精品解析：广东省中山市2024届高三上学期第二次段考数学试题（解析版）

这是一份精品解析：广东省中山市2024届高三上学期第二次段考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
（1）答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息；
（2）请将答案正确填写在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定，，再计算交集得到答案.
【详解】，
，故.
故选：A
2. 已知幂函数的图象不过原点，则的值为
A. 0B. -1C. 2D. 0或2
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数是幂函数可知，得出：或，然后验证，得到的值.
【详解】函数是幂函数，
，解得：或，
当时，，过原点，不满足条件；
当时，，不过原点，满足条件，
.
故选:A.
【点睛】本题考查幂函数的解析式和函数性质，形如的函数是幂函数，熟记和时，函数的性质和图象是解题 的关键，本题主要考查基础知识的掌握情况.
3. 若a＞1，则的最小值是（ ）
A. 2B. a
C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】原式可化为形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a＝2
【详解】由a＞1，有a－1＞0
∴，
当且仅当， 即a＝2时取等号.
故选：D
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，使用时注意“一正二定三相等”的条件，属于简单题
4. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用、诱导公式、余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】.
故选：C
5. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.
【详解】解：由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.
6. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易得函数偶函数，排除部分选项，再采用特殊值法由，确定选项.
【详解】因为，
所以函数为偶函数，故排除D；
因为，故排除B；
因为，故排除C.
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性的应用，特殊值法的应用，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.
7. 已知锐角、满足、，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出、，再根据两角和的余弦公式求出，即可得解.
【详解】因为锐角、满足、，
所以、，
所以，
因为，所以.
故选：B
8. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，得出x＝2k，y＝3k，z＝5k，从而得出，比较得31021556，且，根据幂函数单调性即可得出.
【详解】设，∴x＝2k，y＝3k，z＝5k；
∴，；
∵215＝85，或215＝323；310＝95，56＝253，∴31021556，
又，∴，∴，∴．
故选：B．
【点睛】本题考查对数的定义，对数式和指数式的互化，分数指数幂的运算，以及幂函数的单调性，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 以下选项中，是，的一个必要条件的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据必要条件的定义依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，由，不能得到，故不满足；
对于B选项，由，不能得到，故不满足；
对于C选项，当，时，成立，故满足题意；
对于D选项，当，时，成立，故满足题意；
综上，CD是，的必要条件.
故选：CD.
【点睛】本题考查必要条件的概念，是基础题.
10. 下列论述中，正确的有（ ）
A. 正切函数的定义域为
B. 若是第一象限角，则是第一或第三象限角
C. 第一象限的角一定是锐角
D. 圆心角为且半径为2的扇形面积是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正切函数的定义判断A，根据象限角的定义判断B，C，根据扇形面积公式判断D.
【详解】对于A：正切函数的定义域为，故A错误；
对于B：若第一象限角，则，可得，
所以表示第一或第三象限角，故B正确；
对于C：是第一象限角，但不是锐角，故C错误；
对于D：圆心角为且半径为2的扇形面积，故D正确．
故选：BD．
11. 形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ）
A. 4B. 12C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】依题意得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可.
【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增，
若，即时在上单调递增，所以，
，
所以，解得；
若，即时在上单调递减，所以，
，
所以，解得（舍去）；
当，即时在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
综上可得或.
故选：AD
12. 双曲函数是数学中一类非常重要的函数，其中就包括双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（，为自然对数的底数）．下列关于与说法正确的是（ ）
A. 与在上均为增函数
B. 与的图象都关于原点对称
C. ，都有
D. ，都有
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，利用单调性的定义进行判断；对于B，通过判断函数的奇偶性求解；对于C，直接计算即可；对于D，由前面的判断可知在上为增函数，在上为减函数，所以构造函数在上为增函数，然后利用零点存在性定理可得，使得，从而可进行判断
【详解】选项A，设，
则，
，
，，，
，即，
在上为增函数．
同理可知在上也为增函数，故正确；
选项B，两函数定义域都，且，图象关于原点对称,
，图象关于轴对称，故错误；
选项C，，故正确；
选项D，由选项，可知与在上均为增函数，
则当时，，
在上为增函数．
又由选项B可知，为偶函数，
在上为减函数．
在上为增函数．
，
，
，
，使得，
即，使得，故错误．
故选：AC
三、填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13. ，，，则的最小值是____.
【答案】
【解析】
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】∵x＞0，y＞0，且2x+y＝，
∴9+6．当且仅当时，取等号．
∴的最小值为9+6．
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
14. 已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，利用基本不等式求出，然后解不等式可求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
因为存在，使得成立，
所以只要，即，得或，
所以的取值范围为.
15. 已知函数是偶函数，那么的一个取值可以是___________.（答案不唯一）
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的定义即可求解.
【详解】因为该函数为偶函数，所以，
当时，有可得：，
于是有：或，
解得：，
当时，有可得：，
于是有或，
解得：，显然的一个取值可以是，
故答案：.
16. 对于任意两个正实数，定义．其中常数，“”是实数乘法运算，若，则__________；若，与都是集合中的元素，则__________．
【答案】 ①. ####1.125 ②. ####2.5
【解析】
【分析】根据给定的定义直接计算可得，再由给定的计算结果所属集合，推理求解作答.
【详解】因任意两个正实数，定义，则，解得，满足，
所以；
因，与都是集合中的元素，则有，，
因此，即，则，，所以.
故答案为：；
四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分.共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 计算：
（1）；
（2）计算：.
【答案】（1）；
（2）2.
【解析】
【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）利用对数运算法则、对数换底公式计算即得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 已知函数．
（1）求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
【答案】（1）1 （2）的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.
【解析】
【分析】（1）求导，求出即为切线斜率；（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值.
【小问1详解】
因为，所以，因此曲线y = f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1；
【小问2详解】
令，解得：x = 0或2．
所以 f（x）在，内是减函数，在内是增函数．
因此函数f（x）在x = 0处取得极小值f（0），且f（0）= 0，函数f（x）在x = 2处取得极大值，且f（2）=；
综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.
19. 已知函数.
（I）当时，求不等式的解集；
（II）若关于的不等式有且仅有一个整数解，求正实数的取值范围.
【答案】（I）；（II），或
【解析】
【分析】（I）直接解不等式得解集；（II）对a分类讨论解不等式分析找到a满足的不等式，解不等式即得解.
【详解】（I）当时，不等式为，
不等式的解集为，
所以不等式的解集为；
（II）原不等式可化为，
①当，即时，原不等式的解集为，不满足题意；
②当，即时，，此时，所以；
③当，即时，，所以只需，解得；
综上所述，，或.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.
（1）求的值：
（2）求的值.
【答案】（1）.
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数定义可列式计算求得，即可求得答案.
（2）利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简，将代入，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知角的终边经过点，且，
故，解得，
当时，，则；
当时，，则，
即.
【小问2详解】
,
故时，，
时，
21. 党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．
（1）求a的值；
（2）若交通流量，求道路密度x的取值范围；
（3）求车辆密度q的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题，待定系数解方程即可得答案；
（2）根据题意，解不等式即可得答案；
（3）由题知，进而分段研究最值即可得答案；
【小问1详解】
解：依题意，，即，故正数,所以，a的值为.
【小问2详解】
解：当时，单调递减，F最大为，故的解集为空集；
当时，由，解得，即
所以，交通流量，道路密度x的取值范围为．
【小问3详解】
解：依题意，，
所以，当时，；
当时，，
由于，所以，当时，q取得最大值．
因为，
所以车辆密度q的最大值为．
22. 已知函数.
（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，分两种情况讨论，若在定义域上单调递增，则恒成立，即在上恒成立；若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式可得解；
（2）要证原不等式成立，只需证，只需证，只需证，当时，则原不等式即证，结合的单调性即可得证.
【小问1详解】
由题意得的定义域为
.
若在定义域上单调递增，则恒成立，得，即在上恒成立，又，当且仅当时等号成立，；
若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的不存在.
综上所述：在定义域上单调递增，且.
【小问2详解】
方法一：要证成立，
只需证，只需证，
只需证，只需证，
当时，原不等式即证，
由（1）知在上单调递增，
，
又，则，
原不等式成立.
方法二：要证成立，
只需证，只需证，
只需证，
令，
则.
在上单调递增，，
原不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数问题常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
x
0
2
－
0
+
0
－
↘
极小值
↗
极大值
↘