苏科版九年级下册7.5 解直角三角形精品随堂练习题

这是一份苏科版九年级下册7.5 解直角三角形精品随堂练习题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是( )
A. 8，8，8B. 4，10，10C. 4，8，10D. 6，8，10
2.若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为
( )
A. 2B. 2 2C. 22D. 1
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=90°，∠BCD=120°，AB=2，CD=1，则AD的长为( )
A. 2 3−2
B. 3− 3
C. 4− 3
D. 2
4.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB=0.5，若AC=6，则BC的长为( )
A. 8B. 12C. 6 3D. 12 3
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，tan∠BCD= 33，AB=4 2，则S阴影=( )
A. 2π
B. 83π
C. 43π
D. 23π
6.如图，在△ABC中，∠A=15∘，AB=2，P为AC边上的一个动点(不与A、C重合)，连接BP，则 22AP+PB的最小值是( )
A. 2B. 3C. 62D. 2
7.如图的方格纸中，最小的正方形边长为1，△ABC的顶点在小正方形的顶点上，若△ABC的面积为10，且sin∠BAC= 55，则点C的位置可以在( )
A. 点C1处B. 点C2处C. 点C3处D. 点C4处
8.如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为( )
A. 45
B. 35
C. 34
D. 43
9.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E.连接AE交BD于点F，交CD于点G.FH⊥CD于点H，连接CF.有下列结论：①AF=CF；②CF2=EF⋅FG；③FG：EG=4：5；④cs∠GFH=3 2114，则上述结论中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.如图，在菱形ABCD中，AD=BD=3，AE分别交BC，BD于点E，F，CE=1，连接CF.给出以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2 3；③tan∠DCF=3 37：④△ABF的面积为9 35.其中错误的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
11.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，AD=4，CD=2，连结BD，则sin∠BCD的值为( )
A. 33
B. 55
C. 66
D. 1010
12.如图，⊙O的直径AB为3，点B为OD的中点，DC切⊙O于点C，则AC的长为( )
A. 2
B. 3
C. 32
D. 3 32
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，半径为4的扇形OAB中，∠O=60∘，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E落在AB⌒上时，CD= ．
14.如图，OC平分∠AOB，P是边OA上一点，以点P为圆心、大于点P到OB的距离为半径作弧，交OB于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧交于点D.作直线PD分别交OC、OB于点G、Q.若sin∠AOB= 32，OP=4 3，则△OPG的面积为______．
15.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则csB+sinB的值为________ ．
16.如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC/​/x轴，交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6，cs∠OAC=23，则k= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，tanA= 33，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD= 3，求AB的长．
18.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
(1)求证：DO/​/AC；
(2)求证：DE⋅DA=DC2；
(3)若tan∠CAD=12，求sin∠CDA的值．
19.(本小题8分)
如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD=4，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N.点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为MN的中点．
(1)求证：四边形ABEO为菱形；
(2)已知cs∠ABC=13，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．
20.(本小题8分)
如图，C、D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连接CD交AB于点E，G是AC上一点，∠ADC=∠G.
(1)求证：∠1=∠2;
(2)点C关于DG的对称点为F，连接CF，当点F落在直径AB上时，CF=10，tan∠1=25，求⊙O的半径．
21.(本小题8分)
如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，OD⊥AC于点G，交⊙O于点D，过点D作EF⊥AB，分别交BA，BC的延长线于点E，F．
(1)求证：EF是⊙O的切线．
(2)若AE=2，tanB=43，求⊙O的半径．
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF=AE．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若EF=12，cs∠BAC=35，求⊙O的半径．
23.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F．
(1)求证：∠BCD=∠BOE；
(2)若sin∠CAB=35，AB=10，求BD的长．
24.(本小题8分)
“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶.她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图.图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置的示意图.王红测得AD=90厘米，DE=30厘米，EC=40厘米.根据王红提供的信息解答下列问题：
(1)求点D′到BC的距离；
(2)求点E运动的距离．
25.(本小题8分)
如图是由边长为1的正方形构成的网格，每一个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)将线段AB绕A点顺时针旋转90°得到线段AC，连接BC；
(2)在BC上取一点D，使BD=12CD；
(3)在AB上取点E，若∠AEC=∠BED，请直接写出tan∠BCE=______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、∵△ABC是等边三角形，设O是外心，
∴BF=CF=4，AF⊥BC，BE平分∠ABC，
∴∠OBF=12∠ABC=30∘，
∴OB=BFcs30∘=432=833，
∴△ABC的外接圆的半径为833；
B、∵△ABC是等腰三角形，
过A作AD⊥BC于D，延长AD交⊙O于E，连接BE，
∵AB=AC=10，
∴AB⌒=AC⌒，BD=CD=12BC=2，
∴AE是⊙O的直径，AD=AB2−BD2=102−22=46，
∴∠ABE=∠ADB=90∘，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ADB∽△ABE，
∴ABAE=ADAB，
∴10AE=4610，
∴AE=2566，
∴外接圆半径为25612；
C、作AD⊥BC于点D，作直径AE，连接CE，
在Rt△ABD中，AB2−BD2=AD2，
在Rt△ACD中，AC2−CD2=AD2，
∴AB2−BD2=AC2−CD2，即42−BD2=82−(10−BD)2，
解得BD=135，
由勾股定理得，AD=AB2−BD2=2315，
∵AE为圆的直径，
∴∠ACE=90∘，
∴∠ADB=∠ACE，又∠B=∠E，
∴△ADB∽△ACE，
∴ABAE=ADAC，即4AE=23158，
解得AE=160231231，
则外接圆半径=80231231，
D、∵62+82=102，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为5，
∴其外接圆半径最小的是A选项，
故选：A.
分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】略
3.【答案】C
【解析】解：延长AD、BC交于E，
∵∠BCD=120°，
∴∠A=60°，
∵∠B=90°，
∴∠ADC=90°，∠E=30°，
在Rt△ABE中，AE=2AB=4，
在Rt△CDE中，DE=CDtan∠E= 3，
∴AD=AE−DE=4− 3，
故选：C．
延长AD、BC交于E，先利用直角三角形的性质求得AE的长，然后再求得DE的长，从而求得答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：在Rt△ACB中，
∵sinB=ACAB=6AB=0.5，
∴AB=12．
∴BC= AB2−AC2
= 144−36
=6 3．
故选：C．
根据锐角三角函数的边角间关系，先求出AB，再利用勾股定理求出BC．
本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：连接OC，设AB与CD交于点M，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴BC=BD，CM=MD，
∵tan∠BCD= 33，
∴∠BCD=30°，
∴∠BOD=2∠BCD=60°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴OM=BM，
∴△OMD≌BMC(SAS)，
∴S阴=S扇形OBD=60π×(2 2)2360=43π.
故选：C．
连接OC.证明OC/​/BD，推出S阴=S扇形OBD即可解决问题．
本题考查扇形的面积，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
6.【答案】B
【解析】如图，以AP为斜边向△ABC外作等腰直角三角形APD．∵cs∠APD=cs45∘=PDAP= 22，∴PD= 22AP，∴当D、P、B三点在同一直线上时， 22AP+PB=PD+PB取得最小值，为BD的长.在Rt△ABD中，∠D=90∘，AB=2，∠DAB=∠DAP+∠BAC=45∘+15∘=60∘，∴sin∠DAB=sin60∘=BDAB，∴BD= 32×2= 3.故选B．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB=5，△ABC的面积为10，
∴CD=4．
∴点C只能在点C1，C2处，
∵sinA= 55，即CDAC= 55，
∴AC=4 5，
∵AC1= 22+42=2 5，
AC2= 82+42=4 5，
∴点C在点C2处．
故选：B．
先利用△ABC的面积求出AB边上的高，得到点C只能在点C1，C2处，进而由sinA= 55求出AC的长度，再利用网格分别求出AC1，AC2的长的长度，比较即可找出点C所在的位置．
本题考查了解直角三角形、三角形的面积以及勾股定理，利用网格构造直角三角形，通过解直角三角形确定点C的位置是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由网格可知，BC=4，AC=3，
tanA=BCAC=43，
故选：D．
根据正弦函数的定义即可求解．
本题考查了锐角三角函数，利用网格的特点先求出斜边长，再求正弦值．
9.【答案】D
【解析】解：在菱形ABCD中，AD=DC，∠ADB=∠CDB，
又∵DF=DF，
∴△ADF≌△CDF(SAS)，
∴∠DAF=∠DCF，AF=CF，故①正确；
∵AD/​/BC，
∴∠DAF=∠FEC，
∴∠DCF=∠FEC，
又∵∠CFG=∠EFC，
∴∠CFG=∠CFG，
∴FCEF=FGFC，即FC2=EF⋅FG，故②正确；
在菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠DBC=∠BDC=12∠ABC=12∠ADC=30°，
又∵DE⊥BC，
在Rt△DCF中，∠CDE=30°，
∴CEDC=12，
在菱形ABCD中，CEAD=12,ADBE=23，
又∵AD/​/BC，
∴△ADF∽△BEF，
∴AFEF=ADBE=23，
∴FCEF=23
由②已证FC2=EF⋅FG，
设FC=2k，EF=3k，
∴FG=43k，EG=53k，
∴FG：EG=4：5，故③正确；
由③已知DFBF=ADBE=23，
设DF=2a，BF=3a，
∴BD=5a，
在Rt△BDE中，DE=12BD=52a，
在Rt△CDE中，CE= 33DE=5 36a，CD=2CE=5 33a，
在Rt△DFH中，FH=12FD=a，DH= 3FH= 3a，
∴CH=2 33a，
在Rt△FCH中，FC= FH2+CH2= 213a，
又由②③已证，FC2=EF⋅FG，FG：EG=4：5，
设FG=4m，EG=5m，则EF=9m，
∴4m⋅9m=( 213a)2，解得m=± 2118a(负值舍去)，
∴FG=2 219a，
∴cs∠GFH=FHFG=a2 219a=3 2114，故④正确，
故选：D．
利用菱形的性质和全等三角形的判定证明①，证明△FCE∽△FGC，从而证明②，由含30°直角三角形的性质和相似三角形的性质分析求解，从而证明③和④．
本题考查菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及解直角三角形，题目有一定难度，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=AD=BC=AB=6，AD//BC，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，BD=AB=6，
∵BD=CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠DBC=∠BDC=60°，
在△ABF和△CBF中，
BA=BC∠ABF=∠CBFBF=BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，所以①正确；
过E点作EH⊥AB于H点，如图，
∵∠ABE=∠ABD+∠DBC=120°，
∴∠EBH=60°，
∵CE=1，
∴BE=BC−CE=2，
在Rt△BEH中，
∵BH=12BE=1，
∴EH= 3BH= 3，
即点E到AB的距离是2 3，所以②不正确；
过F点作FQ⊥CD于Q点，如图，
∵BE/​/AD，
∴△DAF∽△BEF，
∴DFBF=ADBE=32，
∴DF=35BD=35×3=95，
在Rt△DFQ中，
∵∠FDQ=60°，
∴DQ=12DF=910，
∴FQ= 3DQ=9 310，
∴CQ=CD−DQ=3−910=2110，
在Rt△CFQ中，tan∠QCF=FQCQ=3 37，
即tan∠DCF=3 37，所以③正确；
∵DFBF=32，
∴BFBD=25，
∴S△ABF=25S△ABD=25× 34×32=9 310，所以④不正确．
故选：B．
先根据菱形的性质得CD=AD=BC=AB=6，则可得到△ABD和△BCD都为等边三角形，则∠DBC=∠BDC=60°，可根据“SAS”判断△ABF≌△CBF，从而可对①进行判断；过E点作EH⊥AB于H点，如图，由于∠EBH=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH= 3BH= 3，从而可对②进行判断；过F点作FQ⊥CD于Q点，如图，证明△DAF∽△BEF，利用相似比得到DFBF=32，则DF=95，接着计算出DQ=910，FQ= 24310，所以CQ=2110，然后利用正切的定义得到tan∠QCF=9 77，从而可对③进行判断；由于DFBF=32，根据三角形面积公式得到S△ABF=25S△ABD，然后根据等边三角形的面积公式可对④进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和解直角三角形．
11.【答案】D
【解析】解：设BC交AD于点I，作IE⊥AC于点E，则∠AEI=∠CEI=90°，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠CEI=∠BAC，∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠EIC=∠ABC=45°，
∴∠EIC=∠ECI=45°，
∴IE=CE，
∵∠AEI=∠ADC=90°，∠EAI=∠DAC，
∴△AEI∽△ADC，
∴AEAD=IECD，
∴AE=AD⋅IECD=4IE2=2IE=2CE，
∴2CE+CE= AD2+CD2= 42+22=2 5，
∵IE=CE=2 53，
∴AE=2×2 53=4 53，IC= IE2+CE2= (2 53)2+(2 53)2=2 103，
∴AI= AE2+IE2= (4 53)2+(2 53)2=103，
∵ID=AD−AI=4−103=23，
∴sin∠BCD=IDIC=232 103= 1010，
故选：D．
设BC交AD于点I，作IE⊥AC于点E，由∠BAC=90°，AB=AC，得∠ACB=∠ABC=45°，可证明∠EIC=∠ECI=45°，则IE=CE，再证明△AEI∽△ADC，得AEAD=IECD，可推导出AE=2IE=2CE，则2CE+CE= AD2+CD2=2 5，所以IE=CE=2 53，AE=4 53，由根据勾股定理可求得IC= IE2+CE2=2 103，AI= AE2+IE2=103，则ID=AD−AI=23，即可求得sin∠BCD=IDIC= 1010，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵点B为OD的中点，
∴OD=2OB，
∵AB=2OB，
∴OD=AB=3，
在Rt△DOC中，OD=2OC=3，
∴sinD=OCOD=12，
∴∠D=30°，
∴OC=12OD=32，DC= 3OC=3 32，∠DOC=90°−∠D=60°，
∴∠A=12∠DOC=30°，
∴∠D=∠A=30°，
∴DC=AC=3 32，
故选：D．
根据切线的性质可得∠OCD=90°，再根据线段的中点定义可得OD=2OB，从而可得OD=AB=3，然后在Rt△DOC中，利用锐角三角函数的定义可得sinD=12，从而可得∠D=30°，进而利用直角三角形的边角关系可得OC=32，DC=3 32，∠DOC=60°，最后利用圆周角定理可得∠A=30°，从而可得∠D=∠A=30°，从而利用等角对等边可得DC=AC=3 32，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．
13.【答案】4217
【解析】解：如图，连接OE.设OD=m.
∵CD⊥OB，
∴∠CDO=90∘，
∵∠COD=60∘，
∴∠OCD=90∘−60∘=30∘，
∴OC=2OD=2m，
在Rt△OCD中，∵sin∠COD=CDOC，
∴CD=sin60∘⋅2m
=32⋅2m
=3m，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=3m，∠DCE=60∘，
∴∠OCE=∠OCD+∠DCE=90∘，
∴OC2+CE2=OE2，
∴4m2+3m2=42，
∴m=477(负根已经舍去)，
∴CD=3m=4217.
故答案为：4217.
如图，连接OE.设OD=m.证明∠OCE=90∘，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】2 3
【解析】解：由作法得PD⊥OB于Q，
∴∠PQO=90°，
∵sin∠AOB= 32，
∴∠AOB=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠GOQ=12∠AOB=12×60°=30°，
在Rt△POQ中，OQ=12OP=2 3，
在Rt△GOQ中，
∴GQ= 33OQ=1，
∵OC平分∠AOB，
∴点G到OP边的距离=GQ=1，
∴S△OPG=12×OP×GQ=12×4 3×1=4 3，
故答案为：4 3．
利用基本作图得到∠PQO=90°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
15.【答案】75
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E.利用勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数定义即可得结论．
【解答】
解：如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E．
在Rt△ABE中，∠E=90°，AE=3，BE=4，
∴AB= AE2+BE2= 32+42=5，
∴csB=BEAB=45，sinB=AEAB=35，
∴csB+sinB=45+35=75，
故答案为75．
16.【答案】−83
【解析】解：作AE⊥x轴于E，
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3，
∵∠AOC=90°，cs∠OAC=23，
∴OAAC=23，
∵对角线AC/​/x轴，
∴∠AOE=∠OAC，
∵∠OEA=∠AOC=90°，
∴△OEA∽△AOC，
∴S△OEAS△AOC=(OAAC)2，
∴S△OEA3=49，
∴S△OEA=43，
∵S△OEA=12|k|，k<0，
∴k=−83．
故答案为：−83．
作AE⊥x轴于E，由矩形的面积可以求得△AOC的面积是3，然后通过证得△OEA∽△AOC，求得S△OEA=43，最后通过反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，反比例函数系数k的几何意义，求得△AOE的面积是解题的关键．
17.【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 33，
∴∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
又∵CD= 3，
∴BC=CDtan30∘=3，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=BCsin30∘=6．
答：AB的长为6．
【解析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
根据∠C=90°，tanA= 33，可求出∠A=30°，∠ABC=60°，再根据BD是∠ABC的平分线，求出∠CBD=∠ABD=30°，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可．
18.【答案】解：(1)因为点D是弧BC的中点，
所以∠CAD=∠BAD，即∠CAB=2∠BAD，
而∠BOD=2∠BAD，
所以∠CAB=∠BOD，
所以DO/​/AC；；
(2)∵CD=BD，
∴∠CAD=∠DCB，
又∠CDA=∠ADC，
∴△DCE∽△DAC，
∴CDAD=DECD，
∴CD2=DE⋅DA；
(3)∵tan∠CAD=12，连接BD，则BD=CD，
∠DBC=∠CAD，
∴Rt△DBE中，tan∠DBE=DEBD=DECD=12，
设DE=a，则CD=2a，
由CD2=DE⋅DA得AD=4a，AE=3a，
∴AEDE=3，
∵DO/​/AC，
∴△AEC∽△DEF，
故△AEC和△DEF的相似比为3，
设EF=k，则CE=3k，CF=4k，
又AC/​/DO，O为AB中点，
∴F为BC中点，则BC=8k，
Rt△ACE中，tan∠CAD=CEAC=12，CE=3k，∴AC=6k，
Rt△ABC中，AC=6k，BC=8k，
∴AB=10k，
∴sin∠CDA=sin∠CBA=ACAB=35．
【解析】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比例关系，进而求解．
(1)点D是BC中点，OD是圆的半径，又OD⊥BC，而AB是圆的直径，则∠ACB=90°，故AC/​/OD；
(2)证明△DCE∽△DAC，即可求解；
(3)先证明△DCE和△DAC的相似比为：12，设DE=a，则CD=2a，AD=4a，AE=3a，得AEDE=3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设EF=k，则CE=3k，BC=8k，tan∠CAD=12，则AC=6k，AB=10k，即可求解．
19.【答案】解：(1)证明：∵G为MN的中点，
∴∠MOG=∠MDN．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AO/​/BE，∠MDN+∠A=180°，
∴∠MOG+∠A=180°，
∴AB/​/OE，
∴四边形ABEO是平行四边形．
∵BO平分∠ABE，
∴∠ABO=∠OBE，
又∵∠OBE=∠AOB，
∴∠ABO=∠AOB，
∴AB=AO，
∴四边形ABEO为菱形；
(2)如图，过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AE交OB于点F，
则∠PAO=∠ABC，
设AB=AO=OE=x，则
∵cs∠ABC=13，
∴cs∠PAO=13，
∴PAAO=13，
∴PA=13x，
同理得EQ=13x，
∴OP=OQ=2 23x，
当AE与⊙O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F为切点，
在Rt△OBQ中，由勾股定理得：(43x)2+(2 23x)2=82，
解得：x=2 6(舍负)．
∴AB的长为2 6．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
(1)先由G为MN的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出∠MOG=∠MDN，再由平行四边形的性质得出AO/​/BE，∠MDN+∠A=180°，进而判定四边形ABEO是平行四边形，然后证明AB=AO，则可得结论；
(2)过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AB=AO=OE=x，则由cs∠ABC=13，可用含x的式子分别表示出PA、OP及OQ，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即可．
20.【答案】【小题1】
∵∠ADC=∠G，∴AC=AD．∵AB为⊙O的直径，∴ACB=ADB，∴BC=BD，∴∠1=∠2.
【小题2】
连接DF．∵BC=BD，AB是⊙O的直径，∴AB⊥CD，CE=DE，∴FD=FC=10．∵点C、F关于DG对称，∴DC=DF=10，∴DE=5．∵tan∠1=25，∴EB=DE⋅tan∠1=2．∵∠1=∠2，∴tan∠2=25，∴AE=DEtan∠2=252，∴AB=AE+EB=292，∴⊙O的半径为294．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
21.【答案】(1)证明：∵BC是⊙O的直径，
∴AB⊥AC，
∵EF⊥AB，
∴AC/​/EF，
∵OD⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：∵BC⊥AC，EF⊥AB，OD⊥AC，
∴∠EAG=∠E=∠AGD=90°，
∴四边形AGDE是矩形，
∴DG=AE=2，OD/​/AE，
∴OD=OG+DG=OG+2，
∵∠B=∠DOC，
∴tan∠DOC=CGOG=tanB=43，
设CG=4x，则OG=3x，
∴OC= CG2+OG2=5x，
∵OD=OG+2=3x+2，
∴3x+2=5x，
∴x=1，
∴OC=5x=5，
∴⊙O的半径为5．
【解析】(1)由圆周角定理得出BC⊥AC，由EF⊥AB，得AC/​/EF，由OD⊥AC，得OD⊥EF，即可得出结论；
(2)证明四边形AGDE是矩形，可得DG=AE=2，OD/​/AE，所以tan∠DOC=CGOG=tanB=43，设CG=4x，则OG=3x，OC=5x，然后列出方程即可解决问题．
此题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的性质，三角函数，等边三角形的判定与性质，弧长公式等知识；熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AE=AF，
∴∠F=∠CEA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CEA=90°，
∵AC=CD，
∴∠CAE=∠D=∠B，
∴∠B+∠F=90°，
∴FA⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴AF是⊙O的切线；
(2)解：∵AE=AF，∠ACB=90°，
∴CF=CE=12EF=6，
∵∠CAB=∠CEA，
∴sin∠CAB=sin∠CEA=45，
∴ACAE=45，
∴AC=45AE，
∴(45AE)2+62=AE2，
∴AE=10，
∴AC=8，
∵cs∠BAC=ACAB=35，
∴AC=35AB，
∴AB=403，
即⊙O的半径为203．
【解析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
(1)由AE=AF，AB是⊙O的直径，可以得出∠CAE+∠CEA=90°，再根据AC=CD，得出∠B+∠F=90°，从而得出∠FAB=90°即可；
(2)由锐角三角函数的定义得出ACAB=35，求出AE=10，AC=8，则可求出AB的长．
23.【答案】(1)证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∵OF⊥BC，
∴∠BEO=90°，
∴∠BOE+∠OBE=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠BCD=∠BOE；
(2)解：过B作BH⊥CD于H，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵sin∠CAB=BCAB=35，AB=10，
∴BC=6，
∵OF⊥BC，
∴AC/​/OF，
∴∠BOE=∠CAB，
∵∠BCD=∠BOE，
∴∠BAC=∠BCD，
∴sin∠CAB=sin∠DCB=BHBC=35，
∴BH=185，
∵OC⊥CD，BH⊥CD，
∴BH//OC，
∴△BDH∽△ODC，
∴BHOC=BDOD，
∴1855=BDBD+5，
解得BD=907，
故BD的长为907．
【解析】(1)连接OC，根据切线的性质得到∠OCD=90°，求得∠OCB+∠BCD=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠BCD=∠BOE；
(2)过B作BH⊥CD于H，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到BC=6，根据平行线的性质得到∠BOE=∠CAB，根据三角函数的定义得到BH=185，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图2，过点D′作D′H⊥AD于H，连接AE，AE′，由题意可知，D′E′=DE=30cm，AD′=AD=90cm，∠DAD′=∠EAE′=60°，
在Rt△AD′H中，AD′=90cm，∠HAD′=60°，
∴D′H= 32AD′=45 3(cm)，
∴点D′到BC的距离为D′H+DC=45 3+30+40=(70+45 3)cm，
答：点D′到BC的距离为(70+45 3)cm；
(2)在Rt△ADE中，AD=90cm，DE=30cm，
∴AE= AD2+DE2= 8100+900=30 10(cm)，
∴弧EE′的长为60π×30 10180=10 10π(cm)，
答：点E运动的距离为10 10π cm．
【解析】(1)通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及旋转的性质求出D′H即可；
(2)根据勾股定理求出AE的长，再根据弧长的计算方法求出弧EE′的长即可．
本题考查解直角三角形，弧长的计算，掌握直角三角形的边角关系以及弧长的计算方法是正确解答的关键．
25.【答案】13
【解析】解：(1)如图，△ABC即为所求；
(2)如图，点D即为所求；
(3)如图，点E即为所求．
tan∠ECB=tan∠ETB=BDBT−13，
故答案为：13．
(1)根据要求作出图形即可；
(2)利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
(3)作点C关于AB的对称点T，连接DT交AB于点E，点E即为所求，连接BT，根据∠ECB=∠ETB，求出tan∠ECB即可．
本题考查作图−旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．