初中数学苏科版九年级下册7.1 正切巩固练习

这是一份初中数学苏科版九年级下册7.1 正切巩固练习，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共4小题，共12分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是边AB、AD上的中点.若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC的值为
( )
A. 34B. 43C. 35D. 45
2.如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是( )
A. 0.9
B. 1.2
C. 1.5
D. 1.8
3.在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为
( )
A. 3B. 12C. 1010D. 3 1010
4.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于( )
A. 2 55B. 2 55C. 2D. 12
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，共21分）
5.如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG= ．
6.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ．
7.如图，半径为 3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB= ．
8.如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，过点P作直线交⊙O于C、D两点.若OA=3，PB=2，则tan∠PAC⋅tan∠PAD的值为 ．
9.如图，一次函数y=x-2的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C，若tan∠AOC=13，则k的值为________．
10.已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为______ ．
11.如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC中两条边的长，Rt△ABC中最小的角为∠A，那么tanA= ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4,-3)，该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求tan∠ABC．
13.(本小题8分)
如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD=BD．
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)已知tan∠ODC=247，AB=40，求⊙O的半径．
14.(本小题8分)
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点C为圆心，CB为半径作⊙C，D为⊙C上一点，连接AD、CD，AB=AD，AC平分∠BAD．
(1)求证：AD是⊙C的切线；
(2)延长AD、BC相交于点E，若S△EDC=2S△ABC，求tan∠BAC的值．
15.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点P在BC的延长线上，且∠BAC=2∠P．
(1)求证：直线AP是⊙O的切线；
(2)若BC=12，tanP=34，求⊙O的半径长及tan∠PAC的值．
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O在边BC上，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于点E，D为⊙O上一点，BD=BE．
(1)如图1，若AE=BE，求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)如图2，若OB=OC，BE=2AE，求tan∠CAD的值．
17.(本小题8分)
如图，在周长为36cm的△ABC中，AB=AC=13cm.求：
(1)tan∠ABC的值;
(2)∠BAC的正切值．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．
(1)求证：直线AB与⊙O相切；
(2)若AB=5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO=______．
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+4(k≠0)与x轴，y轴，交于A、B两点，点C是BO的中点且tan∠ABO=12
(1)求直线AC的解析式；
(2)若点M是直线AC的一点，当S△ABM=2S△AOC时，求点M的坐标．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=AC，D为AC的中点.求：
(1)tan∠BDC的值;
(2)∠ABD的正切值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：连接BD.根据三角形中位线的性质，得BD= 2EF=4，
再根据勾股定理的逆定理，得∠BDC=90∘，
从而在Rt△BDC中，tanC=BDCD=43．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BCE∽△CP'D．
点P在正方形边AD上运动，当P与点A或点D重合时，∠BPC最小，此时tan∠BPC的值也最小，此时tan∠BPC=tan45°=1；当P运动到AD中点时，∠BPC最大，此时tan∠BPC的值也最大，取AD中点P'，连接BP'，CP'，过点B作BE⊥CP'于点E，证明△BCE∽△CP'D，然后得到1≤tan∠BPC≤43，进而可以进行判断．
【解答】
解：点P在正方形边AD上运动，
当P与点A或点D重合时，∠BPC最小，此时tan∠BPC的值也最小，
此时tan∠BPC=tan45°=1；
当P运动到AD中点时，∠BPC最大，此时tan∠BPC的值也最大，
如图，取AD中点P'，连接BP'，CP'，过点B作BE⊥CP'于点E，
设正方形的边长为1，则AP'=DP'=12，
∴BP'= AB2+AP'2= 12+(12)2= 52，
同理CP'= CD2+DP'2= 12+(12)2= 52，
∵BE⊥CP'，
∴∠BEC=∠CDP'=90°，
∵∠BCE+∠DCP'=∠DCP'+∠CP'D=90°，
∴∠BCE=∠CP'D，
∴△BCE∽△CP'D，
∴BCCP'=BECD=CEDP'，
∴1 52=BE1=CE12，
∴BE=2 55，CE= 55，
∴P'E=CP'-CE= 52- 55=3 510，
∴tan∠BP'C=BEP'E=2 55×103 5=43，
∴1≤tan∠BPC≤43，
∴tan∠BPC的值可能是1.2，
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为BCAC=3，
故选A．
4.【答案】D
【解析】【试题解析】
【分析】
此题主要考查了圆周角定理(同弧或等弧所对的圆周角相等)和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
【解答】
解：∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DAB=tan∠DEB=12．
故选D．
5.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质和锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
连接CG，根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】
解：连接CG，
在正方形ACDE、BCFG中，∠ECD=∠GCF=45°，
∴∠ECG=90°，
设AC=2，BC=1，
∴CE=2 2，CG= 2，
∴tan∠GEC=CGEC=12，
故答案为：12．
6.【答案】12
【解析】略
7.【答案】 35
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义，属于中档题．
根据切线长定理得出∠OBC=∠OBA=12∠ABC=30°，求得BD，即可求得CD，再根据锐角三角形函数的定义，进行求解即可．
【解答】
解：连接OB，作OD⊥BC于D，
∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，
∴∠OBC=∠OBA=12∠ABC=30°，
∴tan∠OBC=ODBD，
∴BD=ODtan30∘= 3 33=3，
∴CD=BC-BD=8-3=5，
∴tan∠OCB=ODCD= 35．
故答案为 35．
8.【答案】14
【解析】略
9.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意设出点A的坐标，然后根据一次函数y=x-2的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A、B两点，可以求得a的值，进而求得k的值，本题得以解决．
【解答】
解：如图，过A作AD⊥x轴于D，
所以tan⁡∠AOC=ADOD=13，
所以可设点A的坐标为(3a,a)，
∵一次函数y=x-2的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A、B两点，
∴a=3a-2，得a=1，
∴1=k3，得k=3，
故答案为3．
10.【答案】2
【解析】解：令y=0，则-x2-2x+3=0，解得x=-3或1，不妨设A(-3,0)，B(1,0)，
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴顶点C(-1,4)，
如图所示，作CD⊥AB于D．
在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD=42=2，
故答案为：2．
先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD=CDAD即可计算．
本题考查二次函数与x轴交点坐标，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握求抛物线与x轴交点坐标的方法，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
11.【答案】13或 24
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数的定义，解一元二次方程，勾股定理等知识，解题时要注意分类讨论．
首先解方程得：x1= 1，x2=3进而利用大角对大边，小角对小边确定BC=1，把长边分为直角边和斜边进行讨论，求得AC的值，进而得出tanA的值．
【解答】
解：如图，
∵x2- 4x+3=0，
∴(x-1)(x-3)= 0
解得：x1=1，x2=3，
方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为∠A，
∵直角三角形斜边最长，
∴∠A所对的边BC最短，
∴1一定是直角边BC的长．
①当BC=1，AC=3，
tanA的值为：BCAC=13，
②当BC=1，BA=3，
∴AC= AB2-BC2=2 2，
∴tanA的值为：BCAC=12 2= 24．
故答案为13或 24．
12.【答案】解：(1)由题意可设抛物线解析式为：y=a(x-4)2-3，(a≠0)．
把A(1,0)代入，得0=a(1-4)2-3，
解得a=13．
故该二次函数解析式为y=13(x-4)2-3；
(2)令x=0，则y=13(0-4)2-3=73，则OC=73．
因为二次函数图象的顶点坐标为(4,-3)，A(1,0)，则点B与点A关于直线x=4对称，
所以B(7,0)．
所以OB=7．
所以tan∠ABC=OCOB=737=13，即tan∠ABC=13．
【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数关系式以及锐角三角函数．解题时，充分利用了二次函数图象的对称性质．
(1)由题意可设抛物线解析式为：y=a(x-4)2-3，将A(1,0)代入解析式来求出a的值即可．
(2)先求出点C的坐标，根据抛物线的对称性求出点B的坐标，从而得出OC，OB的长度，最后由锐角三角函数定义解答即可．
13.【答案】解：(1)直线CD与⊙O相切，
理由如下：如图，连接OC，
∵OA=OC，CD=BD，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠DCB，
∵∠AOB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ACO+∠DCB=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线，
∴直线CD与⊙O相切；
(2)∵tan∠ODC=247=OCCD，
∴设CD=7x=DB，OC=24x=OA，
∵∠OCD=90°，
∴OD= OC2+CD2= 49x2+576x2=25x，
∴OB=32x，
∵∠AOB=90°，
∴AB2=AO2+OB2，
∴1600=576x2+1024x2，
∴x=1，
∴OA=OC=24，
∴⊙O的半径为24．
【解析】(1)连接OC，由等腰三角形的性质可得∠A=∠ACO，∠B=∠DCB，由余角的性质可求∠OCD=90°，可得结论；
(2)由锐角三角函数可设CD=7x=DB，OC=24x=OA，在Rt△OCD中，由勾股定理可求OD=25x，在Rt△AOB中，由勾股定理可求x=1，即可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用参数列方程是解题的关键．
14.【答案】解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC．
又∵AB=AD，AC=AC，
∴△BAC≌△DAC(SAS)，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∴CD⊥AD，
即AD是⊙C的切线；
(2)由(1)可知，∠EDC=∠ABC=90°，
又∠E=∠E，
∴△EDC∽△EBA．
∵S△EDC=2S△ABC，且△BAC≌△DAC，
∴S△EDC：S△EBA=1：2，
∴DC：BA=1： 2．
∵DC=CB，
∴CB：BA=1： 2．
∴tan∠BAC=CBBA= 22．
【解析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，正切的定义，证明出△EDC∽△EBA是解题的关键．
(1)根据SAS证明△BAC≌△DAC，所以∠ADC=∠ABC=90°，进而CD⊥AD，所以AD是⊙C的切线；
(2)易证△EDC∽△EBA，因为S△EDC=2S△ABC，且△BAC≌△DAC，所以S△EDC：S△EBA=1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得：DC：BA=1： 2，根据正切的定义即可求出tan∠BAC的值．
15.【答案】(1)证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∵∠BAC=2∠P，
∴∠BAD=∠P，
∵∠BAD+∠B=90°，
∴∠P+∠B=90°，
∴∠BAP=180°-90°=90°，即AB⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线．
(2)解：过点C作CE⊥PA，垂足为E，
由(1)可得BD=CD=12BC=6，
∵tan∠P=34=tan∠BAD=BDAD，
∴AD=8，
∴AB= AD2+BD2=10，即⊙O的半径为5．
∵tan∠P=34=ABAP，AB=10，
∴PA=403，
∴PB= AB2+PA2=503，
∴PC=PB-BC=503-12=143，
∵CE/​/AB，
∵EAPA=BCBP=12503=1825，
∴AE=485，EC=35PC=145，
∴tan∠PAC=ECAE=724．
【解析】本题考查切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理以及平行线分线段成比例，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及圆周角定理是正确解答的前提．
(1)根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得AD是角平分线，进而得出∠B+∠P=90°，由三角形的内角和定理得出∠BAP=90°即可；
(2)由锐角三角函数可求出AB进而得出半径的值，求出EC，AE，由锐角三角函数的定义求出答案即可．
16.【答案】解：(1)连接CE，则CE=BE，
∴∠ECB=∠B，
∵弧BD=弧BE，∴∠BCD=∠ECB，∴∠BCD=∠B，
∴AB/​/CD，
又∵CD=CE=AE，∴AE//CD，AE=CD，
∴四边形ACDE是平行四边形；
(2)连接DE，设AE=2，BE=4，则AC2=AE⋅AB=2×6=12，
∴AC=2 3，∴BC=2 6，
设DE交BC于点H，AD交BC于点F，
由(1)知DE⊥BC，DH=EH，
又EHAC=BHBC=BEAB=23，∴BH=4 63，
∴CH=2 63，
∵EH=DH，∴DHAC=FHCF=23，
∴CF=35CH=35×2 63=2 65，
∴tan∠CAD=CFAC=2 652 3= 25．
【解析】本题考查平行线分线段成比例，垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
(1)连接CE，则CE=BE，证明AE/​/CD，AE=CD即可．
(2)连接DE，设AE=2，BE=4，则AE2=AE⋅AB=2×6=12，求出CF，AC即可解决问题．
17.【答案】解：(1)过点A作AH⊥BC，垂足为H．
∵△ABC的周长为36cm，AB=AC=13cm，
∴BC=10cm.
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=12BC=5cm．
∵在Rt△AHB中，AH= AB2-BH2=12cm，
∴tan∠ABC=AHBH=125 ；
(2)过点B作BD⊥AC，垂足为D．
∵BC⋅AH=AC⋅BD=2S△ABC，
∴BD=BC⋅AHAC = 12013cm．
∴在Rt△ADB中，AD= AB2-BD2=11913cm．
∴tan∠BAC=BDAD=12013÷11913=120119，
即∠BAC的正切值为120119．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识．
(1)过点A作AH⊥BC，垂足为H，求得BC，BH，再利用勾股定理求得AH，利用锐角三角函数的定义求得答案；
(2)过点B作BD⊥AC，垂足为D，利用三角形的面积求得BD，利用勾股定理求得AD，利用锐角三角函数的定义求得答案．
18.【答案】(1)证明：连接OB，如图所示：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠OCD，
∴∠ABC=∠OCD，
∵OD⊥AO，
∴∠COD=90°，
∴∠D+∠OCD=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠D，
∴∠OBD+∠ABC=90°，
即∠ABO=90°，
∴AB⊥OB，
∵点B在圆O上，
∴直线AB与⊙O相切；
(2)23．
【解析】【分析】
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握切线的判定方法和等腰三角形的性质是解题的关键．
(1)连接OB，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，∠OBD=∠D，证出∠OBD+∠ABC=90°，得出AB⊥OB，即可得出结论；
(2)由勾股定理得出OA= AB2+OB2=13，得出OC=OA-AC=8，再由三角函数定义即可得出结果．
【解答】
(1)见答案；
(2)解：∵∠ABO=90°，
∴OA= AB2+OB2= 52+122=13，
∵AC=AB=5，
∴OC=OA-AC=8，
∴tan∠BDO=OCOD=812=23，
故答案为：23．
19.【答案】解：(1)∵直线AB：y=kx+4(k≠0)与x轴，y轴，交于A、B两点
∴B(0,4)
∵tan∠ABO=12=AOBO
∴AO=2 即A(-2,0)
∵C是BO中点
∴C(0,2)
设直线AC的解析式：y=k1x+b
∴b=20=-2k1+b
解得：k1=1b=2
∴直线AC的解析式：y=x+2
(2)∵S△AOC=12×2×2=2，且C是OB中点
∴S△ABM=2S△AOC=4，S△ABC=2
设M(x,x+2)
①当M在C点右侧，
∵S△ABM=S△ABC+S△BCM
∴4=2+12×2×x
∴x=2
∴M(2,4)
②当M在点C左侧，
S△BCM=S△ABC+S△ABM
∴12×2×(-x)=2+4
∴x=-6
∴M(-6,-4)
∴M(2,4)或(-6,-4)
【解析】(1)根据题意先求B点坐标，且C是BO的中点可求C的坐标，根据三角函数求A点坐标，然后用待定系数法可求
(2)设出M的坐标，以BC为边，表示△BCM的面积，寻求△ABM，△ABC，△BCM的面积关系，分类讨论即可解决．
本题考查用待定系数法解决一次函数问题，以及分类思想，关键是直角坐标系中，把求不规则图形的面积问题转化成以x轴或y轴为边的规则图形面积问题．
20.【答案】解：(1) ∵D为AC的中点，
∴AC=2CD，
∵BC=AC，
∴BC=2CD，
∵∠C=90∘，
∴在Rt△BCD中， tan∠BDC=BCCD=2CDCD=2；
(2)过点D作DH⊥AB于点H，设DH=t(t>0)，
∵∠C=90∘，BC=AC，
∴∠A= ∠ABC=45∘，
∵∠DHA=90°，∴∠HDA=180°-∠DHA-∠A=45°=∠A，
∴在Rt△ADH中，AH=DH=t，
由勾股定理，得AD= t2+t2= 2t，
∵D为AC的中点，
∴AC=2AD=2 2t，
∴BC=2 2t，
∴在Rt△ACB中，AB= (2 2t)2+(2 2t)2=4t，
∴BH=AB-AH=3t，
∴在Rt△BHD中，tan∠ABD=DHBH=t3t=13，
即∠ABD的正切值为13．
【解析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．
(1)根据等腰三角形两腰相等和线段中点的定义，锐角三角函数的定义即可解答；
(2)过点D作DH⊥AB于点H，设DH=t，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，可得AB=4t，根据线段的和差，可得BH的长，根据锐角三角函数的定义，可得答案．