安徽省宿州市萧县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份安徽省宿州市萧县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．如图几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对边相等B．对角线互相垂直
C．邻边垂直D．对角线互相平分
3．如图，已知直线，如果，，那么线段的长是（ ）

A．6B．8C．10D．12
4．为积极响应国家“双减政策”，某中学校2022年第三季度平均每周作业时长为500分钟，经过2022年第四季度和2023年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为320分钟． 设每季度平均每周作业时长的下降率为m，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
5．把方程化成的形式，则、的值分别是（ ）
A．B．C．D．
6．我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为( )

A．B．C．D．
7．若，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．B．6C．D．8
9．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积是（ ）
A．B．8C．D．16
10．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．则上述结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
12．如图，在中，，与相交于点O，则 ．

13．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为10cm，则的长度为 cm（结果保留根号）．
14．如图，点A在直线上，轴于点B，点C在线段上，以为边作正方形，点D恰好在反比例函数（k为常数，）第一象限的图象上，连接．
（1）若，，则 ；
（2）若，则 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示：

(1)求电流I关于电阻R的函数解析式；
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？
16．我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；
(2)若是倍根方程，则___________．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在中，，点D在上，于点E．
(1)求证：；
(2)，，求的长．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：≌；
(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．第19届亚运会于2023年10月8日在杭州结束，如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率．

(1)第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为______；
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率．
20．全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极地宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩．经调查发现：1条生产线最大产能是1000万个/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的最大产能将减少50万个/天．问：是否能增加生产线，使得每天生产口罩10000万件；若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
六、（本题满分12分）
21．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为；
(3)设点为内一点，则依上述两次变换后点P在内的对应点的坐标是___________．
七、（本题满分12分）
22．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
八、（本题满分14分）
23．如图，一次函数y=k1x+1的图象与反比例函数 点的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D（1，-2 ），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围；
(3)设点P是直线AB上一动点，且S△OAP=S菱形OACD，求点P的坐标．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：A．该圆锥主视图是等腰三角形，故符合题意；
B．该圆柱主视图是矩形，故不符合题意；
C．该正方体主视图是正方形，故不符合题意；
D．该三棱柱的主视图是矩形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．C
【分析】根据矩形和菱形的性质逐项排查即可．
【详解】解：A. 对角相等是平行四边形的性质，矩形和菱形都具有，故该选项不符合题意；
B. 对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具有，故该选项不符合题意；
C. 邻边垂直是矩形具有，菱形不具有的性质，故该选项符合题意；
D. 对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，故该选项不正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质,掌握矩形和菱形的性质的区别与联系是解答本题的关键．
3．A
【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式即可求解，解题的关键是熟知平行线分线段成比例法则．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故选A．
4．C
【分析】设每季度平均每周作业时长的下降率为m，分别表示出2022年第四季度和2023年第一季度平均每周作业时长，由此列得方程．
【详解】解：设每季度平均每周作业时长的下降率为m，
∵2022年第三季度平均每周作业时长为500分钟，
∴2022年第四季度平均每周作业时长为分钟，
2023年第一季度平均每周作业时长为分钟，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意掌握增长率（或下降率）类方程的列法是解题的关键．
5．C
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可确定出a与b的值．
【详解】解：方程，
移项得：，
配方得：，即 ，
∵一元二次方程化成的形式，
∴ ．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．B
【分析】用列表法表示出所有等可能得结果，然后利用概率公式求解即可．
【详解】
有表格可得，一共有6种等可能得结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．D
【分析】根据一次函数的图象与反比例函数的图象特征逐项判断即可得．
【详解】解：A、由一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，则此项不符合题意；
B、由一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，则此项不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，则，不满足，则此项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，满足，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数的图象特征是解题关键．
8．C
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则：
，
解得：，
即蜡烛火焰的高度为，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
9．B
【分析】首先根据三视图求出长方体的长、宽、高，然后利用体积公式计算即可．
【详解】如图，连接AC，BD，交于点O，
由图可知，，
∵四边形ABCD是正方形，
，
，
，
∴长方体的长和宽都是，高为4，
∴长方体的体积为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三视图，掌握正方形的性质是关键．
10．B
【分析】根据正方形的性质得，可知，而，可知，可判断①正确；利用，，可知，则②正确；利用，得，且，可知③错误；延长交于，由，得，可判断④正确．
【详解】解：四边形与四边形都是正方形，
，，
，，，
，
，
设与相交于点，
，，
，
，
故①正确；
，，
，
，
，
，
故②正确；
如图，延长交于，
，
，
，
，
故④正确；
，，
，
，
，
，
故③错误，
正确的是①②④，
故选B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质．
11．
【分析】根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式的意义是解题的关键．
12．##
【分析】根据平行四边形的性质得到，由面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】根据黄金分割的定义可知：，故可求解，解题的关键是熟知黄金比的值．
【详解】∵P为的黄金分割点（），的长度为10cm，，
∴cm，
故答案为：．
14． 16 14
【分析】（1）根据，可以计算出点的坐标为，进而计算出的值；
（2）设正方形的边长为，，则，，利用等腰直角三角形的性质得，，点在反比例函数的图象上，，可得，再代入计算．
【详解】解：（1）∵点A在直线上，，
∴，即，
，，
，点的横坐标为：，
点的坐标为：，
．
故答案为：16；
（2）设正方形的边长为，，
则，，
，，
点在反比例函数的图象上，，
，即，
，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，勾股定理，平方差公式，等腰直角三角形的判定和性质．
15．(1)；
(2)用电器的可变电阻应大于或等于3.6Ω．
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点代入函数解析式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【详解】（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为,
∵函数图象过点（9，4），
∴，
解得：，
∴电流I与电阻R之间的函数表达式为．
（2）解：∵限制电流不能超过，
∴，
解得：，
∴用电器的可变电阻应大于或等于．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从题干中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
16．(1)是，理由见解析
(2)4或16
【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定；
（2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值．
【详解】（1）解：方程是倍根方程，
理由如下：
由方程，
解得，，
，
方程是倍根方程；
（2）解：由方程，
解得，，
方程是倍根方程，
或，
得或，
故或，
故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是：
（1）由得到，然后得到；
（2）利用勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，代入已知数据可得结果．
【详解】（1）解：证明：于点，，
，
，
；
（2）∵，，，
∴，
，
，即，
∴．
18．(1)见解析
(2)四边形AODF为矩形，理由见解析
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可；
（2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD=∠ADF，
∵∠AEO=∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）；
（2）解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO=DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD=90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是：
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，第一次取出的卡片图案为“琮琮”的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果有：，，，，，共5种，
取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的概率为．
20．不能增加生产线，使得每天生产口罩10000万件．理由见解析
【分析】假设增加x条生产线，使得每天生产口罩10000万件,根据条件列出方程，判断是否有实数根即可．
【详解】解：不能．理由如下：
假设增加x条生产线，使得每天生产口罩10000万件，则：
，
整理，得，
∵，
∴所列的方程没有实数根．
∴不能增加生产线，使得每天生产口罩10000万件．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意分别画点A、B、C关于x轴对称的点，连接即可得到；
（2）相似比为，即对应点到位似中心的距离比也是，据此画图；
（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）点P关于x轴的对称点坐标为：，
的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—位似变换，轴对称变换，坐标与图形，掌握位似图形的对应点坐标变化规律是解题关键．
22．（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形

是等腰直角三角形
又
即
解得．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．
23．(1)，；
(2)或；
(3)(-3，-2)或(5，6)
【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（2）根据题意可求出点B坐标，再根据反比例函数值大于一次函数值时，反比例函数图象在一次函数图象上方，写出x的取值范围即可；
（3）设直线AB与x轴的交点为M，由一次函数解析式即可求出M点坐标．根据菱形的性质求得菱形面积，即可得出的值．设P点坐标为(x，x+1)，分类讨论①当点P在x轴下方时，利用，即可求出x的值，由此即得到P点坐标．②当点P在x轴上方时，利用，即可求出x的值，由此即得到P点坐标．
【详解】（1）如图，连接AD，交x轴于点E，
∵D(1，-2)，
∴OE=1，ED=2，
∵四边形AODC是菱形，
∴AE=DE=2，EC=OE=1，
∴A(1，2)，
将A(1，2)代入直线，得，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
将A(1，2)代入反比例函数，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）联立 ，
解得：，．
∴B(-2，-1)．
∵反比例函数值大于一次函数值时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
由图象可知当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴当或时，反比例函数值大于一次函数值时．
（3）设直线AB与x轴的交点为M，如图，
∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，
∴，
∵，
∴，
对于直线y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1
∴M(-1，0)．
设P点坐标为(x，x+1)，
①当点P在x轴下方时，
∴，即，
∴
解得x=-3，
∴此时P点坐标为(-3，-2)；
②当点P在x轴上方时，
∴，即
∴
解得x=5，
∴P点坐标为(5，6)．
综上可知，P点坐标为(-3，-2)或(5，6)
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，涉及知识点有待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键．
甲
乙
丙
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）