高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课堂检测

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一、选择题
1．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cs 〈m，n〉＝－12，则α与β的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则直线DE与B1C所成角的大小为( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )
A．52266B．－52266
C．52222D．－52222
4．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线BA1与平面BDE所成角的正弦值为( )
A．13 B．12 C．22 D．32
5．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题
6．如图所示，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB＝4，则异面直线AQ与PB所成角的余弦值为________．
7．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．
8．在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________．
三、解答题
9．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD，其中AC⊥BD于O，OA＝OB＝OD＝4，OC＝8，PO⊥平面ABCD．
(1)求证：PD⊥AC；
(2)试验表明，当PO＝12OA时，风筝表现最好，求此时直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
10．(多选)(2022·山东威海高二月考)在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D为原点，以DA，DC，DD'分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A．BD'＝(－3，－2，1)
B．异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为23535
C．平面A′C′D的一个法向量为(－2，－3，6)
D．平面A′C′D与平面A′DD′的夹角的余弦值为37
11．(多选)(2022·山东青州第一中学高二月考)如图所示，设E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD上的两点，且AB＝2，EF＝1，下列说法正确的是( )
A．三棱锥D1-B1EF的体积为定值
B．异面直线B1D1与EF所成角的大小为45°
C．B1D1⊥平面B1EF
D．直线B1D1与平面B1EF所成角的大小为40°
12．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，且AB＝BD＝CD，M为AD的中点，则平面MBC与平面BCD夹角的正弦值为( )
A．22 B．33 C．63 D．1
13．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则AB与CD所成角的大小为________，AB与平面BCD所成角的大小为________．
14．(2021·新高考Ⅰ卷改编)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且平面EBC与平面DBC的夹角为45°，求三棱锥A-BCD的体积．
15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝22，PA＝2．
(1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB；
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；
(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由．