人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时学案及答案，共20页。

类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有哪几种位置关系？
知识点 直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与x2a2－y2b2＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？
提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交．
直线l过点(2，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有______条．
3 [根据双曲线方程可知，点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．故过点(2，0)且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条．]
类型1 直线与双曲线的位置关系
【例1】 (1)过点P(7，5)且与双曲线x27－y225＝1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程．
(2)直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当a为何值时，A，B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？
[解] (1)若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝7，此时仅有一个交点(7，0)，满足条件．
若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－7)，则y＝kx＋5－7k，代入到双曲线方程，得
x27－kx+5-7k225＝1，所以25x2－7(kx＋5－7k)2＝7×25，(25－7k2)x2－7×2kx(5－7k)－7(5－7k)2－7×25＝0.
当k＝577时，方程无解，不满足条件．
当k＝－577时，方程2×57x×10＝875有一解，满足条件．
当k≠±577时，令Δ＝[14k(5－7k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－7k)2－175]＝0，化简后知方程无解，所以不满足条件．
所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为x＝7和y＝－577x＋10.
(2)把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1，
整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
当a≠±3时，Δ＝24－4a2.
由Δ>0得－6若A，B在双曲线的同一支上，需x1x2＝2a2-3>0，
所以a<－3或a>3.故当－6若A，B分别在双曲线的两支上，需x1x2＝2a2-3<0，所以－3 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)讨论直线y＝x＋b与双曲线x2－y2＝1的公共点的个数．
[解] 由y=x+b， x2-y2=1，消去y得x2－(x＋b)2＝1.
整理得2bx＋b2＋1＝0.①
如果b＝0，则方程①变为1＝0，无解．此时直线与双曲线无公共点．事实上，此时直线为y＝x，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点．
现在设b≠0，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解，原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点．
类型2 与双曲线有关的轨迹问题
【例2】 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离是1 020 m．则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)( )
A．北偏西45°方向，距离68010 m
B．南偏东45°方向，距离68010 m
C．北偏西45°方向，距离6805 m
D．南偏东45°方向，距离6805 m
A [如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴，y轴正向，建立直角坐标系．设A，B，C分别是正西、正东、正北观测点，则A(－1 020，0)，
B(1 020，0)，C(0，1 020)．设P(x，y)为巨响发生点．
由已知|PA|＝|PC|，故P在AC的垂直平分线上，易得PO所在直线的方程为y＝－x，又B点比A点晚4 s听到爆炸声，故|PB|－|PA|＝340×4＝1 360，可知P点在以A，B为焦点的双曲线x2a2－y2b2＝1上，依题意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402，故双曲线方程为x26802－y25×3402＝1，将y＝－x代入上式，得x＝±6805，∵|PB|>|PA|，
∴x＝－6805，y＝6805，
即P(－6805，6805)，故|PO|＝68010.
故巨响发生在接报中心的北偏西45°距中心68010 m处．]
求解与双曲线有关的轨迹问题的一般思路
(1)定义法：解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线．
(2)直接法：根据点满足条件直接代入计算．
[跟进训练]
2．若动圆P经过定点A(3，0)，且与定圆B：(x＋3)2＋y2＝16外切，试求动圆圆心P的轨迹．
[解] 设动圆圆心P(x，y)，半径为r.
则依题意有|PA|＝r，|PB|＝r＋4，
故|PB|－|PA|＝4.
即动圆圆心P到两个定点B(－3，0)，A(3，0)的距离之差等于常数4，且4<|AB|，因此根据双曲线定义，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．
设其方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则c＝3，2a＝4，b2＝5，
所以动圆圆心P的轨迹方程为x24－y25＝1(x≥2)．
所以动圆圆心P的轨迹是双曲线x24－y25＝1的右支．
类型3 双曲线与其他知识的综合问题
【例3】 (2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：x2a2－y2a2-1＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2 2，求△PAQ的面积．
[解] (1)因为点A(2，1)在双曲线C：x2a2－y2a2-1＝1(a＞1)上，所以4a2－1a2-1＝1，解得a2＝2，即双曲线C：x22－y2＝1.
易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立y=kx+m，x22-y2=1可得，(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
所以，Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0⇒m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝－4mk2k2-1，x1x2＝2m2+22k2-1，
所以由kAP＋kAQ＝0可得，y2-1x2-2＋y1-1x1-2＝0，
即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，
即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
所以2k×2m2+22k2-1＋(m－1－2k)×-4mk2k2-1－4(m－1)＝0，
化简得，8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，
所以k＝－1或m＝1－2k，
当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1，
过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1.
(2)不妨设直线AP，AQ的倾斜角为α，β(α＜β)，因为kAP＋kAQ＝0 ，所以α＋β＝π，
因为tan ∠PAQ＝2 2，所以tan (β－α)＝2 2，即tan 2α＝－2 2，
即2tan2α－tanα－2＝0，解得tan α＝2(负值舍去)，
于是，直线AP：y＝2(x－2)＋1，直线AQ：y＝－2(x－2)＋1，
联立y=2x-2+1，x22-y2=1 可得，
32x2＋2 2(1－2 2)x＋10－4 2＝0，
因为方程有一个根为2，
所以xP＝10-4 23，yP＝4 2-53，
同理可得，xQ＝10+4 23，yQ＝-4 2-53.
所以PQ：x＋y－53＝0，|PQ|＝163，
点A到直线PQ的距离d＝2+1-532＝2 23，
故△PAQ 的面积为12×163×2 23＝16 29.
双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上．设而不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度．
[跟进训练]
3．已知直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B．
(1)求实数k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)将直线l的方程y＝kx＋1与双曲线C的方程2x2－y2＝1联立，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①.
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，
则k2-2≠0， Δ=2k2-8k2-2>0，-2kk2-2>0， 2k2-2>0，
解得－2(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由①式得x1+x2=2k2-k2，x1x2=2k2-2.
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F62，0，则FA⊥FB．
∴x1-62x2-62＋y1y2＝0，
即x1-62x2-62＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，
(1＋k2)x1x2＋k-62(x1＋x2)＋52＝0，
∴(1＋k2)·2k2-2＋k-62·2k2-k2＋52＝0，
化简得5k2＋26k－6＝0，
解得k＝－6+65或k＝6-65(舍去)．
故存在实数k＝－6+65，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.
1．已知双曲线方程为x2－y24＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
B [因为双曲线方程为x2－y24＝1，则P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．]
2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
A [易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－23．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝12x交于A，B两点，若|AB|＝215，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
B [设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，与y＝12x联立，得34x2＝a2，
∴|AB|＝1+122×433a＝215，
∴a＝3，∴x2－y2＝9.故选B．]
4．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－y22＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
±1 [由x-y+m=0，x2-y22=1， 消去y得x2－2mx－m2－2＝0.则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．又点(m，2m)在x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同，你能写出来吗？
提示：完全相同．直线y＝kx＋m与双曲线x2a2－y2b2＝1相交，其交点为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1+k2x1+x22-4x1x2或|AB|＝1+1k2y1+y22-4y1y2.
2．直线与双曲线只有一个公共点，那么直线与双曲线一定相切吗？
提示：直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交，不相切．
3．如何处理与双曲线有关的综合问题？
提示：双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上．设而不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度．
课时分层作业(二十九) 双曲线的标准方程及其性质的应用
一、选择题
1．若直线x＝a与双曲线x24－y2＝1有两个交点，则a的值可以是( )
A．4 B．2
C．1 D．－2
A [因为在双曲线x24－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，故只有A符合题意．]
2．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．a＝1 B．0C．a>1 D．a≥1
D [等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1．]
3．已知F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点P为双曲线C上的动点，过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．直线
A [如图，
点F2关于∠F1PF2的角平分线PQ的对称点M在PF1上，故|F1M|＝|PF1|－|PM|＝|PF1|－|PF2|＝2a，又OQ是△F2F1M的中位线，故|OQ|＝a，所以点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆．故选A．]
4．(多选)如图，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P为双曲线C上在第一象限内的一个点，直线PF1与y轴相交于点Q，△PQF2为等边三角形，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±22x
B．双曲线C的离心率为3
C．若点M(6，－6)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为x23－y26＝1
D．若点M(6，－6)在双曲线C上，则点Q的坐标为(0，3)
BCD [设|PQ|＝m，由△PQF2为等边三角形，可得|PF2|＝|QF2|＝|PQ|＝m，由双曲线的定义可得|QF1|＝|PF1|－|PQ|＝|PF2|＋2a－|PQ|＝2a，因为|QF1|＝|QF2|，所以m＝2a，所以∠PF1F2＝30°，cs 30°＝OF1QF1＝c2a＝32，即e＝ca＝3，故B正确；由b2＝c2－a2＝3a2－a2＝2a2，即b＝2a，则渐近线方程为y＝±2x，故A错误；若点M(6，－6)在双曲线C上，可得6a2－6b2＝1，结合b＝2a，解得a＝3，b＝6，所以双曲线方程为x23－y26＝1，故C正确；由上面的分析可得a＝3，b＝6，c＝3，F1(－3，0)，直线PF1的方程为y＝33(x＋3)，可令x＝0，解得y＝3，即Q(0，3)，故D正确．故选BCD．]
5．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±12x B．y＝±22x
C．y＝±x D．y＝±2x
C [设双曲线的半焦距为c，则F(c，0)，
将x＝c代入双曲线x2a2－y2b2＝1，
得y＝±b2a，
不妨取Cc，b2a，Bc，-b2a，
又A1(－a，0)，A2(a，0)，
故kA1B＝-b2ac+a＝－b2aa+c，kA2C＝b2ac-a.
因为A1B⊥A2C，
故－b2aa+c×b2ac-a＝－1，
即b4a2c2-a2＝1，即b4a2b2＝1，
所以a＝b，
故渐近线方程是y＝±bax＝±x．]
二、填空题
6．直线y＝x＋1与双曲线x22－y23＝1相交于A，B两点，则|AB|＝________．
46 [由y=x+1，x22-y23=1，得x2－4x－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ>0， x1+x2=4，x1·x2=-8，
∴|AB|＝1+k2x1+x22-4x1x2＝2×16+32＝46．]
7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率e的取值范围是________．
[2，＋∞) [由题意知ba≥3，则b2a2≥3，所以c2－a2≥3a2，
即c2≥4a2，所以e2＝c2a2≥4，所以e≥2．]
8．设双曲线x2－y22＝1上有两点A，B，AB中点M(1，2)，则直线AB的方程为________．
y＝x＋1 [法一：显然直线AB 的斜率存在．设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k，由y=kx+2-k，x2-y22=1， 得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1＝x1+x22＝k2-k2-k2，所以k＝1，满足Δ>0，所以直线AB的方程为y＝x＋1.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12-y122=1，x22-y222=1，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝12(y1－y2)(y1＋y2)．
因为x1≠x2，所以y1-y2x1-x2＝2x1+x2y1+y2，所以kAB＝2×1×22×2＝1，所以直线AB的方程为y＝x＋1，代入x2－y22＝1满足Δ>0.所以直线AB的方程为y＝x＋1．]
三、解答题
9．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.
[解] (1)因为双曲线C的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，
所以ca=3， a=3， a2+b2=c2，解得a=3b=6c=3 ，
所以双曲线C的标准方程为x23－y26＝1.
(2)双曲线x23－y26＝1的右焦点为F2(3，0)，所以直线l的方程为y＝33(x－3)．
由x23-y26=1 y=33x-3，得5x2＋6x－27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，
所以|AB|＝1+13x1+x22-4x1x2
＝1+13×-652-4×-275＝1635.
或由5x2+6x-27=0，得x=-3或95 ，则AB=
1+1395+3=1635
10．斜率为2的直线l过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，且与双曲线的两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(1，3)
C．(1，5) D．(5，＋∞)
D [设双曲线的右焦点为F，如图所示，
结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率ba必大于2，即b>2a，因此该双曲线的离心率e＝ca＝a2+b2a2＝1+b2a2>1+4＝5.故选D．]
11．(多选)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的渐近线上的点到点F距离的最小值为4
B．双曲线C的离心率为54
C．双曲线C上的点到点F距离的最小值为2
D．过点F的最短弦长为323
AC [由题意知2a＝6，2c＝10，即a＝3，c＝5，因为b2＝c2－a2，所以b2＝25－9＝16，解得b＝4，所以右焦点为F(5，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±43x.对于选项A，由点F向双曲线C的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为C的渐近线上的点到点F距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d＝±43×5-0-12+±432＝4，故选项A正确；对于选项B，因为a＝3，c＝5，所以双曲线C的离心率e＝ca＝53，故选项B错误；对于选项C，当双曲线C上的点为其右顶点(3，0)时，此时双曲线C上的点到点F的距离最小为2，故选项C正确；对于选项D，过点F且斜率为零的直线与双曲线的交点为A(－3，0)，B(3，0)，则AB为过点F的最短弦，且|AB|＝6，故选项D错误．故选AC．]
12．(多选)已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则( )
A．双曲线的离心率为3
B．双曲线的渐近线方程为y＝±2x
C．∠PAF2＝45°
D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
ABD [选项A中，因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
又因为2c>2a，4a>2a，
所以∠PF1F2＝30°，
所以cs ∠PF1F2＝16a2+4c2-4a22×4a×2c＝32，
解得c＝3a，即e＝3，故A正确；
选项B中，e2＝c2a2＝a2+b2a2＝3，所以b2a2＝2，所以ba＝2，所以渐近线方程为y＝±2x，故B正确；
选项C中，由e＝3，得2c＝23a，
又|PF1|2＝16a2，|PF2|2＋|F1F2|2＝4a2＋4c2，所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，所以∠PF2F1＝90°，因为|AF2|＝c＋a＝(3＋1)a，|PF2|＝2a，所以|AF2|≠|PF2|，所以∠PAF2≠45°，所以C不正确；
选项D中，联立x+2y-2=0，x2a2-y22a2=1， 得2(2－2y)2－y2＝2a2，所以7y2－16y＋8－2a2＝0，
所以Δ＝162－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，
所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，所以D正确．故选ABD．]
13．双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
3215 [双曲线x29－y216＝1的右顶点A(3，0)，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y＝±43x.不妨设直线FB的方程为y＝43(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
解得x＝175，y＝－3215，
所以B175，-3215.
所以S△AFB＝12|AF||yB|＝12(c－a)·|yB|＝12×(5－3)×3215＝3215．]
14已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．
[解] (1)联立方程y=kx-1，x2-y2=1，
消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则1-k2≠0， Δ=4k2+81-k2＞0，
解得－2＜k＜2，且k≠±1.
∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为
(－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2k1-k2，
x1x2＝－21-k2，
∴|AB|＝1+k2|x1－x2|
＝1+k2·-2k1-k22+81-k2
＝1+k28-4k21-k22.
又∵点O(0，0)到直线y＝kx－1的距离d＝11+k2，
∴S△AOB＝12·|AB|·d＝128-4k21-k22＝2，
即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±62.
∴实数k的值为±62或0.
15．(2022·湖南岳阳一模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率为52，点P(4，3)在C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点(1，0)的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得QM·QN为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)由题意得，16a2-3b2=1， ca=52， a2+b2=c2，
解得a2＝4，b2＝1.
∴双曲线C的方程为x24－y2＝1.
(2)假设存在定点Q.设定点Q(t，0)，
当直线斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，联立x24-y2=1，x=my+1，得(m2－4)y2＋2my－3＝0.
∴m2－4≠0，
且Δ＝4m2＋12(m2－4)＞0，
解得m2＞3且m2≠4.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴y1＋y2＝－2mm2-4，y1y2＝－3m2-4，
∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝－2m2m2-4＋2＝-8m2-4，
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2+m(y1＋y2)＋1＝－3m2m2-4－2m2m2-4＋1＝－4m2+4m2-4＝－4－20m2-4.
QM·QN＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2
＝－4－20m2-4＋t·8m2-4－3m2-4＋t2
＝－4＋t2＋8t-23m2-4，
由QM·QN为常数，
得8t－23＝0，即t＝238，此时QM·QN＝27364.
当直线l斜率为0时，QM·QN＝27364.
∴在x轴上存在定点Q238，0，使得QM·QN为常数．学习
任务
1．理解直线与双曲线的位置关系．(数学运算、直观想象)
2．会求解有关弦长问题．(数学运算、逻辑推理)
类别
位置关系
交点个数
k＝±ba时(此时m≠0)
相交
只有一个交点
k≠±ba且Δ＞0
有两个交点
k≠±ba且Δ＝0
相切
只有一个交点
k≠±ba且Δ＜0
相离
没有公共点