人教A版高中数学选择性必修第一册第3章探究课2为什么y＝±b ax是双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1的渐近线学案

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　为什么y＝±bax是双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线1．双曲线的渐近线的定义若存在一条直线l，使得曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近，则称直线l为曲线C的渐近线．2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的探讨当x>0，y>0时，由x2a2－y2b2＝1得y＝bx2a2-1＝bax1-ax2，当x→＋∞时，1-ax2→1，故猜测在第一象限内，x→＋∞时双曲线无限地接近于直线y＝bax.3．在第一象限内，如何证明直线l：y＝bax是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线？如图所示，过M作MQ⊥l于Q，过M作PM⊥x轴交l于点P，则|PM|≥|QM|.设M点的坐标为(xM，yM)，则yM＝baxM2-a2，yP＝baxM.所以|PM|＝yP－yM＝ba(xM－xM2-a2)＝abxM+xM2-a2.当xM→＋∞时，xM＋xM2-a2→＋∞，所以|PM|→0，即点M到直线l的距离|QM|→0，故在第一象限内，直线l为双曲线的渐近线．根据双曲线的对称性，y＝±bax是双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线．4．共渐近线的双曲线方程的探索(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程是x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，其焦点在x轴上；当λ0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为________．(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．(1)y＝±2x　(2)33　[(1)设F2(c，0)(c>0)，P(c，y0)，则c2a2－y02b2＝1，解得y0＝±b2a.∴|PF2|＝b2a.在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则|PF1|＝2|PF2|.　①由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a.　②由①②得|PF2|＝2a.∵|PF2|＝b2a，∴2a＝b2a，即b2＝2a2.∴ba＝2.∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x.(2)双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝2m1+m2＝1，解得m＝33或m＝－33(舍去)．]1．(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线x216－y29＝1的一条渐近线的距离为(　　)A．95　　　85　　　C．65　　　45A　[由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝34x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得，点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为3×3-4×032+-42＝95.故选A．]2．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：x2m－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为3x＋my＝0，则C的焦距为________．4　[双曲线x2m－y2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±1mx，即x±my＝0，又双曲线的一条渐近线为3x＋my＝0，即x＋m3y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2a2+b2＝4．]