贵州省六盘水市盘州市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份贵州省六盘水市盘州市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≤1C．x＞1D．x≠1
2．方程的解是（ ）
A．B．C．，D．，
3．如图，AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是（ ）
A．4B．5C．6D．4.5
4．如图，在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，学校种植园是长米，宽米的距离．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为平方米．若设小道的宽为米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知点、在二次函数的图象上．若，则 与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，半径垂直弦于点D．若，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
8．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算： ．
10．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 .
11．将抛物线向下平移2个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式为 ．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是 °．
13．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若四边形的周长为a，则的周长为 （用含a的代数式表示）．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：．
16．解方程：．
17．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件，假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同，求2013年到2015年这种产品产量的年增长率．
18．图①、图②均是边长为1的正方形网格，的三个顶点都在格点上．按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上．

(1)在图①中画一个，满足，且相似比不为1．
(2)在图②中将绕点顺时针旋转得到，求旋转过程中点所经过的路径长．
19．如图，是半圆所在圆的直径，点O为圆心，，弦，于E，交于D，连接、．
(1)求的长．
(2)设，求的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线的顶点A作x轴的平行线，交抛物线y＝x2+1于点B，点B在第一象限．
（1）求点A的坐标；
（2）点P为x轴上任意一点，连结AP、BP，求△ABP的面积．
21．某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面如图所示．为台面，垂直于地面，表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角为，坡长为．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡的坡角，是改造后的斜坡（在直线上），坡角为．求斜坡底端与平台的距离．（结果精确到）【参考数据：；】
22．如图，在中，．延长到O，使，以O 为圆心，长为半径作交延长线于点D，连结．
(1)求扇形的面积．
(2)判断所在直线与的位置关系，并说明理由．
23．如图，在中，，，．动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发， 在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示的长．
(2)连结，如图①所示．当与相似时，求t的值．
(3)过点P作于D，连结，如图②所示．当时，直接写出线段的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．
(2)如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．
(3)如图②，连结，点M为线段上一点，点N为线段上一点，且，直接写出当n为何值时为等腰三角形．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据二次根式有意义的条件计算即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴x≥1，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
2．C
【分析】移项后提公因式分解因式求解即可．
【详解】解：移项得，
提公因式得，
解得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法．
3．D
【分析】由AD∥BE∥CF可得，代入可求得EF．
【详解】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝4，BC＝6，DE＝3，
∴，
解得EF＝4.5，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．
4．D
【分析】此题考查了求锐角的余弦值以及直角三角形斜边上的中线性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边长，然后求出的值即可．熟练掌握锐角三角函数值的求法是解本题的关键．
【详解】解：在中，，是斜边上的中线，
，
，
，
，
，
故选：D．
5．C
【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可的种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得：
新矩形的长为米，宽为米，
∴可列方程为：，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，能够正确表示种植面积的长与宽．
6．D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质．根据函数解析式确定出对称轴，再根据二次函数的增减性解答．
【详解】解：的对称轴为直线，
∵，
∴时y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余．先根据圆周角定理得到，然后根据互余计算的大小．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选A．
8．B
【详解】试题分析：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故选B．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质．
9．
【分析】先化简 ，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握“二次根式的加减运算的运算法则”是解本题的关键．
10．
【分析】对于一元二次方程，当时有实数根，由此可得m的取值范围.
【详解】解：由题意可得，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.
11．
【分析】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．本题利用平移规则直接作答即可．
【详解】解：抛物线向下平移2个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式为：
，即，
故答案为：
12．105
【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，
∵∠DCB+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠DAB=105°．
故答案为105
13．（3，3）
【详解】∵线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），原点O为位似中心，
∴点C的坐标为（6×，6×），即（3,3）．
故答案为（3,3）．
14．##
【分析】本题考查了二次函数的性质．此题利用了抛物线的对称性，解题的技巧性在于把求四边形的周长转化为求（的周长）的值，从而可得答案．
【详解】解：∵对称轴为直线，抛物线经过原点、与轴负半轴交于点，
∴，
∵由抛物线的对称性知，
∴四边形的周长为的周长．
∴的周长为；
故答案为：
15．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、化简二次根式，根据特殊角的三角函数值以及二次根式的性质进行化简，再计算加减即可，准确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：．
16．，.
【分析】将方程化为一般形式，然后用公式法求解.
【详解】解：∵，
∴，
∴a=1，b=-3，c=-1，
∴△=b2-4ac=9+4=13＞0，
∴，
∴，.
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法−公式法，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出a，b，c，然后计算出根的判别式b2−4ac的值，若b2−4ac≥0，则将a，b及c的值代入求根公式即可求出解．
17．答案见解析.
【分析】根据提高后的产量=提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为x，则2014年的常量是100（1+x），2015年的产量是300（1+x）2，即可列方程求得增长率；
【详解】解：（1）设2013年到2015年这种产品产量的年增长率x，则
100（1+x）2=121，
解得 x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去），
答：2013年到2015年这种产品产量的年增长率10%．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，运用增长率（下降率）的模型解题．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题主要考查了相似变换及旋转变换，弧长公式，正确得出对应点位置是解此题的关键．
（1）直接利用相似图形的性质得出符合题意的图形；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，进而得出答案，再利用弧长公式进行计算得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
；
（2）解：如图，即为所求：
，
，
旋转过程中点所经过的路径长．
19．(1)3
(2)
【分析】（1）直接利用垂径定理先求解，再利用勾股定理进行计算即可；
（2）先证明，求解，，再利用锐角三角函数的定义可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴．
在中，．
（2）∵是的直径，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴．
在中，．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的应用以上知识并灵活应用是解本题的关键．
20．（1）（4，2）；
（2）3．
【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得出答案；
（2）根据A的纵坐标和B的纵坐标相等求出B的坐标，又高恒为3，根据面积公式计算即可得出答案.
【详解】解：（1）∵点A是抛物线的顶点
∴，
∴点A的坐标为(4,2)
（2）∵AB平行于x轴
∴
又B在抛物线y＝x2+1上
∴
∴底为AB=3，高恒为2
【点睛】本题考查的是二次函数，属于基础题型，需要牢记二次函数顶点坐标公式.
21．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，首先在中，求出的长，再在，由，即可求出的长，解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形．
【详解】解：在中，，
，
在中，，
∴，
∴斜坡底端与平台的距离约为．
22．(1)
(2)所在直线与相切，见解析
【分析】（1）求出，得出是等边三角形，求出，，利用扇形的面积公式求得即可；
（2）由等边三角形的性质得，进而求出，得出，即可证得是的切线．
【详解】（1）在中，，
∴，．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∴．
（2）所在直线与相切．
理由：∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，即．
∵为的半径，
∴所在直线与相切．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定扇形的面积，切线的判定，证明是等边三角形，掌握切线的判定方法是解答本题的关键．
23．(1)，
(2)1或
(3)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是找准相似三角形的对应边，第二问注意分情况讨论．
（1）根据动点P和Q的移动速度及方向，列代数式表示相关线段的长度即可；
（2）分和两种情况，根据对应边成比例列式求解；
（3）先证，推出，再由勾股定理推出，再证，根据对应边成比例求出t的值，即可求出的长．
【详解】（1）解：由点P和Q的移动速度及方向可知：
，；
（2）解：在中，．
分两种情况：当时，
，即．
解得．
当时，
，即．
解得．
综上可知：t的值为1或．
（3）解：，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
．
24．(1)
(2)当时，；当时，．
(3)，，
【分析】（1）将、代入函数解析式，利用待定系数法即可解答；
（2）当点在轴的左边时，四边形的面积为；当点在轴的右边时，四边形的面积为；
（3）分三种情况，即，分别解答即可，
【详解】（1）解：把、代入中，
得 ，
解得
∴这条抛物线所对应的函数表达式为．
（2）解：当时，，
，
当时，，
当时，．
（3）解：根据勾股定理可得，
，
①当时，可得，
解得；
②当时，如图，过点作的垂线段，交于点，

，，
，，
，
，
，
可得方程，
解得，
经检验，是原方程的解，
③当时，如图，过点作的垂线段，交于点，

同理可得，
可得，
可得方程，
解得
经检验，是原方程的解，
综上所述，，，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，根据为等腰三角形想到分类讨论是解题的关键．