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初中苏科版6.4 探索三角形相似的条件精品课堂检测
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这是一份初中苏科版6.4 探索三角形相似的条件精品课堂检测，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
2.如图，已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点(不与A，C重合)，以BD为边作正三角形BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有
( )
A. 6对B. 5对C. 4对D. 3对
3.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是( )
A. 23B. 1C. 32D. 2
4.如图，已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点(不与A、C重合)，以BD为边作正三角形BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有
( )
A. 6对B. 5对C. 4对D. 3对
5.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是( )
A. ∠ADC=∠ACB
B. ABBC=ACCD
C. ∠ACD=∠B
D. AC2=AD⋅AB
6.如图，在△ABC中，点D是AB边上一点(不与A，B两点重合)，下列条件： ①∠ACD=∠B; ②∠ADC=∠ACB; ③AC2=AD⋅AB; ④ACBC=ADCD.其中能使△ABC∽△ACD的个数为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O点是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，则BE：EC=( )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 2：3
8.如图，在△ABC中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE:EC=( )
A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 2:3
9.如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是
( )
A. ∠C=∠AEDB. ∠B=∠DC. ABAD=BCDED. ABAD=ACAE
10.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO.则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD=135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8.其中正确的有
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
11.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③AEAB=DEBC，④ADAC=AEAB，⑤AC2=AD⋅AE，使△ADE与△ACB一定相似的有( )
A. ①②④B. ②④⑤C. ①②③④D. ①②③⑤
12.如图，∠1=∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是( )
A. ∠B=∠DB. ∠C=∠EC. ADAE=ABACD. ACAE=BCDE
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上．只需添加一个条件即可证明△ADE∽△ACB，这个条件可以是 .(写出一个即可)
14.如图，直线AD，BC交于点O，AB//EF//CD.若AO=2，OF=1，FD=2.则BEEC的值为 ．
15.如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD：CD=2：5，连接AD、BE，交点为F，DF：AF=1：4，那么CEAE的值是____．
16.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，那么AFCF=______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D=30°，DC= 3．
(1)求证：△BOC∽△BCD；
(2)求△BCD的周长．
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ∘，CD是△ABC的高，E是AC的中点，ED、CB的延长线相交于点F．△FDB与△FCD相似吗？为什么？
19.(本小题8分)
如图，线段A′B′是线段AB绕点O逆时针旋转后得到的图形(旋转角小于180°)．
(1)用直尺和圆规作点O(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接OA、OA′、AA′、OB、OB′、BB′，求证：△OAA′∽△OBB′．
20.(本小题8分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．▵ABC和▵DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
(1)则∠DEF=__________°，AC=__________；
(2)判断▵ABC与▵DEF是否相似．若相似，请说明理由．
21.(本小题8分)
如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G．
(1)求证：BD//EF；
(2)若DGGC=23，BE=4，求EC的长．
22.(本小题8分)
如图，▵ABC的高AD，BE相交于点O．
(1)写出一个与▵ACD相似的三角形(不添加其他线段)，这个三角形是______；
(2)证明：
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是AB上一点，且ADDB=32，E，F是AC上的点，且DE//BC，DF//BE，AF=9.求EC的长．
24.(本小题8分)
如图，在△ABC与△ADE中，ABAD=ACAE，且∠EAC=∠DAB．
求证：△ABC∽△ADE．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动．
(1)经过多少秒，可使△PBQ的面积等于8cm2？
(2)经过多少秒，△ABC与△PBQ相似？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了网格中相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法，勾股定理是解题的关键．
设小正方形的边长为1，根据已知，利用勾股定理可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
【解答】
解：∵小正方形的边长均为1
∴由勾股定理得出△ABC三边分别为2， 12+12= 2， 32+12= 10；
同理：A中各边的长分别为： 22+12= 5，3， 12+12= 2；
B中各边长分别为： 12+12= 2，1， 22+12= 5；
C中各边长分别为：1、 22+22= 8=2 2， 22+12= 5；
D中各边长分别为：2， 22+12= 5， 22+32= 13；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为 2，
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
见答案
【解答】
见答案
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例.过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例解答即可．
【解答】
解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则ABBC=ADDE，即3BC=2，
解得：BC=32．
4.【答案】B
【解析】题图中的相似三角形有△ABC∽△EDB，△BDC∽△BFE，△BFE∽△DFA，△BDC∽△DFA，△BDF∽△BAD，共5对．
理由：∵△ABC和△BDE是正三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=∠E=∠BDE=∠EBD=60∘，
∴△ABC∽△EDB，
易得∠EBF=∠DBC，又∠E=∠C，
∴△BDC∽△BFE，
∴∠BDC=∠BFE=∠AFD，又∠A=∠C，
∴△BDC∽△DFA，
∴△BFE∽△DFA，
∵∠DBF=∠ABD，∠BDF=∠BAD，
∴△BDF∽△BAD．
综上，共有5对相似三角形.故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是相似三角形的判定的有关知识，直接利用相似三角形的判定定理对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：A．∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意;
B.∵ABBC=ACCD，添加∠A=∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意;
C.∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意;
D.∵AC2=AD⋅AB，
∴ACAD=ABAC，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意;
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定.熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
由∠A是公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ABC与△ACD相似，即可得出结果．
解：∵∠A是公共角，
∴当∠ACD=∠B时，△ADC∽△ACB(有两组角对应相等的两个三角形相似);
当∠ADC=∠ACB时，△ADC∽△ACB(有两组角对应相等的两个三角形相似);
当AC2=AD⋅AB时，即ACAB=ADAC，△ADC∽△ACB(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)．
当ACBC=ADCD时，∠A不是夹角，则不能判定△ADC与△ACB相似;
∴能够判定△ABC与△ACD相似的条件是： ① ② ③．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：如图，过O点作OG//BC，交AC于点G，
∵点O是BD的中点，OG//BC
∴点G是DC的中点．
又AD：DC=1：2，
∴AD=DG=GC，
∴AG：GC=2：1，
∵OG//BC
∴AG : GC=AO : OE
∴AO：OE=2：1，
∴S△AOB：S△BOE=AO:OE=2：1
设S△BOE=S，S△AOB=2S，又点O是BD的中点，
∴S△AOD=2S，S△ABD=4S，
∵AD：DC=1：2，
∴S△BDC=2S△ABD=8S，S四边形CDOE=S△BDC−S△BOE=7S，
∴S△AEC=S四边形CDOE+S△AOD=9S，S△ABE=S△AOB+S△BOE=3S，
∴BEEC=S△ABES△AEC=3S9S=13
故选：B．
过点O作BC的平行线交AC于点G，由中位线的知识可得出DG=GC，根据已知和平行线分线段成比例得出AD=DG=GC，AG：GC=2：1，AO：OE=2：1，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BE：EC的比．
本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．作DF//AE交BC于F，如图，利用OE//DF得到BEEF=BOOD=1，所以BE=EF，利用DF//AE得到EFFC=ADDC=
，所以CF=2EF，然后计算BE：EC．【解答】
解：作DF//AE交BC于F，如图，
∵OE//DF，
∴BEEF=BOOD=1，
即BE=EF，
∵DF//AE，
∴EFFC=ADDC=
，
∴CF=2EF，
∴BE：EC=BE：3BE=1：3．
故选B．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似，
故选：C．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形，三角形的外角性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积问题，熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．①根据相似三角形的判定定理即可证明△ABD∽△ACE；②根据三角形的外角性质可证明∠COD=135°，③根据A、C、B、O四点共圆，可证明AO⊥BD；④根据△AOC面积的最大时，底边AC对应的高最大为2 2+2，即可判断正误．
【解答】
解：如图：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，
∴AB=AD=4 2，AC=AE=4，
∴ABAC=ADAE=4 24= 2，
又∵旋转，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE；①正确；
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠COD=∠CBO+∠BCO
=∠CBA+∠ABD+∠BCO
=45°+∠ACE+∠BCO
=45°+∠ACB
=45°+90°
=135°；②正确；
由∠BOC=∠BAC=45∘，可知A、C、B、O四点共圆，
由圆内接四边形性质知∠BOA+∠BCA=180∘，
则∠BOA=90∘，即AO⊥BD．
故 ③正确;
以AC作△AOC底边，则O到AC距离为高，设高为h，
当h最大时，△AOC面积才最大．
∵A、C、B、O四点共圆，且∠BCA=90∘，
故AB为此圆直径，当h垂直AC通过圆心的时候，h最大，
此时h=2 2+2，
则△AOC面积的最大值为12×4×2 2+2=4 2+4，④错误，
正确的有3个，
故选C．
11.【答案】A
【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．由两角相等的两个三角形相似得出①②正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出④正确；即可得出结果．
【解答】
解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，①正确；
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，②正确；
∵∠A=∠A，ADAC=AEAB，
∴△ADE∽△ACB，④正确；
由AEAB=DEBC，或AC2=AD⋅AE不能证明△ADE与△ACB相似．
故选A．
12.【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
A、添加∠B=∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C=∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加ADAE=ABAC可利用两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
D、添加ACAE=CBED不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
根据∠1=∠2可得∠DAE=∠BAC，再结合相似三角形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：(1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
(3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
(4)两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
13.【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 ADAC=AEAB
【解析】【分析】由已知得到∠A是公共角，只需添加另一组角相等过夹角A的两条边成比例即可．
【详解】∵∠A=∠A，
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时， ADE ∽△ ACB ；
当 ADAC=AEAB 时， ADE ∽△ ACB ；
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 ADAC=AEAB ．
【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键．
14.【答案】 32
【解析】【分析】由平行线分线段成比例可得，BOOE=AOOF=21，OEEC=OFFD=12，得出BO=2OE，EC=2OE，从而BEEC=2OE+OE2OE=32．
【详解】∵AB//EF//CD，AO=2，OF=1，
∴BOOE=AOOF=21，
∴BO=2OE，
∵OEEC=OFFD=12，
∴EC=2OE，
∴BEEC=2OE+OE2OE=32；
故答案为：32．
15.【答案】78
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，过D作DG//BE，交AC于G，依据平行线分线段成比例定理，即可得到BD：CD=EG：GC，DF：AF=EG：AE，由此分别用EG表示出EC和AE，进而可得CEAE的值．
【解答】
解：如图所示，过D作DG//BE，交AC于G，
∴BD：DC=EG：CG=2：5，DF：AF=EG：AE=1：4，
即CG=52EG，AE=4EG，
∴EC=CG+EG=72EG，
∴CEAE=72EG4EG=78
16.【答案】12
【解析】解：作DH//BF交AC于点H，
∵DH//BF，AD是△ABC的中线，
∴CH=HF，
∵DH//BF，E是AD中点，
∴AF=FH，
∴AF=FH=HC，
∴AF：CF=1：2，
故答案为：12．
作DH//BF交AC于点H，根据平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理，进而得到AF=FH=HC，即可得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17.【答案】证明：(1)∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=30°，
∴∠DCB=120°=∠BOC，
又∵∠B=∠B，
∴△BOC∽△BCD；
(2)∵∠D=30°，DC= 3，∠OCD=90°，
∴DC= 3OC，DO=2OC，
∴OC=1=OB，DO=2，
∵∠B=∠D=30°，
∴DC=BC= 3，
∴△BCD的周长=CD+BC+DB= 3+ 3+2+1=3+2 3．
【解析】(1)由切线的性质可得∠OCD=90°，由外角的性质可得∠BOC=120°，由等腰三角形的性质得∠B=∠OCB=30°，从而可得∠B=∠D=30°，∠DCB=120°=∠BOC，可得结论；
(2)由直角三角形的性质可得OC=1=OB，DO=2，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定，切线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是关键．
18.【答案】解：▵FDB与▵FCD相似．
∵∠ACB=90∘，CD是▵ABC的高，
∴∠FBD=90∘+∠A，
∠FDC=90∘+∠FDB．
在Rt▵ACD中，
∵E是AC的中点，
∴ED=12AC=EA．
∴∠ADE=∠A．
又∠ADE=∠FDB，
∴∠FBD=∠FDC．
在▵FDB和▵FCD中，
∵∠BFD=∠DFC，∠FBD=∠FDC，
∴△FDB∽△FCD(两角分别相等的两个三角形相似)．
【解析】在▵FDB和▵FCD中，∠F是公共角，如果∠FBD=∠FDC(或∠FDB=∠FCD)，那么这两个三角形就相似．
19.【答案】解：(1)如图，点O即为所求．
(2)证明：连接OA、OA′、AA′、OB、OB′、BB′，
∵线段A′B′为线段AB绕点O逆时针旋转后的图形，
∴OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′．
∴OAOB=OA′OB′．
∴△OAA′∽△OBB′．
【解析】本题考查了相似三角形的判定、作图−复杂作图、旋转的性质，解决本题的关键是掌握作旋转中心的方法．
(1)找旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为所求；
(2)结合(1)根据相似三角形的判定方法即可证明．
20.【答案】(1)解：如图，令 4×4 的正方形顶点分别为 A ， H ， I ， K ，
由题意得 DE 为边长为1的小正方形的对角线，
∴∠DEI=45∘ ，
∴ ∠DEF=180∘−45∘=135∘ ，
∵ 由图可知， AC 是 Rt▵ACK 的斜边， AK=4,CK=2 ，
∴AC= CK2+AK2= 22+42=2 5 ．
(2)解：判断： ▵ABC∼▵DEF ，
解法一：
证明： ∵ BC 为边长为2的小正方形的对角线， DE 为边长为1的小正方形的对角线，
∴BC=2 2 ， DE= 2 ，
∵ 由图可得 DF 是 Rt▵DFI 的斜边， FI=3,DI=1 ，
∴DF= 1+32= 10 ，
又∵ AB=2 ,AC=2 5 ， EF=2 ，
∴ABDE=2 2= 2 , BCEF=2 22= 2 , ACDF=2 5 10= 2 ，
∴ ABDE=BCEF=ACDF ，
∴ ▵ABC∼▵DEF ．
解法二：
证明： ∵ BC 为边长为2的小正方形的对角线， DE 为边长为1的小正方形的对角线，
∴BC=2 2 ， DE= 2 ，
又 ∵ AB=2 ， EF=2 ，
∴ ABDE=2 2= 2 , BCEF=2 22= 2 ，
∴ ABDE=BCEF ，
∵ BC ， DE 都是正方形的对角线，
∴∠CBK=45∘,∠DEI=45∘ ，
∴ ∠ABC=∠DEF=180∘−45∘=135∘ ，
∴ ▵ABC∼▵DEF ．
【解析】【分析】本题考查了正方形对角线的性质，勾股定理解三角形及相似三角形的判定．
(1)根据正方形对角线性质，每条对角线平分一组对角，得到 ∠DEI 的度数，再根据邻补角定义即可得到 ∠DEF 的度数；利用勾股定理，即可求出 AC 的值，构造 Rt▵ACK 利用勾股定理，是解题关键；
(2)方法一：根据正方形对角线长度等于正方形边长的 2 倍，可求出对角线 BC ， DE 的值，然后通过构造 Rt▵DFI ，利用勾股定理可求出 DF 的值，由此即可得到 ▵ABC 和 ▵DEF 三边的值，根据相似三角形的判定“三边对应成比例，两三角形相似”，即可证得结论；方法二：同方法一先求出 BC ， DE 的值，由(1)可得到 ∠DEF 的值，同理可求出 ∠ABC 的值，已知 AB ， EF 的值，然后根据相似三角形判定“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，即可证得结论，熟练掌握以上相似三角形的判定是解题关键．
21.【答案】解：
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵DF=BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD//EF；
(2)∵四边形BEFD是平行四边形，
∴DF=BE=4，
∵DF//EC，
∴△DFG∽CEG，
∴DGCG=DFCE，
∴CE=DF·CGDG=4×32=6．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
(1)解答本题的关键是根据平行四边的判定与性质，即可证得BD//EF；
(2)解答本题的关键是根据相似三角形的判定与性质，可得DGCG=DFCE，由此即可求得CE的长度．
22.【答案】(1) △AOE ， ▵BOD ， ▵BCE (写出一个即可)
(2)证明见解析
【解析】【详解】(1)解： △AOE ， ▵BOD ， ▵BCE (写出一个即可)
(2) ▵AOE∽▵ACD
证明：∵ ▵ABC 的高AD，BE相交于点O，
∴ ∠AEO=∠ADC=90∘
∵ ∠OAE=∠CAD
∴ ▵AOE∽▵ACD
23.【答案】解：∵DF//BE，
∴AFFE=ADDB=32，
∵AF=9，
∴FE=6，
∵DE//BC，
∴AEEC=ADDB=32，
∵AE=AF+FE=15，
∴EC=10．
【解析】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据题中的给出的平行线列出比例式，本题属于基础题型.由DF//BE可知AFFE=ADDB=32，故可求出FE的值，由DE//BC可知AEEC=ADDB=32，故可求出EC的长度．
24.【答案】证明：∵∠EAC=∠DAB，
∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵ABAD=ACAE，
∴△ABC∽△ADE．
【解析】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定.根据相似三角形的判定即可求出答案．
25.【答案】解：(1)设经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2，
由题意得，AP=tcm，BQ=2tcm，则BP=(6−t)cm，
∵△PBQ的面积等于8cm2，
∴12×2t×(6−t)=8，
解得，t1=2，t2=4，
答：经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
(2)设经过m秒，△ABC与△PBQ相似，
当△ABC∽△PBQ时，ABPB=BCBQ，
即66−m=82m，
解得，m=125，
经检验，m=125是原方程的解，且符合题意；
当△ABC∽△QBP时，ABBQ=BCBP，
即62m=86−m，
解得，m=1811，
经检验，m=1811是原方程的解，且符合题意；
答：经过125秒或1811秒，△ABC与△PBQ相似．
【解析】(1)设经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2，分别表示出BP和BQ，建立方程求解即可；
(2)根据题意进行分类讨论即可．
本题考查一元二次方程的实际应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握求解方程及相似三角形的性质是解题关键．1
2
1
2
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
2.如图，已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点(不与A，C重合)，以BD为边作正三角形BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有
( )
A. 6对B. 5对C. 4对D. 3对
3.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是( )
A. 23B. 1C. 32D. 2
4.如图，已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点(不与A、C重合)，以BD为边作正三角形BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有
( )
A. 6对B. 5对C. 4对D. 3对
5.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是( )
A. ∠ADC=∠ACB
B. ABBC=ACCD
C. ∠ACD=∠B
D. AC2=AD⋅AB
6.如图，在△ABC中，点D是AB边上一点(不与A，B两点重合)，下列条件： ①∠ACD=∠B; ②∠ADC=∠ACB; ③AC2=AD⋅AB; ④ACBC=ADCD.其中能使△ABC∽△ACD的个数为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O点是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，则BE：EC=( )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 2：3
8.如图，在△ABC中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE:EC=( )
A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 2:3
9.如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是
( )
A. ∠C=∠AEDB. ∠B=∠DC. ABAD=BCDED. ABAD=ACAE
10.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO.则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD=135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8.其中正确的有
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
11.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③AEAB=DEBC，④ADAC=AEAB，⑤AC2=AD⋅AE，使△ADE与△ACB一定相似的有( )
A. ①②④B. ②④⑤C. ①②③④D. ①②③⑤
12.如图，∠1=∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是( )
A. ∠B=∠DB. ∠C=∠EC. ADAE=ABACD. ACAE=BCDE
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上．只需添加一个条件即可证明△ADE∽△ACB，这个条件可以是 .(写出一个即可)
14.如图，直线AD，BC交于点O，AB//EF//CD.若AO=2，OF=1，FD=2.则BEEC的值为 ．
15.如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD：CD=2：5，连接AD、BE，交点为F，DF：AF=1：4，那么CEAE的值是____．
16.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，那么AFCF=______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D=30°，DC= 3．
(1)求证：△BOC∽△BCD；
(2)求△BCD的周长．
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ∘，CD是△ABC的高，E是AC的中点，ED、CB的延长线相交于点F．△FDB与△FCD相似吗？为什么？
19.(本小题8分)
如图，线段A′B′是线段AB绕点O逆时针旋转后得到的图形(旋转角小于180°)．
(1)用直尺和圆规作点O(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接OA、OA′、AA′、OB、OB′、BB′，求证：△OAA′∽△OBB′．
20.(本小题8分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．▵ABC和▵DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
(1)则∠DEF=__________°，AC=__________；
(2)判断▵ABC与▵DEF是否相似．若相似，请说明理由．
21.(本小题8分)
如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G．
(1)求证：BD//EF；
(2)若DGGC=23，BE=4，求EC的长．
22.(本小题8分)
如图，▵ABC的高AD，BE相交于点O．
(1)写出一个与▵ACD相似的三角形(不添加其他线段)，这个三角形是______；
(2)证明：
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是AB上一点，且ADDB=32，E，F是AC上的点，且DE//BC，DF//BE，AF=9.求EC的长．
24.(本小题8分)
如图，在△ABC与△ADE中，ABAD=ACAE，且∠EAC=∠DAB．
求证：△ABC∽△ADE．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动．
(1)经过多少秒，可使△PBQ的面积等于8cm2？
(2)经过多少秒，△ABC与△PBQ相似？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了网格中相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法，勾股定理是解题的关键．
设小正方形的边长为1，根据已知，利用勾股定理可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
【解答】
解：∵小正方形的边长均为1
∴由勾股定理得出△ABC三边分别为2， 12+12= 2， 32+12= 10；
同理：A中各边的长分别为： 22+12= 5，3， 12+12= 2；
B中各边长分别为： 12+12= 2，1， 22+12= 5；
C中各边长分别为：1、 22+22= 8=2 2， 22+12= 5；
D中各边长分别为：2， 22+12= 5， 22+32= 13；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为 2，
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
见答案
【解答】
见答案
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例.过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例解答即可．
【解答】
解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则ABBC=ADDE，即3BC=2，
解得：BC=32．
4.【答案】B
【解析】题图中的相似三角形有△ABC∽△EDB，△BDC∽△BFE，△BFE∽△DFA，△BDC∽△DFA，△BDF∽△BAD，共5对．
理由：∵△ABC和△BDE是正三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=∠E=∠BDE=∠EBD=60∘，
∴△ABC∽△EDB，
易得∠EBF=∠DBC，又∠E=∠C，
∴△BDC∽△BFE，
∴∠BDC=∠BFE=∠AFD，又∠A=∠C，
∴△BDC∽△DFA，
∴△BFE∽△DFA，
∵∠DBF=∠ABD，∠BDF=∠BAD，
∴△BDF∽△BAD．
综上，共有5对相似三角形.故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是相似三角形的判定的有关知识，直接利用相似三角形的判定定理对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：A．∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意;
B.∵ABBC=ACCD，添加∠A=∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意;
C.∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意;
D.∵AC2=AD⋅AB，
∴ACAD=ABAC，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意;
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定.熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
由∠A是公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ABC与△ACD相似，即可得出结果．
解：∵∠A是公共角，
∴当∠ACD=∠B时，△ADC∽△ACB(有两组角对应相等的两个三角形相似);
当∠ADC=∠ACB时，△ADC∽△ACB(有两组角对应相等的两个三角形相似);
当AC2=AD⋅AB时，即ACAB=ADAC，△ADC∽△ACB(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)．
当ACBC=ADCD时，∠A不是夹角，则不能判定△ADC与△ACB相似;
∴能够判定△ABC与△ACD相似的条件是： ① ② ③．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：如图，过O点作OG//BC，交AC于点G，
∵点O是BD的中点，OG//BC
∴点G是DC的中点．
又AD：DC=1：2，
∴AD=DG=GC，
∴AG：GC=2：1，
∵OG//BC
∴AG : GC=AO : OE
∴AO：OE=2：1，
∴S△AOB：S△BOE=AO:OE=2：1
设S△BOE=S，S△AOB=2S，又点O是BD的中点，
∴S△AOD=2S，S△ABD=4S，
∵AD：DC=1：2，
∴S△BDC=2S△ABD=8S，S四边形CDOE=S△BDC−S△BOE=7S，
∴S△AEC=S四边形CDOE+S△AOD=9S，S△ABE=S△AOB+S△BOE=3S，
∴BEEC=S△ABES△AEC=3S9S=13
故选：B．
过点O作BC的平行线交AC于点G，由中位线的知识可得出DG=GC，根据已知和平行线分线段成比例得出AD=DG=GC，AG：GC=2：1，AO：OE=2：1，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BE：EC的比．
本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．作DF//AE交BC于F，如图，利用OE//DF得到BEEF=BOOD=1，所以BE=EF，利用DF//AE得到EFFC=ADDC=
，所以CF=2EF，然后计算BE：EC．【解答】
解：作DF//AE交BC于F，如图，
∵OE//DF，
∴BEEF=BOOD=1，
即BE=EF，
∵DF//AE，
∴EFFC=ADDC=
，
∴CF=2EF，
∴BE：EC=BE：3BE=1：3．
故选B．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似，
故选：C．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形，三角形的外角性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积问题，熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．①根据相似三角形的判定定理即可证明△ABD∽△ACE；②根据三角形的外角性质可证明∠COD=135°，③根据A、C、B、O四点共圆，可证明AO⊥BD；④根据△AOC面积的最大时，底边AC对应的高最大为2 2+2，即可判断正误．
【解答】
解：如图：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，
∴AB=AD=4 2，AC=AE=4，
∴ABAC=ADAE=4 24= 2，
又∵旋转，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE；①正确；
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠COD=∠CBO+∠BCO
=∠CBA+∠ABD+∠BCO
=45°+∠ACE+∠BCO
=45°+∠ACB
=45°+90°
=135°；②正确；
由∠BOC=∠BAC=45∘，可知A、C、B、O四点共圆，
由圆内接四边形性质知∠BOA+∠BCA=180∘，
则∠BOA=90∘，即AO⊥BD．
故 ③正确;
以AC作△AOC底边，则O到AC距离为高，设高为h，
当h最大时，△AOC面积才最大．
∵A、C、B、O四点共圆，且∠BCA=90∘，
故AB为此圆直径，当h垂直AC通过圆心的时候，h最大，
此时h=2 2+2，
则△AOC面积的最大值为12×4×2 2+2=4 2+4，④错误，
正确的有3个，
故选C．
11.【答案】A
【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．由两角相等的两个三角形相似得出①②正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出④正确；即可得出结果．
【解答】
解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，①正确；
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，②正确；
∵∠A=∠A，ADAC=AEAB，
∴△ADE∽△ACB，④正确；
由AEAB=DEBC，或AC2=AD⋅AE不能证明△ADE与△ACB相似．
故选A．
12.【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
A、添加∠B=∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C=∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加ADAE=ABAC可利用两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
D、添加ACAE=CBED不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
根据∠1=∠2可得∠DAE=∠BAC，再结合相似三角形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：(1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
(3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
(4)两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
13.【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 ADAC=AEAB
【解析】【分析】由已知得到∠A是公共角，只需添加另一组角相等过夹角A的两条边成比例即可．
【详解】∵∠A=∠A，
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时， ADE ∽△ ACB ；
当 ADAC=AEAB 时， ADE ∽△ ACB ；
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 ADAC=AEAB ．
【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键．
14.【答案】 32
【解析】【分析】由平行线分线段成比例可得，BOOE=AOOF=21，OEEC=OFFD=12，得出BO=2OE，EC=2OE，从而BEEC=2OE+OE2OE=32．
【详解】∵AB//EF//CD，AO=2，OF=1，
∴BOOE=AOOF=21，
∴BO=2OE，
∵OEEC=OFFD=12，
∴EC=2OE，
∴BEEC=2OE+OE2OE=32；
故答案为：32．
15.【答案】78
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，过D作DG//BE，交AC于G，依据平行线分线段成比例定理，即可得到BD：CD=EG：GC，DF：AF=EG：AE，由此分别用EG表示出EC和AE，进而可得CEAE的值．
【解答】
解：如图所示，过D作DG//BE，交AC于G，
∴BD：DC=EG：CG=2：5，DF：AF=EG：AE=1：4，
即CG=52EG，AE=4EG，
∴EC=CG+EG=72EG，
∴CEAE=72EG4EG=78
16.【答案】12
【解析】解：作DH//BF交AC于点H，
∵DH//BF，AD是△ABC的中线，
∴CH=HF，
∵DH//BF，E是AD中点，
∴AF=FH，
∴AF=FH=HC，
∴AF：CF=1：2，
故答案为：12．
作DH//BF交AC于点H，根据平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理，进而得到AF=FH=HC，即可得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17.【答案】证明：(1)∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=30°，
∴∠DCB=120°=∠BOC，
又∵∠B=∠B，
∴△BOC∽△BCD；
(2)∵∠D=30°，DC= 3，∠OCD=90°，
∴DC= 3OC，DO=2OC，
∴OC=1=OB，DO=2，
∵∠B=∠D=30°，
∴DC=BC= 3，
∴△BCD的周长=CD+BC+DB= 3+ 3+2+1=3+2 3．
【解析】(1)由切线的性质可得∠OCD=90°，由外角的性质可得∠BOC=120°，由等腰三角形的性质得∠B=∠OCB=30°，从而可得∠B=∠D=30°，∠DCB=120°=∠BOC，可得结论；
(2)由直角三角形的性质可得OC=1=OB，DO=2，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定，切线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是关键．
18.【答案】解：▵FDB与▵FCD相似．
∵∠ACB=90∘，CD是▵ABC的高，
∴∠FBD=90∘+∠A，
∠FDC=90∘+∠FDB．
在Rt▵ACD中，
∵E是AC的中点，
∴ED=12AC=EA．
∴∠ADE=∠A．
又∠ADE=∠FDB，
∴∠FBD=∠FDC．
在▵FDB和▵FCD中，
∵∠BFD=∠DFC，∠FBD=∠FDC，
∴△FDB∽△FCD(两角分别相等的两个三角形相似)．
【解析】在▵FDB和▵FCD中，∠F是公共角，如果∠FBD=∠FDC(或∠FDB=∠FCD)，那么这两个三角形就相似．
19.【答案】解：(1)如图，点O即为所求．
(2)证明：连接OA、OA′、AA′、OB、OB′、BB′，
∵线段A′B′为线段AB绕点O逆时针旋转后的图形，
∴OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′．
∴OAOB=OA′OB′．
∴△OAA′∽△OBB′．
【解析】本题考查了相似三角形的判定、作图−复杂作图、旋转的性质，解决本题的关键是掌握作旋转中心的方法．
(1)找旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为所求；
(2)结合(1)根据相似三角形的判定方法即可证明．
20.【答案】(1)解：如图，令 4×4 的正方形顶点分别为 A ， H ， I ， K ，
由题意得 DE 为边长为1的小正方形的对角线，
∴∠DEI=45∘ ，
∴ ∠DEF=180∘−45∘=135∘ ，
∵ 由图可知， AC 是 Rt▵ACK 的斜边， AK=4,CK=2 ，
∴AC= CK2+AK2= 22+42=2 5 ．
(2)解：判断： ▵ABC∼▵DEF ，
解法一：
证明： ∵ BC 为边长为2的小正方形的对角线， DE 为边长为1的小正方形的对角线，
∴BC=2 2 ， DE= 2 ，
∵ 由图可得 DF 是 Rt▵DFI 的斜边， FI=3,DI=1 ，
∴DF= 1+32= 10 ，
又∵ AB=2 ,AC=2 5 ， EF=2 ，
∴ABDE=2 2= 2 , BCEF=2 22= 2 , ACDF=2 5 10= 2 ，
∴ ABDE=BCEF=ACDF ，
∴ ▵ABC∼▵DEF ．
解法二：
证明： ∵ BC 为边长为2的小正方形的对角线， DE 为边长为1的小正方形的对角线，
∴BC=2 2 ， DE= 2 ，
又 ∵ AB=2 ， EF=2 ，
∴ ABDE=2 2= 2 , BCEF=2 22= 2 ，
∴ ABDE=BCEF ，
∵ BC ， DE 都是正方形的对角线，
∴∠CBK=45∘,∠DEI=45∘ ，
∴ ∠ABC=∠DEF=180∘−45∘=135∘ ，
∴ ▵ABC∼▵DEF ．
【解析】【分析】本题考查了正方形对角线的性质，勾股定理解三角形及相似三角形的判定．
(1)根据正方形对角线性质，每条对角线平分一组对角，得到 ∠DEI 的度数，再根据邻补角定义即可得到 ∠DEF 的度数；利用勾股定理，即可求出 AC 的值，构造 Rt▵ACK 利用勾股定理，是解题关键；
(2)方法一：根据正方形对角线长度等于正方形边长的 2 倍，可求出对角线 BC ， DE 的值，然后通过构造 Rt▵DFI ，利用勾股定理可求出 DF 的值，由此即可得到 ▵ABC 和 ▵DEF 三边的值，根据相似三角形的判定“三边对应成比例，两三角形相似”，即可证得结论；方法二：同方法一先求出 BC ， DE 的值，由(1)可得到 ∠DEF 的值，同理可求出 ∠ABC 的值，已知 AB ， EF 的值，然后根据相似三角形判定“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，即可证得结论，熟练掌握以上相似三角形的判定是解题关键．
21.【答案】解：
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵DF=BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD//EF；
(2)∵四边形BEFD是平行四边形，
∴DF=BE=4，
∵DF//EC，
∴△DFG∽CEG，
∴DGCG=DFCE，
∴CE=DF·CGDG=4×32=6．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
(1)解答本题的关键是根据平行四边的判定与性质，即可证得BD//EF；
(2)解答本题的关键是根据相似三角形的判定与性质，可得DGCG=DFCE，由此即可求得CE的长度．
22.【答案】(1) △AOE ， ▵BOD ， ▵BCE (写出一个即可)
(2)证明见解析
【解析】【详解】(1)解： △AOE ， ▵BOD ， ▵BCE (写出一个即可)
(2) ▵AOE∽▵ACD
证明：∵ ▵ABC 的高AD，BE相交于点O，
∴ ∠AEO=∠ADC=90∘
∵ ∠OAE=∠CAD
∴ ▵AOE∽▵ACD
23.【答案】解：∵DF//BE，
∴AFFE=ADDB=32，
∵AF=9，
∴FE=6，
∵DE//BC，
∴AEEC=ADDB=32，
∵AE=AF+FE=15，
∴EC=10．
【解析】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据题中的给出的平行线列出比例式，本题属于基础题型.由DF//BE可知AFFE=ADDB=32，故可求出FE的值，由DE//BC可知AEEC=ADDB=32，故可求出EC的长度．
24.【答案】证明：∵∠EAC=∠DAB，
∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵ABAD=ACAE，
∴△ABC∽△ADE．
【解析】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定.根据相似三角形的判定即可求出答案．
25.【答案】解：(1)设经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2，
由题意得，AP=tcm，BQ=2tcm，则BP=(6−t)cm，
∵△PBQ的面积等于8cm2，
∴12×2t×(6−t)=8，
解得，t1=2，t2=4，
答：经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
(2)设经过m秒，△ABC与△PBQ相似，
当△ABC∽△PBQ时，ABPB=BCBQ，
即66−m=82m，
解得，m=125，
经检验，m=125是原方程的解，且符合题意；
当△ABC∽△QBP时，ABBQ=BCBP，
即62m=86−m，
解得，m=1811，
经检验，m=1811是原方程的解，且符合题意；
答：经过125秒或1811秒，△ABC与△PBQ相似．
【解析】(1)设经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2，分别表示出BP和BQ，建立方程求解即可；
(2)根据题意进行分类讨论即可．
本题考查一元二次方程的实际应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握求解方程及相似三角形的性质是解题关键．1
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