人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线学案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线学案设计，共24页。

做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
知识点1 双曲线的定义
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
1．双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a0)，把点A的坐标代入，得b2＝－1615×16090)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.
(2)双曲线x216－y24＝1的焦点在x轴，
因此设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(32，2)，
∴18a2－4b2＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为x212－y28＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB0)．
已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝3-02+-2-22－3＝5－3＝2，因此a＝1.
又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3.
因此，所求双曲线的标准方程为y2－x23＝1.
类型2 双曲线标准方程的识别
【例2】 给出曲线方程x24+k＋y21-k＝1.
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[解] (1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)0，
解得k>1或k0，4+k0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，b>0)和y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．
2．方程x2m－y2n＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？
提示：(1)若表示双曲线，则满足mn>0.
(2)若表示焦点在x轴上的双曲线，则满足m>0，n>0.
(3)若表示焦点在y轴上的双曲线，则满足m0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|、|PF2|的最小值分别是多少？
提示：|PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c.
4．定义法求双曲线方程时，如何确定点的轨迹是双曲线，还是双曲线的一支？
提示：根据条件看是|PF1|－|PF2|＝2a还是||PF1|－|PF2||＝2a，
若|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a，点的轨迹是双曲线一支，
若||PF1|－|PF2||＝2a，则点的轨迹是双曲线．
课时分层作业(二十七) 双曲线及其标准方程
一、选择题
1．已知F1，F2为平面内两个定点，P为动点，若|PF1|－|PF2|＝a(a为大于零的常数)，则动点P的轨迹为( )
A．双曲线
B．射线
C．线段
D．双曲线的一支或射线
D [两个定点的距离为|F1F2|，当a0)的左、右焦点，过F1(－7，0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的方程为( )
A．5x27－5y228＝1 B．x26－y2＝1
C．x2－y26＝1 D．5x228－5y27＝1
C [根据双曲线的定义，有|AF2|－|AF1|＝2a ①，|BF1|－|BF2|＝2a ②，由于△ABF2为等边三角形，因此|AF2|＝|AB|＝|BF2|，由①＋②，得|BF1|－|AF1|＝4a，则|AB|＝|AF2|＝|BF2|＝4a，|BF1|＝6a，又∠F1BF2＝60°，所以(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×6a×4a×12，即7a2＝c2＝7，解得a2＝1，则b2＝c2－a2＝6.
所以双曲线的方程为x2－y26＝1．]
5．已知F1，F2分别为双曲线x25－y24＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A．37＋4 B．37－4
C．37－25 D．37＋25
C [因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－25，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．
如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝3--32+12＝37.
故|AP|＋|AF2|的最小值为37－25．]
二、填空题
6．(2022·安徽省合肥市期末)已知点A(0，2)，B(0，－2)，C(3，2)，若动点M(x，y)满足|MA|＋|AC|＝|MB|＋|BC|，则点M的轨迹方程为________．
y2－x23＝1(y≤－1) [因为|MA|＋|AC|＝|MB|＋|BC|，即|MA|＋3＝|MB|＋32+2--22，
所以|MA|－|MB|＝2.故M(x，y)的轨迹是以A(0，2)，B(0，－2)为焦点，2a＝2的双曲线的下支．
此时a＝1，c＝2，b2＝c2－a2＝3.
故点M的轨迹方程为y2－x23＝1(y≤－1)．]
7．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
9 [如图所示，
F(－4，0)，设F′为双曲线的右焦点，则F′(4，0)，点A(1，4)在双曲线两支之间，连接PF′.由双曲线的定义，得|PF|－|PF′|＝2a＝4，所以|PF|＋|PA|＝|PF|－|PF′|＋|PF′|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝4＋5＝9，当且仅当A，P，F′三点共线且P在A，F′之间时取等号．]
8．若点P在双曲线x216－y212＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________，点P与双曲线的左焦点的距离为________．
±3 11 [记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，设P(xP，yP)．因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以xP＝16+12＝27，所以2816－yP212＝1，解得yP＝±3，所以|PF2|＝3.由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝11．]
三、解答题
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．
[解] (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为y24－x2-4k＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为x24k＋y24＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为x24k＋y24＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
10．如图上半部分为一个油桃园．每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售．路径1：先集中到A处，再沿公路AC运送；路径2：先集中到B处，再沿公路BC运送．园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至C处所走路程一样远．已知AC＝3 km，BC＝4 km，若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
D [由题意，从界线上的一点P出发，经A到C与经B到C所走的路程是一样的，
即|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，
所以|AP|－|BP|＝|BC|－|AC|，
又|BC|＝4，|AC|＝3，所以|AP|－|BP|＝4－3＝1，
又10)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底座外直径为2393，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为( )
A．22π B．3π C．23π D．4π
C [该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底座外直径为2393，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设M533，2m，N393，-m，代入双曲线方程可得253a2－4m2b2＝1，133a2－m2b2＝1，即2512a2－m2b2＝14，133a2－m2b2＝1，作差可得2712a2＝34，解得a2＝3，a＝3，所以杯身最细处的周长为23π.故选C．]
12．从某个角度观看篮球，可以得到一个对称的平面图形如图，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BO＝OC＝CD＝1，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝1 B．x2－y22＝1
C．x2－y23＝1 D．x2－y24＝1
B [如图在平面直角坐标系中，记双曲线和圆在第一象限的交点为G，
作GE⊥x轴于点E，
由坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，
知∠GOE＝45°，由AB＝BO＝OC＝CD＝1，知OG＝2，所以G点坐标为(2，2)，
设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，则a＝1，
将G(2，2)代入可得2－2b2＝1，即b2＝2，
所以双曲线方程为x2－y22＝1.故选B．]
13．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点出发．如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与双曲线C′：x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为________．
2k(a－m) [光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，
|BF2|＝2m＋|BF1|，
|BF1|＋|BA|＋|AF1|＝|BF2|－2m＋|BA|＋|AF1|＝|AF2|＋|AF1|－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m)．]
14．在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3.假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早4v0秒(注：信号传播速度为v0)，C处舰艇保持静默．
(1)建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最小是多少？
[解] (1)以O为原点，以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设敌舰艇的位置为P(x，y)，由题意可知|PB|－|PA|＝v0×4v0＝4.
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a＝4，c＝3，
所以b＝5.
所以敌舰艇的轨迹方程为x24－y25＝1(x≤－2)．
(2)设方程x24－y25＝1(x≤－2)上一点M(x0，y0)，
由题意知x024－y025＝1(x0≤－2)，即x02＝4＋45y02.又C(0，3)，
所以|MC|＝x02+y0-32
＝4+45y02+y0-32
＝95y02-6y0+13
＝95y0-532+8(y0∈R)，
所以当y0＝53时，|MC|min＝22.
即无人机飞行的距离最小是22.
15．已知△OFQ的面积为26，且OF·FQ＝m，其中O为坐标原点．
(1)设6＜m＜46，求OF与FQ的夹角θ的正切值的取值范围；
(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，|OF|＝c，m＝64-1c2，当|OQ|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
[解] (1)因为12OF·FQsinπ-θ=26，OF·FQcsθ=m，
所以tan θ＝46m.
又6＜m＜46，所以1＜tan θ＜4，
即tan θ的取值范围为(1，4)．
(2)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，
Q(x1，y1)，则FQ＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝12|OF|·|y1|＝26，
则y1＝±46c.
又OF·FQ＝m，
即(c，0)·(x1－c，y1)＝64-1c2，
解得x1＝64c，
所以|OQ|＝x12+y12＝38c2+96c2≥12＝23，
当且仅当c＝4时，取等号，|OQ|最小，
这时Q的坐标为(6，6)或(6，－6)．
因此6a2-6b2=1，a2+b2=16，所以a2=4，b2=12，
于是所求双曲线的标准方程为x24－y212＝1.
学习任务
1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算)
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
文字
语言
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
符号语言
||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点
定点F1，F2
焦距
两焦点间的距离
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
_x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)
_y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2