精品解析：吉林省长春市东北师大附中2024届高三上学期第三次摸底考试数学试题（原卷版）

这是一份精品解析：吉林省长春市东北师大附中2024届高三上学期第三次摸底考试数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三年级 第三次摸底考试
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 8D. 16
2. 设，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
3. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为（参考数据：）（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
4. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
5. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A. 26B. 28C. 30D. 32
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数及其导数定义域均为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（ ）
A. B.
C D.
8. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ）
A. 的最小正周期为 B.
C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D. 函数在上有且仅有一个零点
11. 如图，在正方体中，点分别为棱上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）
A. 当为棱的中点时，则在棱上存在点使得
B. 当分别为棱的中点时，则在正方体中存在棱与平面平行
C. 当分别为棱的中点时，过三点作正方体的截面，则截面为五边形
D. 三棱锥的体积为定值
12. 已知曲线在点处切线和曲线在点处的切线互相平行，则下列命题正确的有（ ）
A. 有最大值1B. 有最小值是1
C. 有最小值是D. 若，则有最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知是终边上的一点，则_____________.
14. 在中，，是的外心，则等于___________.
15. 已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.
16. 正三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是3，侧棱与底面所成的角为，二面角的平面角为.当该球的表面积最小时，____________.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
18. 在中，角所对的边分别是.已知.
（1）求；
（2）为边上一点，，且，求.
19. 如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，.

（1）求证：；
（2）若点的在线段上，且二面角的大小为，求的值.
20.
甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（1）求的值；
（2）设表示比赛停止时比赛局数，求随机变量的分布列和数学期望．
21. 已知双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程为.
（1）求的方程；
（2）直线与的左、右两支分别交于两点（在轴的同侧），当时，求四边形面积的最小值.
22. 已知函数.
（1）当时，证明；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）设，证明.