四川省成都市天府第七中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份四川省成都市天府第七中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了cm等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）的算术平方根是（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
2．（4分）若m＜n，则下列不等式不成立的是（ ）
A．1+m＜2+nB．1﹣m＜1﹣nC．2m＜2nD．＜
3．（4分）下列方程组，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
C．b2＝a2+c2D．a：b：c＝1：1：2
5．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（1﹣2x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）下列说法正确的有（ ）个．
①任何实数都可以开立方；
②0的相反数、倒数、平方都是0；
③数轴上的点和有理数一一对应；
④有限小数和无限循环小数都是有理数；
⑤无理数都是无限小数．
A．1B．2C．3D．4
7．（4分）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A．52B．48C．72D．76
8．（4分）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）cm．
A．10B．50C．10D．70
二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）在平面直角坐标系中，点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，则m+n＝ ．
10．（4分）不等式2x﹣3≥5x﹣10的所有正整数解的和为 ．
11．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组，则x+y＝ ．
12．（4分）如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是和﹣1，则点C所对应的实数是 ．
13．（4分）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点C到AB边的距离为 ．
三.解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（10分）计算：
（1）；
（2）．
15．（10分）解方程组或不等式组：
（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
16．（8分）如图1，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，其体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长及其面积；
（3）如图2，把正方形ABCD放到数轴上，使点A与﹣1重合，那么点B表示的数为a，请计算（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|的值．
17．（10分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断（AC）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
18．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求△BPA的面积；
（2）若AP平分∠CAB，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
一.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）化简﹣（）2的结果是 ．
20．（4分）对于有理数a、b，我们定义新运算a⊗b＝ax+by，等号右边是正常运算，其中x，y是常数，若1⊗2＝1，（﹣3）⊗3＝6，则2⊗（﹣5）的值是 ．
21．（4分）如果一个数表中某一列各数之和为负数，那么改变该列中所有数的符号，称之为一次“操作”，下表是由8个整数组成的数表，若经过一次“操作”后，使可使新的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负数，则整数a的值为 ．
22．（4分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝2，AB＝2，将△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，线段B′E的长为 ．
23．（4分）如图，线段AB的长度为5，点P，M为线段AB外一动点，且PA＝4，PM＝PB，∠BPM＝90°，线段AM长的最大值为 ．
二.解答题（本大题共3小题，共30分）
24．（8分）已知a＝，b＝．求：
（1）a2b﹣ab2的值；
（2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值．
25．（10分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝，其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．
（1）利用材料1解决下面的问题：当，b＝3，时，求这个三角形的面积？
（2）利用材料2解决下面的问题：已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC．
①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度；
②若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
26．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：△ACF≌△CBG；
（2）如图2，延长CG交AB于H，连接AG交CF于点M，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠FCH＝2∠GAC时，若BG＝4，求AM的长．
2023-2024学年四川省成都市天府七中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2，
∴的算术平方根是2，
故选：B．
2．【解答】解：A．∵m＜n，
∴1+m＜1+n＜2+n，故本选项不符合题意；
B．∵m＜n，
∴﹣m＞﹣n，
∴1﹣m＞1﹣n，故本选项符合题意；
C．∵m＜n，
∴2m＜2n，故本选项不符合题意；
D．∵m＜n，
∴＜，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．【解答】解：方程组中，属于二元一次方程组的是，
故选：A．
4．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，故选项A中的三角形是直角三角形，不符合题意；
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∴∠C＝90°，故选项B中的三角形是直角三角形，不符合题意；
∵b2＝a2+c2，
∴△ABC是直角三角形，故选项C不符合题意；
∵a：b：c＝1：1：2，1+1＝2，
∴线段a、b、c不能构成三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
5．【解答】解：∵点P（1﹣2x，x﹣1）在第二象限，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：x＞1，
则x的取值范围在数轴上表示为：
，
故选：B．
6．【解答】解：①任何实数都可以开立方，正确；
②0的相反数、平方都是0，0没有倒数，错误；
③数轴上的点和实数一一对应，错误；
④有限小数和无限循环小数都是有理数，正确；
⑤无理数都是无限小数，正确；
正确的有：①④⑤，共3个，
故选：C．
7．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+52＝169，
所以x＝13，
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．
故选：D．
8．【解答】解：分两种情况：（其它情况与之重复）
①当蚂蚁从前面和右面爬过去时，如图1，连接AC′，
在Rt△ACC′中，AC＝20+20＝40（cm），CC′＝30（cm），
根据勾股定理得：AC′＝＝＝50（cm），
②当蚂蚁从前面和上面爬过去时，如图2，连接AC′，
在Rt△ABC′中，BC′＝BB′+B′C′＝30+20＝50（cm），AB＝20（cm），
根据勾股定理得：
AC′＝＝＝10（cm）＞50（cm）；
蚂蚁爬行的最短距离为50cm．
故选：B．
二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．【解答】解：∵点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，
∴m＝3，n＝2，
∴m+n＝3+2＝5．
故答案为：5．
10．【解答】解：2x﹣3≥5x﹣10，
2x﹣5x≥﹣10+3，
﹣3x≥﹣7，
x≤，
∴该不等式的所有正整数解为：1，2，
∴等式2x﹣3≥5x﹣10的所有正整数解的和为3，
故答案为：3．
11．【解答】解：，
①+②得：4x+4y＝4，
则x+y＝1．
故答案为：1．
12．【解答】解：设点C所对应的实数是x．
则有x﹣＝﹣（﹣1），
解得x＝2+1．
故答案为：2+1．
13．【解答】解：∵S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝，AB＝＝，
∴点C到AB边的距离＝＝．
故答案为：．
三.解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．【解答】解：（1）原式＝﹣3××2×
＝﹣×5
＝﹣；
（2）原式＝﹣2﹣（﹣1）﹣2×1
＝﹣2﹣+1﹣2
＝﹣3﹣．
15．【解答】解：（1）方程组整理得，
②×2﹣①得5x＝12，
解得x＝，
把x＝代入②得﹣y＝8，
解得y＝，
∴原方程的解为；
（2），
解不等式①得x≥﹣2；
解不等式②得x＜3.5；
∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜3.5．
16．【解答】解：（1）这个魔方的棱长为：＝4；
（2）每个小正方体的棱长为：4÷2＝2；
阴影部分的边长为：CD＝＝2，
阴影部分的面积为：CD2＝（2）2＝8；
（3）根据图可知a＝2﹣1，
（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|
＝（2﹣1﹣1）×（2﹣1+1）﹣|2﹣（2﹣1）|
＝（2﹣2）×2﹣|3﹣2|
＝8﹣4﹣3+2
＝5﹣2．
17．【解答】（1）解：由题意，知AC+BC＝8m．
因为∠A＝90°，
设AC长为x m，则BC长（8﹣x）m，
则42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故旗杆距地面3m处折断；
（2）如图．
因为点D距地面AD＝3﹣1＝2（m），
所以B'D＝8﹣2＝6（m），
所以，
所以距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险．
18．【解答】解：（1）根据题意得BP＝2t，
∵t＝3，AC＝8，
∴BP＝2×3＝6，
∴S△BPA＝BP•AC＝×6×8＝24，
答：△BPA的面积为24；
（2）当线段AP恰好平分∠CAB时，作PM⊥AB于M，如图1，
∵线段AP平分∠CAB，∠ACB＝90°，PM⊥AB，
∴PC＝PM，AC＝AM＝8，
∵AB＝＝8，
∴BM＝AB﹣AM＝8﹣8，
在Rt△BPM中，PB2＝PM2+BM2，即（16﹣PC）2＝PC2+（8﹣8）2，
解得，PC＝4﹣4，
∴BP＝2t＝16﹣（4﹣4），
解得：t＝10﹣2；
（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图3所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．
一.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．【解答】解：∵一定有意义，
∴x﹣2≥0，
解得：x≥2，
∴原式＝x﹣1﹣（x﹣2）
＝1．
故答案为：1．
20．【解答】解：∵1⊗2＝1，
∴x+2y＝1，
∵（﹣3）⊗3＝6，
∴﹣3x+3y＝6，
∴x﹣y＝﹣2，
∴，
①﹣②得：3y＝3，
解得：y＝1，
把y＝1代入①中可得：
x+2＝1，
解得：x＝﹣1，
∴原方程组的解为：，
2⊗（﹣5）＝2x+（﹣5）y＝2x﹣5y＝﹣2﹣5＝﹣7，
故答案为：﹣7．
21．【解答】解：∵每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1，则：
如果操作第三列，
第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，，
解得：≤a≤，
又∵a为整数，
∴a＝1或a＝2．
故答案为：1或2．
22．【解答】解：作OH⊥A′B′于H，如图，
在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝2，AB＝2，
∴△AOB是直角三角形，
在Rt△AOB中，依据勾股定理得：BO＝＝＝6，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′，
∴∠A′OB′＝∠AOB＝90°，A′B′＝2，OA′＝OA＝2，OB′＝OB＝6，
∵OH•A′B′＝OA′•OB′，
∴OH＝＝，
∵点E为BO的中点，
∴OE＝3，
在Rt△OHE中，HE＝＝，
在Rt△OHA′中，HA′＝＝，
∴B′E＝A′B′﹣HE﹣HA′＝2﹣﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
23．【解答】解：如图，
由题意知，PM＝PB，∠BPM＝90°，
将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝4，BN＝AM，
∵AB＝5，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴AN＝AP＝4，
∴线段AM长的最大值为4+5，
故答案为：4+5．
二.解答题（本大题共3小题，共30分）
24．【解答】解：（1）∵a＝＝3+2，
b＝＝3﹣2，
∴a2b﹣ab2
＝ab（a﹣b）
＝（3+2）（3﹣2）（3+2﹣3+2）
＝1×4
＝4．
（2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015
＝a（a2﹣5a﹣6）﹣b+2015
＝（3+2）（9+8+12﹣15﹣10﹣6）﹣（3﹣2）+2015
＝（3+2）（2﹣4）﹣（3﹣2）+2015
＝6﹣12+8﹣8﹣3+2+2015
＝2008．
25．【解答】解：（1）当，b＝3，时，＝＝，
∴p﹣a＝﹣＝，
p﹣b＝﹣3＝，
p﹣c＝﹣2＝，
∴p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）＝×××＝×＝18×2＝36，
∴＝＝6，
∴三角形的面积为6；
（2）①当x＝2时，
＝，＝3，＝4﹣（）2＝4﹣2＝2，
故△ABC中最长边的长度为3；
②∵x+1≥0，4﹣x≥0，
∴﹣1≤x≤4．
∵4﹣（）2＝4﹣（4﹣x）＝x，三角形的边为正值，
∴x＞0，
∴0＜x≤4．
∴＝5﹣x，4﹣（）2＝4﹣（4﹣x）＝x，
∴C△ABC＝++
＝+5﹣x+x
＝+5，
∵C△ABC＝+5（﹣1≤x≤4），且x为整数，
当x＝4时，三边为，1，4，
∵+1＜4，
∴不合题意舍去，
当x＝3时，三边为2，2，3，
∴C△ABC＝2+2+3＝7，
∴S△ABC＝
＝
＝
＝．
∴△ABC的面积为．
26．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG＝∠BCG＝45°，
∴∠A＝∠BCG，
在△BCG和△CAF中，
，
∴△BCG≌△CAF（ASA），
（2）证明：∵PC∥AG，
∴∠PCA＝∠CAG，
∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，
在△ACG和△BCG中，
，
∴△ACG≌△BCG（SAS），
∴∠CAG＝∠CBE，
∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PB＝BG+PG，BG＝CF，
∴PB＝CF+CP；
（3）过点G作GM⊥AC，垂足为M，
设∠FCH＝2x°，则∠GAC＝x°，
∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝x°，
∵∠ACH＝45°，
∴2x+x＝45，
解得x＝15，
∴∠FCH＝15°，
∴∠ACF＝∠GAC＝30°，
由（2）得：△ACG≌△BCG，
∴BG＝AG＝4，
在Rt△AGM中，GM＝AG＝2，AM＝2．
a
a2﹣1
﹣a
﹣a2
2﹣a
1﹣a2
a﹣2
a2
a
a2﹣1
a
﹣a2
2﹣a
1﹣a2
2﹣a
a2