河南省安阳市北关区莲花学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份河南省安阳市北关区莲花学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了下列说法正确的是，已知抛物线y＝a等内容，欢迎下载使用。

1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件
B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件
C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨
D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次
3．方程3x2+2x﹣a＝0的一个根为﹣2，则a是（ ）
A．6B．7C．8D．5
4．如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于（ ）
A．27°B．32°C．36°D．54°
5．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＜0，a，k为常数），A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
6．用一个圆心角为120°，半径为2cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面的半径为（ ）
A．B．C．1cmD．
7．二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1B．x＞2C．﹣1＜x＜2D．x＜﹣1或x＞2
8．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦AB＝4，那么⊙O的半径长度为（ ）
A．2B．4C．2D．4
9．如图，菱形OABC的顶点O与原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为（3，4），将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A．（9，﹣4）B．（4，﹣8）C．（﹣8，﹣4）D．（8，﹣3）
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．若一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣2x1x2的值为 ．
12．二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1的图象的顶点坐标是 ．
13．点A（x+3，2y+1）与A′（y﹣5，x）关于原点对称，则A点的坐标为 ．
14．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
15．如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连接EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝ ．
三.解答题（共8小题，共75分）
16．解下列方程：
（1）x2﹣5x＝6；
（2）x（2x﹣3）＝2x﹣3．
17．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且+＝12，求m的值．
18．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，3），B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1，直接写出点B1关于点O的对称点B2的坐标；
（2）请直接写出以A、B、O、C为顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标；
（3）在旋转过程中，求点B经过的路径的长．
19．学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、毽球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；
（2）在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数；并把条形统计图补充完整；
（3）在最喜爱健美操项目的学生中，八年一班和八年二班各有2名同学有健美操基础，学校准备从这4人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率．
20．如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求⊙O的半径．
21．某大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当获得利润为4000元时，降价多少元？
（3）设每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，5），B（0，5）．抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（﹣3，0）两点，交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最小值；
（3）连接AB，若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象向上平移m（m＞0）个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
23．如图1，D是等边三角形ABC内部的一点，连接DA，DB，DC．将△BCD绕着点C顺时针旋转一定的角度得到△ACE，连接DE．
（1）图1中，若AD＝3，CD＝4，BD＝5，求∠ADC的度数；
（2）如图2，E为正方形ABCD内部的一点，连接EB，EC，ED，将△BCE绕着点C顺时针旋转一定的角度得到△DCF．若∠DEC＝135°，DE＝2，CE＝4，则BE的长为 ．
参考答案
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意；
B选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
D选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形绕某一个点旋转180度后能与它自身重合，这个图形叫做中心对称图形．
2．下列说法正确的是（ ）
A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件
B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件
C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨
D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次
【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
解：A、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故A符合题意；
B、成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合题意；
C、襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天降雨的可能性是60%，故C不符合题意；
D、若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次不一定中奖1次，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3．方程3x2+2x﹣a＝0的一个根为﹣2，则a是（ ）
A．6B．7C．8D．5
【分析】把x＝﹣2代入方程得出3×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣a＝0，再求出方程的解即可．
解：∵关于x的方程3x2+2x﹣a＝0有一个根为﹣2，
∴3×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣a＝0，
解得a＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，能得出方程3×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣a＝0是解此题的关键．
4．如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于（ ）
A．27°B．32°C．36°D．54°
【分析】首先根据AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∠P＝36°，可求得∠POA的度数；然后根据圆周角定理，即可求得∠B的度数．
解：∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
即∠PAO＝90°．
∵∠P＝36°，
∴∠POA＝90°﹣∠P＝54°，
∠B＝∠POA＝27°．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握相关定理的应用是解答本题的关键．
5．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＜0，a，k为常数），A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据顶点式得到抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＜0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝1，然后二次函数的性质和A点、B点和C点离对称轴的远近进行判断．
解：抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝1，
所以A（﹣3，y1）到直线x＝1的距离为4，B（﹣1，y2）到直线x＝1的距离为2，C（2，y3）到直线的距离为1，
所以y1＜y2＜y3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
6．用一个圆心角为120°，半径为2cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面的半径为（ ）
A．B．C．1cmD．
【分析】设圆锥底面的半径为r cm，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr＝，然后解方程即可．
解：设圆锥底面的半径为r cm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1B．x＞2C．﹣1＜x＜2D．x＜﹣1或x＞2
【分析】根据函数图象求出与x轴的交点坐标，再由图象得出答案．
解：由x2﹣x﹣2＝0可得，x1＝﹣1，x2＝2，
观察函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，函数值y＜0．
故选：C．
【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答．
8．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦AB＝4，那么⊙O的半径长度为（ ）
A．2B．4C．2D．4
【分析】作OD⊥AB于D，连接OA，先根据勾股定理列方程可解答．
解：作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，
由折叠得：OD＝AO，
设OD＝x，则AO＝2x，
在Rt△OAD中，AD2+OD2＝OA2，
（2）2+x2＝（2x）2，
x＝2，
∴OA＝2x＝4，即⊙O的半径长度为4；
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
9．如图，菱形OABC的顶点O与原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为（3，4），将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A．（9，﹣4）B．（4，﹣8）C．（﹣8，﹣4）D．（8，﹣3）
【分析】过点A作AH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OA，可得点B的坐标，再由旋转的角度90°，可知旋转4次是一个循环，则第2023次旋转结束时与菱形OABC顺时针旋转90°的位置一样，求出菱形OABC顺时针旋转90°时B点坐标即可．
解：如图，过点A作AH⊥x轴于H．
∵点A的坐标为（3，4），
∴OH＝3，AH＝4，
在Rt△AHO中，OA＝＝5，
∴AB＝OA＝5，
∴点B的坐标为（8，4），
∵2023÷4＝505…3，
∴第2023次旋转结束时，与菱形OABC顺时针旋转90°的位置一样，
∴第2023次旋转结束时，点B的坐标为（4，﹣8）．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．
解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，
∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，
∴QB＝＝13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．若一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣2x1x2的值为 2 ．
【分析】根据x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根，可以得到x1+x2＝4，x1x2＝1，然后即可求得所求式子的值．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝1，
∴x1+x2﹣2x1x2
＝（x1+x2）﹣2x1x2
＝4﹣2
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用根与系数的关系解答．
12．二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1的图象的顶点坐标是 （1，1） ．
【分析】将二次函数一般式变形为顶点式即可求解．
解：∵y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，
∴二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1的图象的顶点坐标是（1，1），
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查求二次函数的顶点，熟练掌握将二次函数一般式变形为顶点式是解题的关键．
13．点A（x+3，2y+1）与A′（y﹣5，x）关于原点对称，则A点的坐标为 （8，﹣5） ．
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
解：∵点A（x+3，2y+1）与A′（y﹣5，x）关于原点对称，
∴，
解得：，
∴x+3＝8，2y+1＝﹣5，
∴A（8，﹣5）．
故答案为：（8，﹣5）．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点以及二元一次方程组的解法，熟练利用关于原点对称点的坐标是解题关键．
14．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
【分析】过O′作O′M⊥OA于M，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积S＝S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′＝S扇形OAO′﹣S扇形CAC′，分别求出即可．
解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°，
∵点O′的坐标是（1，），
∴O′M＝，OM＝1，
∵AO＝2，
∴AM＝2﹣1＝1，
∴tan∠O′AM＝＝，
∴∠O′AM＝60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC＝S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S＝S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′＝S扇形OAO′﹣S扇形CAC′＝﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，旋转的性质、扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求出规则图形的面积是解此题的关键．
15．如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连接EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝ ．
【分析】由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求EF的长．
解：由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，
∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，
∴∠BAC+α+β＝90°
∴∠EAF＝90°
∴EF＝＝
故答案为：
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
三.解答题（共8小题，共75分）
16．解下列方程：
（1）x2﹣5x＝6；
（2）x（2x﹣3）＝2x﹣3．
【分析】（1）移项后利用因式分解法求解即可；
（2）移项后利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣5x＝6，
x2﹣5x﹣6＝0，
（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x﹣6＝0或x+1＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣1．
（2）x（2x﹣3）＝2x﹣3．
x（2x﹣3）﹣（2x﹣3）＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且+＝12，求m的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，利用整体代入的方法得到m2﹣m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可．
解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵+＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
18．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，3），B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1，直接写出点B1关于点O的对称点B2的坐标；
（2）请直接写出以A、B、O、C为顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标；
（3）在旋转过程中，求点B经过的路径的长．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；根据中心对称的性质可得答案．
（2）结合平行四边形的性质，分别以AB，OA，OB为对角线作平行四边形，即可得出答案．
（3）利用勾股定理的求出OB的长，再利用弧长公式计算即可．
解：（1）如图，△A1OB1即为所求．
点B1（﹣2，1）关于点O的对称点B2的坐标为（2，﹣1）．
（2）如图，点C1，C2，C3均满足题意，
则点C的坐标为（4，5）或（2，1）或（﹣2，﹣1）．
（3）由勾股定理得，OB＝＝，
∴在旋转过程中，点B经过的路径的长为＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称、平行四边形的性质、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、平行四边形的性质、弧长公式是解答本题的关键．
19．学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、毽球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 50 人；
（2）在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数；并把条形统计图补充完整；
（3）在最喜爱健美操项目的学生中，八年一班和八年二班各有2名同学有健美操基础，学校准备从这4人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率．
【分析】（1）从两个统计图中可得，喜欢“篮球”的人数是20人，占调查人数的40%，根据频率＝进行计算即可；
（2）求出喜欢“健美操”的学生所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，求出喜欢“跳绳”的学生人数可补全条形统计图；
（3）利用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
解：（1）20÷40%＝50（人），
故答案为：50；
（2）健美操项目所对应的扇形圆心角的度数：360°×＝108°，
喜欢“跳绳”的学生人数为：50﹣20﹣15﹣10＝5（人），
补全条形统计图如下：
（3）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有4种，
所以，从一班2人，二班2人中任取2人，来自同一班级的概率为＝，
答：选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图以及概率的计算，掌握频率＝是正确计算的关键，列举出所有可能出现的结果是计算相应概率的前提．
20．如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OM，过点O作ON⊥CD于N．只要证明OM＝ON即可解决问题；
（2）设半径为r．则OC＝2﹣r，OM＝r，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
解：（1）连接OM，过点O作ON⊥CD于N．
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，OM是⊙O的半径，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴AC平分∠BCD，
∵ON⊥CD，OM⊥BC，
∴ON＝OM＝r，
∴CD与⊙O相切；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
设半径为r．则OC＝2﹣r，OM＝r，
∵∠ACB＝60°，∠OMC＝90°，
∴∠COM＝30°，MC＝，
在Rt△OMC中，∠OMC＝90°
∵OM2+CM2＝OC2
∴r2+（）2＝（2﹣r）2，
解得r＝﹣6+4或﹣6﹣4（舍弃），
∴⊙O的半径为﹣6+4．
【点评】本题考查切线的判定，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21．某大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当获得利润为4000元时，降价多少元？
（3）设每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋可得：y＝100+5（80﹣x）＝500﹣5x；
（2）根据题意可得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣70）2+4500，由二次函数性质可得答案．
解：（1）根据题意得：y＝100+5（80﹣x）＝500﹣5x；
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；
（2）根据题意得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵﹣5＜0，
∴当x＝70时，w取最大值4500，
∴当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元．
【点评】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，5），B（0，5）．抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（﹣3，0）两点，交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最小值；
（3）连接AB，若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象向上平移m（m＞0）个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．
（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合x的取值范围求解．
（3）结合图象，分别求出抛物线顶点在AB上，经过点A，B时m的值，进而求解．
解：（1）将C（1，0），D（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4；
（2）∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
∴函数最大值为y＝4，对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1﹣（﹣4）＞0﹣（﹣1），
∴x＝﹣4时，y＝﹣16+8+3＝﹣5为函数最小值．
（3）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象向上平移m个单位后解析式为y＝﹣x2﹣2x+3+m，
抛物线顶点坐标为（﹣1，4+m），
当顶点落在线段AB上时，4+m＝5，
解得m＝1，
当抛物线向上移动，经过点B（0，5）时，5＝3+m，
解得m＝2，
当抛物线经过点A（﹣3，5）时，5＝﹣9+6+3+m，
解得m＝5，
∴当m＝1，或2＜m≤5时，函数图象与线段AB有一个公共点．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．
23．如图1，D是等边三角形ABC内部的一点，连接DA，DB，DC．将△BCD绕着点C顺时针旋转一定的角度得到△ACE，连接DE．
（1）图1中，若AD＝3，CD＝4，BD＝5，求∠ADC的度数；
（2）如图2，E为正方形ABCD内部的一点，连接EB，EC，ED，将△BCE绕着点C顺时针旋转一定的角度得到△DCF．若∠DEC＝135°，DE＝2，CE＝4，则BE的长为 6 ．
【分析】（1）证明△CDE是等边三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明∠ADE＝90°，可得结论；
（2）连接EF，证明△CEF是等腰直角三角形，再证明∠DEF＝90°，利用勾股定理求出DF即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
由旋转的性质可知，CD＝CE，∠DCE＝∠BCA＝60°，
∴△DCE是等边三角形；
∴CD＝ED＝4，∠CDE＝60°，
∵AE＝BD＝5，AD＝3，
∴AE2＝AD2+DE2＝25，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝90°+60°＝150°；
（2）解：如图②中，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
由旋转的性质可知，CE＝CF＝4，∠ECF＝∠BCD＝90°，BE＝DF，
∴∠CEF＝45°，EF＝EC＝4，
∵∠DEC＝135°，
∴∠DEF＝∠DEC﹣∠CEF＝90°，
∴DF＝＝＝6，
∴BE＝DF＝6．
故答案为：6．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，正确寻找特殊三角形解决问题．