苏科版九年级下册7.4 由三角函数值求锐角精品巩固练习

这是一份苏科版九年级下册7.4 由三角函数值求锐角精品巩固练习，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共7小题，共21分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.Rt△ABC中，∠C=90∘，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a:b=3:4，运用计算器计算，∠A的度数为(精确到1∘) ( )
A. 30∘B. 37∘C. 38∘D. 39∘
2.锐角A满足csA=12，利用计算器求∠A时，依次按键.则计算器上显示的结果是( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘
3.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36∘18′，按键顺序正确的是( )
A. B.
C. D.
4.若用科学计算器计算tan35∘12′，按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42∘16′，按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算12sin52°，按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7.为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( )
A. SHIFT sin 0 . 2 5 =B. sin SHIFT 0 .2 5 =
C. sin 0 .2 5 =D. SHIFT cs 0 .2 5 =
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
8.如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，点B恰好落在AD边上，设此点为F.若AB︰BC=4︰5，则∠CFD≈ .(精确到1′)
9.已知 2+1是方程x2−(3tanθ)x+ 2=0的一个根，θ是三角形的一个内角，那么csθ的值为__________．
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=2 19，则∠A的大小为______(精确到0.1°)．
11.要把长为7 m的梯子上端放在距地面5 m高的阳台边沿上，则梯子摆放时与地面所成的角度约为 .(精确到1°)
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12.(本小题8分)
如图，秋千的长OA为3.5m，当秋千摆动到OA′位置时，点A′相对于最低点A升高了1m.求∠AOA′(精确到0.1°)．
13.(本小题8分)
如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．
(1)若E为BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AC=3CD，求∠A的大小．
14.(本小题8分)
根据下列三角函数值，求锐角A(精确到0.01∘)：
(1)csA=14；(2)tanA=2．
15.(本小题8分)
在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6.求∠B(精确到0.1∘).
16.(本小题8分)
一次函数y=kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且sin∠ABO= 32.△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为−3．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求图中阴影部分的面积．
17.(本小题8分)
在△ABC中，AD是边BC上的高，AD=2，AB=2 2，CD=2 3.求∠BAC的度数．
18.(本小题8分)
(1)通过计算(用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin 30°________2sin 15°cs15°；
②sin 36°________2sin 18°cs 18°；
③sin 45°________2sin 22.5°cs 22.5°；
④sin 60°________2sin 30°cs 30°；
⑤sin 80°________2sin 40°cs 40°；
⑥sin 90°________2sin 45°cs 45°．
猜想：当0°<α≤45°时，sin 2α与2sinαcsα的大小关系．
(2)如图，已知△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=2α.请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．
19.(本小题8分)
如图，直线y= 3x+ 3与两坐标轴分别交于A，B两点．
(1)求∠ABO的度数；
(2)过点A的直线l交x轴正半轴于C，AB=AC，求直线l的函数表达式．
20.(本小题8分)
如图，一段公路弯道呈圆弧形，测得弯道AB⌢两端的距离200m，AB⌢的半径为1000m.求弯道的长(精确到0.1m).
答案和解析
1.【答案】B
【解析】∵a:b=3:4，∴设a=3x，b=4x，由勾股定理知，c=5x，∴sinA=ac=35，运用计算器计算得∠A≈37∘.故选B．
2.【答案】C
【解析】∵csA=12，∴∠A=60∘.故选C．
3.【答案】D
【解析】根据科学计算器的使用方法，可知选D．
4.【答案】D
【解析】用科学计算器计算tan35∘12′，按键顺序正确的是.故选 D．
5.【答案】C
【解析】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42∘16′，按键顺序正确的是.故选C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了计算器−三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．
简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，即可得出答案．
【解答】
解：利用该型号计算器计算12sin52°，按键顺序正确的是：
故选：B．
7.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查了计算器的正确使用和三角函数，先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A.所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为SHIFT sin 0.25=
【解答】
解：sinA=BCAC=1040=0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为SHIFT sin 0 .2 5 =．
故选A．
8.【答案】53°8′
【解析】由折叠可知，CB=CF．
在矩形ABCD中，AB=CD，sin∠CFD=CDCF=ABBC=45，
∴∠CFD≈53°8′．
9.【答案】 22
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义及特殊三角函数值有关知识，将x= 2+1代入已知方程，列出关于tanθ的值，然后根据特殊角的三角形函数值求得θ的数值．最后根据锐角θ来求csθ的值
【解答】
解：∵ 2+1是方程x2−(3tanθ)x+=0的一个根，
∴x= 2+1满足方程x2−(3tanθ)x+=0，
∴( 2+1)2−(3tanθ)( 2+1)+ 2=0，
解得，tanθ=1．
∵θ是锐角，
∴θ=45°，
∴csθ= 22
故答案是 22．
10.【答案】23.5°
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=2 19，
∵csA=ACAB=82 19=0.917，
∴∠A=23.5°，
故答案为：23.5°．
依据csA=ACAB=82 19=0.917，即可得到∠A的大小．
本题主要考查了三角函数，用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
11.【答案】46°
【解析】解：如图，由题意得，AB=7，AC=5，∵sinB=
=
≈0.7143，∴∠B≈46°，
故答案为：46°．
12.【答案】解：∵秋千摆动到OA′位置时，点A′相对于最低点A升高了1m，
∴AB=1m，
∴OB=OA−AB=2.5m，
在Rt△A′BO中，cs∠O=OBOA′=，
∴∠AOA′≈44.4°．
【解析】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
易求OB的长，在直角三角形OBA′中，利用∠O的余弦值即可求出∠AOA′的度数．
13.【答案】(1)证明：连接OC，OE，如图，
∵OA=OC，
∴∠A=∠1，
∵AO=OB，E为BD的中点，
∴OE/​/AD，
∴∠1=∠3，∠A=∠2，
∴∠2=∠3，
在△COE与△BOE中，
{C=OB∠3=∠2OE=OE,
∴△COE≌△BOE，
∴∠OCE=∠OBE=90°，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AD，
∵AB⊥BD，
∴易证△ABC∽△BDC，
∴BCDC=ACBC，
∴BC2=AC·DC，
∵AC=3CD，
∴BC2=13AC2，
∴tanA=BCAC= 33，
∴∠A=30°．
【解析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，特殊角三角函数值，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)想要证明CE是⊙O的切线，证明∠OCE=90°即可，连接OC，OE，证明△COE≌△BOE，得到∠OCE=∠OBE=90°；
(2)证明△ABC∽△BDC，得到BCDC=ACBC，即BC2=AC·DC，根据AC=3CD，得到BC2=13AC2，tanA=BCAC= 33，即可得到∠A的度数．
14.【答案】解：(1)依次按键，
显示结果为75.52248781，即∠A≈75.52∘；
(2)依次按键，
显示结果为63.43494882，即∠A≈63.43∘．

【解析】见答案
15.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt▵ABD中，AB=4，BD=12BC=3，
则csB=BDAB=34．
用计算器计算，得∠B≈41.4∘．

【解析】见答案
16.【答案】解：(1)作MN⊥BO，
由垂径定理得：点N为OB的中点，
∴MN=12OA，
∵MN=3，
∴OA=6，即A(−6,0)，
∵sin∠ABO= 32，OA=6，
∴OB=2 3，
即B(0,2 3)，
设y=kx+b，将A、B带入得：y= 33x+2 3，
(2)NB=12OB= 3，MN=3，
tan∠BMN=BNMN= 33，则∠BMN=30°，
∴∠ABO=60°，
∴∠AMO=120°
∴阴影部分面积为S=120360π·(2 3)2− 34×(2 3)2=4π−3 3．
【解析】本题为一次函数综合运用题，主要考查了一次函数表达式和图形面积的求法，本题的关键是垂径定理的运用，题目难度不大．
(1)由垂径定理得：点N为OB的中点，MN=12OA，则OA=6，即A(−6,0)，而sin∠ABO= 32，OA=6，则B(0,2 3)，即可求解；
(2)NB=12OB= 3，MN=3，tan∠BMN=BNMN= 33，则∠BMN=30°，则∠ABO=60°，即∠AMO=120°，即可求解．
17.【答案】解：如图．
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC于D．
在直角三角形ABD中，∵∠ADB=90°，AD=2，AB=2 2，
cs∠BAD=ADAB= 22，
∴∠BAD=45°．
在直角三角形ACD中，∵∠ADB=90°，AD=2，CD=2 3，
∴tan∠CAD=CDAD=2 32= 3，
∴∠CAD=60°．
当AD在△ABC内部时，∠BAC=∠CAD+∠BAD=60°+45°=105°；
当AD在△ABC外部时，∠BAC=∠CAD−∠BAD=60°−45°=15°．
故∠BAC的度数为105°或15°．
【解析】本题考查了解直角三角形，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．
先由AD是BC边上的高得出AD⊥BC于D，再解直角三角形ABD得出∠BAD=45°，解直角三角形ACD，得出∠CAD=60°，然后分AD在△ABC内部与AD在△ABC外部两种情况分别求出∠BAC的度数．
18.【答案】解：(1)①～⑥都填“=”.sin2α=2sinαcsα．
(2)∵S△ABC=12AC⋅BE=12×1×sin 2α=12sin 2α，
S△ABC=12BC⋅AD=BD⋅AD=sin αcs α，
∴sin2α=2sinαcsα．

【解析】见答案
19.【答案】解：(1)对于直线y= 3x+ 3，
令x=0，则y= 3，
令y=0，则x=−1，
故点A的坐标为0, 3，点B的坐标为(−1,0)，
则AO= 3，BO=1，
在Rt△ABO中，
∵tan∠ABO=AOBO= 3，
∴∠ABO=60°；
(2)在△ABC中，
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴AO为BC的中垂线，
即BO=CO，
则C点的坐标为(1,0)，
设直线l的解析式为：y=kx+b(k,b为常数)，
则 3=b0=k+b,
解得：k=− 3b= 3,
即直线l的函数解析式为：y=− 3x+ 3．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，涉及了的知识点有：待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
(1)根据函数解析式求出点A、B的坐标，然后在Rt△ABO中，利用三角函数求出tan∠ABO的值，继而可求出∠ABO的度数；
(2)根据题意可得，AB=AC，AO⊥BC，可得AO为BC的中垂线，根据点B的坐标，得出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线l的函数解析式．
20.【答案】解：如图，作OC⊥AB，垂足为C，则OC平分∠AOB．
在Rt▵OCB中，BC=12AB=100m，OB=1000m，
所以sin∠BOC=110，
由计算器可知∠BOC≈5.74°，得∠AOB≈11.48°
所以弯道的长约为11.48×π×1000180≈200.3米.
【解析】见答案．AC
AB
5
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