-2024学年高二上学期期中调研测试（一）数学试题（解析版）

这是一份广东省江门市台山市培正中学2023-2024学年高二上学期期中调研测试（一）数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 空间直角坐标系中，已知，，则线段的中点为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】根据中点坐标公式，中点坐标为.故选.
2. 两条平行线与间的距离为
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两直线间的距离公式，计算出两条平行直线间的距离.
【详解】直线，所以两条平行线间的距离为.
故选：A
【点睛】本小题主要考查两条平行直线间的距离的计算，属于基础题.
3. 直线的倾斜角（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将直线方程化成斜截式，再根据斜率得到倾斜角.
【详解】化成斜截式为，所以直线斜率，直线倾斜角更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 ，且，则.
故选：D.
4. 在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】由空间向量基本定理判断.
【详解】如图所示：
A. 因为，且，，共面，故，，不能作为基底，故A错误；
B. 因为=+，且 ，，共面，故，，不能作为基底，故B错误；
C. 因为，，不共面，故，，可以作为基底，故C正确；
D. 因为，，共面，且，故，，共面，所以，，不能作为基底，故D错误；
故选：C
5. 经过与两点的直线的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知得，两点的纵坐标相等，所以，该直线的斜率为0，可得直线方程为
【详解】由两点的坐标可知，直线与轴平行，所以直线的方程为.
【点睛】本题考查已知两点求直线方程，属于基础题
6. 若直线的倾斜角为，则等于（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知建立方程可得选项.
【详解】由已知得直线的倾斜角为，所以，解得，
故选：B.
7. 已知点，，线段的垂直平分线与x轴相交于点P，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出的垂直平分线方程，从而得到，再用两点之间距离公式计算即可.
【详解】线段AB的中点坐标为，
线段AB所在直线的斜率．
线段AB的垂直平分线方程为．
令，得．
解得，因此，．
.
故选：D
【点睛】本题主要考查直线方程，同时考查两点之间距离公式，属于简单题.
8. 圆上到直线的距离为的点共有
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】
求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.
【详解】圆可变为，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
圆上到直线的距离为的点共有个.
故选：C.
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 关于点，下列说法正确的是（ ）
A. 点P关于Oxy平面的对称点的坐标为
B. 点P关于x轴的对称点的坐标为
C. 点P关于Oyz平面的对称点的坐标为
D. 点P关于y轴的对称点的坐标为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据“关于谁对称，谁不变”的规律结合选项逐项分析即可求出结果.
【详解】求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点关于y轴的对称点为，关于平面的对称点是，点关于轴的对称点为，关于平面的对称点是
故A选项点P关于Oxy平面的对称点的坐标为，故A正确；
B选项点P关于x轴的对称点的坐标为，故B错误；
C选项点P关于Oyz平面的对称点的坐标为，故C正确；
D选项点P关于y轴的对称点的坐标为，故D正确．
故选：ACD．
10. 过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A. x﹣y+1＝0B. x+y＝3C. 2x﹣y＝0D. x+y+2＝0
【答案】AC
【解析】
【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.
【详解】当直线过坐标原点时，
设直线，代入，所以，所以直线方程为；
当直线不过坐标原点时，
设直线，代入，所以，所以直线方程为，
故选：AC
11. 下面四个结论正确的是（ ）
A. 空间向量，若，则
B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D. 任意向量满足
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空间向量的概念及其相关推论，即可得出答案.
【详解】对于A：若，则，故A正确；
对于B：若对空间中任意一点O，有，由于，则P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C：假设不是空间的一个基底，则共面，
设，
因为，所以有，
整理可得，
因为是空间的一个基底，
所以有，显然该方程组不成立，故假设错误.
所以，也是空间的一个基底，故C正确；
对于D：由于一个数值，也是一个数值，
则由可得和共线，与已知的任意性不符，故D错误．
故选：ABC.
12. 已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（ ）
A. 与是共线向量
B. 平面ABC的一个法向量是（1，－1，3）
C. 与夹角的余弦值是
D. 与方向相同的单位向量是（1，1，0）
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项直接写出与，按照共线向量即可判断；
B选项直接计算法向量即可.
C选项通过夹角公式计算即可；
D选项由单位向量的求法进行判断；
【详解】对A，，，因为，显然与不共线，A错误；
对B，设平面的法向量，则，令，得，B正确.
对C，，，C正确；
对D，方向相同的单位向量，即，D错误；
故选：BC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13. 已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可.
【详解】由题知，直线过点，且直线的方向向量为，点，
所以，
所以点到的距离为
故答案为：
14. 已知圆的方程为.则实数的取值范围______.
【答案】
【解析】
【分析】根据即可.
【详解】解：由题意得，
即，
，
故答案为：.
【点睛】考查二元二次方程表示圆的条件，基础题.
15. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________.
【答案】或
【解析】
【分析】分类讨论直线是否过原点确定直线方程即可.
【详解】当直线过原点时，设直线方程为，则，
直线方程为，即，
当直线不经过原点时，直线的斜率为，直线方程为，整理可得：.
故答案为或．
【点睛】本题主要考查直线方程的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16. 已知向量，，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量共线定理求解即可.
【详解】解：因为，，且，
所以存在非零实数使得，即
所以，解得
所以
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知直线，直线过点，且直线.
（1）当时，求直线的方程；
（2）若直线与之间距离是2，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将代入，求出的方程，再利用待定系数法设出的方程，将点代入，即可求解.
（2）首先根据题意，平行线之间的距离就是点到的距离，再利用点线距离公式即可求解.
【小问1详解】
当时，直线，即.
因为直线，所以设直线的方程为.
因为直线过点，所以，解得，
则直线的方程为.
【小问2详解】
由题意可知与之间的距离即点到直线的距离是2，所以，所以，解得或.
18. 已知圆过两点，且圆心在直线上.
（1）求该圆的方程；
（2）求过点直线被圆截得弦长最大时的直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出的中垂线，根据求出圆心坐标，求出半径即可得解；
（2）直线被圆截得的弦长最大时是过圆心的直线，求出直线方程.
【详解】解：（1）因为圆过两点，，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即
又因为圆心在直线上，
解得，圆心，
故圆的方程为.
（2）因为直线被圆截得的弦长最大时是过圆心的直线，所以直线过点，
由过点，的斜率为，
所以直线的方程为，
故直线的方程为.
19. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）首先设，根据题意得到，再解方程组即可.
（2）首先设，得到，从而得到，解方程得到，再求出和点到直线的距离，即可得到答案.
【详解】（1）设，因为直线与直线垂直，且点在直线上，
所以，解得，故.
（2）设由题知：，
所以，解得，即.
，直线，即：.
，
点到直线的距离，
所以.
【点睛】本题主要考查直线的方程，同时考查点到直线的距离公式，属于中档题.
20. 已知三个顶点的坐标分别为，，．求：
（1）过点且与直线平行直线方程．
（2）中，边上的高线所在直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先求出的斜率，由平行求出所求直线的斜率，利用点斜式直线方程求解即可；
（2）先求出的斜率，由垂直求出所求直线的斜率，利用点斜式直线方程求解即可．
【详解】解：（1）因为三个顶点的坐标分别为，，，
所以直线的斜率为，
则过点且与直线平行的直线方程为，即.
（2）因为直线的斜率为，
所以中边上的高所在直线的斜率为-1，
又高所在直线过点，
所以高所在直线的方程为，即．
21. 如图，建立空间直角坐标系.单位正方体顶点A位于坐标原点，其中点，点，点.
（1）若点E是棱的中点，点F是棱的中点，点G是侧面的中心，则分别求出向量，，.的坐标；
（2）在（1）的条件下，分别求出；的值.
【答案】（1）；；
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据图像得到各点坐标，再计算向量得到答案.
（2）根据向量的数量积公式和模长公式计算得到答案.
【小问1详解】
因为点E是棱的中点，点F是棱的中点，点G是侧面的中心，
可得，
所以；；；
【小问2详解】
可得；
又由，所以.
22. 已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）点P是圆O1：上任一点，求三角形PAB面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设圆的标准方程为，代入两个点的坐标可解得结果；
（2）由圆O1的标准方程求出其圆心为（6，0），半径，根据点到直线的距离求出点O1到直线AB的距离，设三角形的边上的高为，则，即，根据三角形的面积公式可得结果.
【详解】（1）由题意设圆心为，半径为，则圆的标准方程为．
由题意得，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）由题意知道，圆O1的圆心为（6，0），半径，
又边所在直线方程为，即，
所以点O1到直线AB的距离为，
设三角形的边上的高为，则，即，
又，
所以三角形的面积.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求圆的标准方准，考查了由圆的一般方程求圆心坐标和半径，考查了点到直线的距离公式，考查了三角形的面积公式，属于中档题.