高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示练习题

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4．ACD [在空间直角坐标系中，每一个点和向量坐标都可用唯一的有序实数组(x，y，z)表示，从而A正确；点P(3，0，－1)位于空间直角坐标系中的Ozx平面上，从而B错误；点P(1，3，－4)在Ozx平面内的射影坐标为(1，0，－4)，从而C正确；点A(2，－1，4)关于原点的对称点的坐标为A′(－2，1，－4)，从而D正确．故选ACD．]
5．C 6．(1，1，0) 7．(0，4，－3) (－4，0，－3) 8．12，0，-12
9．解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直．
又因为AB＝AC＝6，BC是⊙O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形，且AF⊥BC，BC＝62.所以以O为原点，OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，E，F各个点的坐标分别为A(0，－32，0)，B(32，0，0)，C(－32，0，0)，D(0，－32，8)，E(0，0，8)，F(0，32，0)．
10．C
11．ACD [依据空间中点的坐标的定义可知，点B1(4，5，3)，点C1(0，5，3)，点A(4，0，0)，点C(0，5，0)，故A正确．设点C1关于点B(4，5，0)的对称点为(x1，y1，z1)，由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，故B错误．由AB＝5，AD＝4，AA1＝3易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确，点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为(8，5，0)，故D正确．]
12．(1，1，1) 32，12，-1 13．0，0，-63 0，-33，-63
14．解：∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，根据题意知{DA，DC，DD1}为单位正交基底，设DA＝i，DC＝j，DD1＝k，∴向量EF可用单位正交基底{i，j，k}表示．
∵EF＝ED+DC+CF，ED与DA1共线，CF与CA共线，∴设ED＝λDA1，CF＝μCA，则EF＝λDA1+DC＋μCA＝λ(DA+DD1)＋DC＋μ(DA-DC)＝(λ＋μ)DA＋(1－μ)DC＋λDD1＝(λ＋μ)i＋(1－μ)j＋λk，
∵EF⊥A1D，EF⊥AC，即EF⊥A1D，EF⊥AC，∴EF·A1D＝0，EF·AC＝0，
又A1D＝－i－k，AC＝－i＋j，
∴λ+μi+1-μj+λk·-i-k=0，λ+μi+1-μj+λk·-i+j=0，
整理得-λ+μ-λ=0， -λ+μ+1-μ=0，
即2λ+μ=0，λ+2μ=1，解得λ=-13，μ=23.
∴EF＝13i＋13j－13k，
∴EF的坐标是13，13，-13．
(2)证明：∵BD1＝BD+DD1＝－i－j＋k，
又由(1)知EF＝13i＋13j－13k，
∴EF＝－13BD1，即EF与BD1共线，
又EF与BD1无公共点，∴EF∥BD1．
15．BC [a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cs θ，
因为0<θ<π，且θ≠π2，
所以a·b≠0，故A错误；
如图所示，设OB＝b，OA＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；
根据“仿射”坐标的定义可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2i＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；由已知可得三棱锥O­ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4×12×12×32＝3，故D错误．故选BC．]