高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时导学案及答案

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通过椭圆的定义及图形认识了椭圆的一些简单性质(如对称性)，得到椭圆的标准方程之后，类比圆的研究方法，就有了一个新的途径——通过方程来探索和验证椭圆的几何性质，由椭圆的标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，可以获得椭圆的哪些几何性质呢？
知识点1 椭圆的简单几何性质
(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？
(2)在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
提示：(1)最大值a＋c，最小值a－c.
(2)与位置无关的，如长轴长、短轴长、焦距；与位置有关的，如顶点坐标、焦点坐标等．
知识点2 椭圆的离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝ca．
(3)范围：00)，将点M的坐标代入，可得112＋46＝k1或412＋16＝k2，
解得k1＝34，k2＝12，
故x212＋y26＝34或y212＋x26＝12，即所求椭圆的标准方程为x29＋y292＝1或y26＋x23＝1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ca等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
[跟进训练]
2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为________．
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cs ∠OFA＝23，则椭圆的标准方程是________．
(1)x225＋y216＝1 (2)x29＋y25＝1或y29＋x25＝1 [(1)由题意，得2a+2b=18，c=3， a2=b2+c2，
解得a=5，b=4. 因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为x225＋y216＝1.
(2)因为椭圆的长轴长是6，cs ∠OFA＝23，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以c3＝23，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是x29＋y25＝1或x25＋y29＝1．]
类型3 椭圆的离心率问题
【例3】 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )
A．32 B．22 C．12 D．13
(2)设椭圆上存在一点P，它与椭圆中心O的连线和它与长轴一个端点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围为________．
(1)A (2)22，1 [(1)已知A(－a，0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，kAP＝y0x0+a，kAQ＝y0a-x0，
故kAP·kAQ＝y02a2-x02＝14，①
∵x02a2＋y02b2＝1，即y02＝b2a2-x02a2，②
将②代入①整理得b2a2＝14.
∴e＝ca＝1-b2a2＝32.故选A．
(2)由椭圆的对称性，不妨设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A(a，0)为右顶点，P(x0，y0)(00)的焦点在x轴上，过点P1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________．
x25＋y24＝1 [因为直线x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线，所以椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.
设O(0，0)，则kOP＝12，因为OP⊥AB，
所以kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，所以直线AB与y轴的交点为(0，2)，所以b＝2，所以a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为x25＋y24＝1．]
三、解答题
9．如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的标准方程．
[解] (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝2c，e＝ca＝22.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，
设B(x，y)，由AF2＝2F2B，
解得x＝32，y＝－b2.
代入x2a2＋y2b2＝1，
得94a2＋b24b2＝1，即94a2＋14＝1，
解得a2＝3，
又c2＝1，所以b2＝2，
所以椭圆的标准方程为x23＋y22＝1.
10．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F(－3，0)，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积最大值为32，则椭圆C的方程为( )
A．x23＋y2＝1 B．x24＋y2＝1
C．x26＋y23＝1 D．x29＋y26＝1
C [因为椭圆C的左焦点为F(－3，0)，所以c＝3.椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积最大值为32，即12×2a×b＝ab＝32. ①
又a2＝b2＋c2，即a2＝b2＋3， ②
由①②可得a＝6，b＝3，故椭圆C的方程为x26＋y23＝1.故选C．]
11．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A．0，23 B．0，23
C．23，1 D．23，1
C [由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
|PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝5a3，|PF2|＝a3，
∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
∴4a3≤2c，e≥23.
又eb>0)上有一点P，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q在线段PF2的延长线上，且QF1⊥QP，sin ∠F1PQ＝513，求椭圆离心率的取值范围．
[解] ∵QF1⊥QP，∴点Q在以线段F1F2为直径，原点为圆心的圆上，∵点Q在椭圆的内部，
∴以线段F1F2为直径的圆在椭圆内，
∴c