数学苏科版第6章 图形的相似6.7用相似三角形解决问题精品练习题

这是一份数学苏科版第6章 图形的相似6.7用相似三角形解决问题精品练习题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为( )
A. 3.85mB. 4.00mC. 4.40mD. 4.50m
2.某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为( )
A. 5.3米B. 4.8米C. 4.0米D. 2.7米
3.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.6m，则楼高CD是( )
A. 9.45m
B. 10.65m
C. 14.2mm
D. 16.8m
4.如图，小颖测量一棵树的树高，她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图)，她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请问树高是
( )
A. 3.25mB. 4.25mC. 4.45mD. 4.75m
5.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，
测得AB=1.2m，AC=14m，则建筑物CD的高是( )
A. 17.5mB. 17mC. 16.5mD. 18m
6.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为
( )
A. 90mB. 60mC. 45mD. 30m
7.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为
( )
A. 90mB. 60mC. 45mD. 30m
8.如图，在矩形ABCD中，AB= 3，BC=3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是( )
A. PGCG=13B. △PBC是等边三角形
C. AC=2APD. S△BGC=3S△AGP
9.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时OA=3OC，OB=3OD)，然后张开两脚．使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为
( )
A. 7.2cmB. 5.4cmC. 3.6cmD. 0.6cm
10.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为62.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为( )
A. 37.62mmB. 43mmC. 43.62mmD. 104.5mm
11.如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC=1m，已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，AC在地面的影长CM=4.5m，则AB高为米．( )
A. 3.5B. 2C. 1.5D. 2.5
12.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，则古井水面以上深度CD为( )
A. 4米B. 3米C. 3.2米D. 3.4米
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.已知点A，B，C，D的坐标如图所示，E是图中两条虚线的交点(DE⊥x轴).若△ABC和△ADE相似，则点E的坐标是 ．
14.天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度．数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1米，同一时刻，祈年殿的影长EF约为19米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE约为米 米．
15.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=20cm，EF=10cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=6m，则树高AB是 m．
16.如图，小亮同学跳起来把一个排球打在离他2米(即CO=2米)远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米(即AC=1.8米)，排球落地点离墙的距离是7米(即OD=7米)，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是___________米．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，道路l的正上方挂有一盏路灯M，把路灯M看成一个点光源，路灯M到道路l的距离MN为4.5m，晚上，一名身高为AB的小女孩沿着道路l散步，从A处径直向前走6m到达C处.已知小女孩在A处影子AE的长为2m，在C处影子CF的长为1m，求小女孩的身高．
18.(本小题8分)
如图，路灯(P点)距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部(O点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?
19.(本小题8分)
小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合(如图).设小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求这座建筑物的高度．
20.(本小题8分)
如图，直立在点B处的标杆AB长2.5m，站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶A、树顶C在一条直线上．已知BD=10m，FB=3m，EF=1.7m，求树高DC(精确到0.1m)
21.(本小题8分)
如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走；
④测得DE的长为6米．
根据他们的做法，回答下列问题：
(1)河的宽度是多少米？
(2)请你证明他们做法的正确性．
22.(本小题8分)
某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB.如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD=57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG=2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G在同一水平线上.请你求出凌霄塔的高度AB.(平面镜的大小厚度忽略不计)
23.(本小题8分)
小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上(路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上).这时小明测得FG长1.5米，路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆AB的高度．
24.(本小题8分)
学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB=2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上(人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上).已知BD=6米，FB=2米，EF=1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度．
25.(本小题8分)
如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米.请利用小明测量的数据算出电线杆AB的高．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】B
【解析】略
3.【答案】B
【解析】解：∵EB//CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ABAC=BECD，即1.61.6+12.6=1.2CD，
∴CD=10.65(米)．
故选：B．
先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得1.61.6+12.6=1.2CD，然后利用比例性质求出CD即可．
本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的应用，在解题时要能灵活应用已知条件求出这棵树全落在地面上时的影子的长是本题的关键．
根据题意，可得：树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56m，进行求解即可．
【解答】
解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为xm，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得CB：BD=1：0.8，而CB=1.2m，
∴BD=0.96m，
∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56m，
可得x：3.56=1：0.8，
∴x=4.45，
∴树高是4.45m．
故选C．
5.【答案】A
【解析】略
6.【答案】B
【解析】【分析】
求出△ABE和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
【解答】
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
∴△ABE∽△DCE，
∴ABDC=BECE，
即AB30=3015，
解得AB=60m．
故选B．
7.【答案】B
【解析】【分析】
求出△ABE和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
【解答】
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
∴△ABE∽△DCE，
∴ABDC=BECE，
即AB30=3015，
解得AB=60m．
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出∠ACB=30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明△BCP为等边三角形；运用射影定理求出线段CG、AG之间的数量关系，进而证明选项B、C、D成立，选项A不成立
该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；
解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
【解答】
解：如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°；由勾股定理得：
AC2=AB2+BC2，而AB= 3，BC=3，
∴AC=2 3，AB=12AC，
∴∠ACB=30°；由翻折变换的性质得：
BP⊥AC，∠ACB=∠ACP=30°，
BC=PC，AB=AP，BG=PG，
∴GC= 3BG= 3PG，∠BCP=60°，AC=2AP，
∴△BCP为等边三角形，
故选项B、C成立，选项A不成立；
由射影定理得：BG2=CG⋅AG，
∴AG= 33BG，CG=3AG，
∴S△BCG=3S△ABG；由题意得：
S△ABG=S△AGP，
∴S△BGC=3S△AGP，
故选项D正确；
故选：A．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了数形转化思想的应用．
首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的对应边成比例求解．
【解答】
解：∵OA=3OC，OB=3OD，
∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△COD，
∴OAOC=ABCD=31，
∴AB=3CD=3×1.8=5.4(cm)．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】解：由题意可得：△ADF∽△ABC，
当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为x mm，
5m=5000mm，3m=3000mm
62.75000=x3000，解得：x=37.62，
∴当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为37.62mm；
故选：A．
根据条件可得△ADF∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
11.【答案】B
【解析】解：∵BN//AM，
∴∠CBN=∠A，∠CNB=∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴CNCM=BCAC，
∴，
解得：AC=3(m)，
∴AB=AC−BC=3−1=2(m)，
故选：B．
阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AM仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度．
本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例即可解答．
12.【答案】B
【解析】由题意知AB/​/CD，
∴ABCD=AECE，
∵AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，
∴1CD=0.41.6−0.4，
解得CD=3米.故选B．
13.【答案】(4,−3)
【解析】 解：由△ABC∽△ADE，且DE⊥x轴，∴BC // DE，∴ABAD=BCDE，得DE=6．
∴点E的坐标为(4,−3)．
14.【答案】38
【解析】略
15.【答案】4.5
【解析】【分析】根据相似三角形的判定及性质可得 BC=3 ( m )，进而可求解．
【详解】解： ∵∠FED=∠BCD=90∘ ，且 ∠D=∠D ，
∴▵FED∽▵BCD ，
∴EFCB=DEDC ，即： 0.1CB=0.26 ，
解得： BC=3 ( m )，
∴AB=BC+AC=3+1.5=4.5 ( m )，
∴ 树高 AB 是 4.5m ，
故答案为： 4.5 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
16.【答案】6.3
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知条件得出相似三角形是解题的关键．依据题意可得∠AOC=∠BOD，通过说明ΔACO∼ΔBDO，得出比例式可求得结论．
【解答】
解：由题意得：∠AOC=∠BOD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO=∠BDO=90 ∘，
∴ΔACO∼ΔBDO，
∴ACBD=OCOD，
即1.8BD=27，
∴BD=6.3(米)．
故答案为：6.3．
17.【答案】解：∵小女孩的身高：小女孩的影长=路灯的高度：路灯的影长，
当小女孩在AB处时，Rt△ABE∽Rt△NME，即AB：NM=AE：NE，
当小女孩在CD处时，Rt△CDF∽Rt△NMF，即CD：NM=CF：NF，
∴CF：NF=AE：NE，
∴1CN+1=22+6−CN，
∴CN=2，
经检验：CN=2是原方程的根．
∵CD：NM=CF：NF，
即CD：4.5=1：3，
解得：AB=1.5．
答：小女孩的身高AB为1.5米．

【解析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握“在同一时刻物高与影长的比相等”是解题的关键．
18.【答案】如图．∵∠MAC=∠MOP=90∘，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP，∴MAMO=ACOP，即MA20+MA=1.59，解得MA=4.同理，由△NBD∽△NOP，可得NBNO=DBPO，即NB6+NB=1.59，解得NB=1.2，∴小云身影的长度变短了，变短了4−1.2=2.8(米)．

【解析】见答案
19.【答案】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，
故△ABC∽△EDC，
则ABED=BCDC，
∵小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，
∴AB1.65=603，
解得：AB=33，
答：这座建筑物的高度为33m．
【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ABED=BCDC，进而得出AB的长．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式是解题关键．
20.【答案】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB
∴四边形EFDH为矩形
∴EF=GB=DH=1.7，EG=FB=3，GH=BD=10，
∴AG=AB−GB=0.8
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG/​/CH，
∴△AEG∽△CEH
∴AGCH= EGEH
∵EH=EG+GH=13
∴CH=AG×EHEG≈3.5
∴CD=CH+HD=5.2
答：故树高DC为5.2米．
【解析】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用．
过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为矩形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知．
21.【答案】解：(1)由数学兴趣小组的做法可知，AB=DE，
故河宽为6米
(2)由题意知∠ABC=∠CDE=90°，BC=CD=20米
又∵光沿直线传播
∴∠ACB=∠ECD
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠CDEBC=CD∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=DE．
即他们的做法是正确的．
【解析】(1)根据全等三角形对应角相等可得AB=DE；
(2)利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
22.【答案】解：∵CD⊥BG，FG⊥BG，
∴∠CDE=∠FGE=90°，
∵∠CED=∠FEG，
∴△CDE∽△FGE，
∴CDDE=FGEG，
∵CD=4，FG=1.6，EG=2.4，
∴4DE=1.62.4，
解得：DE=6，
∵BD=57，
∴BE=BD+DE=57+6=63，
∵AB⊥BG，CD⊥BG，
∴∠ABE=∠CDE=90°，
∵∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABBE=CDDE，
即AB63=46，
解得：AB=42，
∴凌霄塔的高度AB为42米．
【解析】先证明△CDE∽△FGE，求出DE的长，再证明△ABE∽△CDE即可求出答案．
本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．
23.【答案】解：过点D作DM⊥AB于M，交EH于点N，
∵AE // BG，AB⊥BG，
∴AE⊥AB，
∵DM⊥AB，
∴AE // MD // BG，
∴AM等于△ADE的边AE上的高，
∵AB⊥BG，EH⊥BG，CD⊥BG，
∴AB // EH // CD，
∴AE=BH=3米，BM=CD=1.8米，
∵AE // BG，
∴△ADE∽△GDF，
∴AEGF=AMCD，
即31.5=AM1.8，
∴AM=3.6(米)，
∴AB=AM+BM=5.4(米)，
答：路灯主杆AB的高度为5.4米．

【解析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
过点D作DM⊥AB于M，交EH于点N，则AB // EH // CD，AE // MD // BG，从而得到△ADE∽△GDF，利用相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式可得AM的值，即可求解．
24.【答案】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF=GB=DH=1.7米，EG=FB=2米，GH=BD=6米，
∴AG=AB−GB=2.9−1.7=1.2(米)，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG/​/CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴AGCH=EGEH，
∴1.2CH=22+6，
解得：CH=4.8，
∴CD=CH+DH=4.8+1.7=6.5(米)，
答：树高CD为6.5米．
【解析】过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为长方形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知．
本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
25.【答案】解：过C点作CG⊥AB于点G，
∴GC=BD=3米，GB=CD=2米．
∵NF//AC，∴∠NFM=∠ACG，
又∵∠NMF=∠AGC=90∘，∴△NMF∽△AGC，
∴NMAG=MFGC，∴AG=NM⋅GCMF=1×30.5=6，
∴AB=AG+GB=6+2=8(米)．
故电线杆AB的高为8米．

【解析】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论．把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质求解可得．