广东省惠州市大亚湾区第一中学2023-2024学年高一上学期期中测试数学试题（解析版）

这是一份广东省惠州市大亚湾区第一中学2023-2024学年高一上学期期中测试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年11月28日
本试卷共8页，22题，满分150分．考试用时120分钟．
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出集合和，利用交集的定义直接求解即可.
【详解】，，
则，即为.
故选：.
2. “对任意，都有”的否定形式为（ ）
A. 对任意，都有B. 不存，都有
C. 存在，都有D. 存在，
【答案】D
【解析】
【分析】利用量词命题的否定求解即可.
【详解】因为量词命题的否定是改量词，否结论，
所以“对任意，都有”的否定形式为“存在，”.
故选：D.
3. 若，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【分析】
直接利用不等式的性质或赋值法即可求出结果.
【详解】解：A：由于，故，故选项A错误.
B：当时，，故选项B错误.
C：由于，所以，故选项C错误.
D：由于，所以，故选项D成立.
故选：D.
【点睛】本题考查利用不等式的性质推导不等关系，熟记不等式的性质以及赋值法的应用是解题的关键，属于基础题.
4. 已知函数满足．若，则（ ）
A. 2B. 1C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意知时，即得结果.
【详解】满足，且，则时，故.
故选：C.
5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像的特征，如函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式判断函数的符号，利用排除法选出答案.
【详解】由可知，当时，，故排除A；当时，，排除BD.
故选：C
6. 已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及偶函数的概念即得.
【详解】由幂函数的定义知，解得或．
又因为为偶函数，所以指数为偶数，故只有满足．
故选：D．
7. 已知，且，则有（ ）
A. 最大值B. 最小值C. 最大值D. 最小值
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得到，从而利用基本不等式即可求出的最大值.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：A
8. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由f(x)为奇函数可知，
＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
所以0点睛：解函数不等式：首先根据函数性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据一次函数和二次函数以及反比例函数的单调性即可判断.
【详解】由题意得在上单调递增，
对A，，根据一次函数性质知为单调减函数，故A错误；
对B，，根据反比例函数性质知在上单调递增，故B正确；
对C，，根据二次函数性质知在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对D，，当时，，则其在上单调递增，故D正确.
故选：BD.
10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的解集为或
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项.
【详解】由不等式和解集的形式可知，
，且方程的实数根为或，
那么，所以，
所以，且，故ABC正确；
不等式，
即，解得:,
所以不等式的解集为，故D错误.
故选：ABC
11. 设正实数满足，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最小值为2
C. 的最大值为1
D. 的最小值为2
【答案】CD
【解析】
【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误.
【详解】对于选项， ，
当且仅当且时，即，时取等号，则错误；
对于选项， ,当且仅当
时等号成立，则，即的最大值为2，则错误；
对于选项，，即，当且仅当时，等号成立，则正确；
对于选项， ，当且仅
当时，等号成立，则正确,
故选: .
12. 对于函数，下面几个结论中正确的是（ ）
A. 函数是奇函数B. 函数是偶函数
C. 函数的值域为D. 函数在上是增函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义判断AB，利用不等式的性质判断C，利用复合函数的单调性，结合奇函数的对称性判断D，从而得解.
【详解】因为的定义域是R，
又，所以是奇函数，故A正确，B错误；
因为，所以，故C正确；
因为函数在上可化为，
所以奇函数在上是增函数，且在处连续，
则在其定义域内是增函数，故D正确，
故选：ACD．
三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分）
13. 函数的定义域为__________.
【答案】且
【解析】
【分析】使分式分母不为零，二次根式的被开方式非负，解不等式组可得答案.
【详解】解：函数有意义，则，解得且，
故答案为： 且
【点睛】此题考查函数定义域的求法，属于基础题.
14. 设，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知分段函数表达式可看出在分段定义域上均为单调增函数,则可得或,分别讨论的值,利用求出的值即可.
【详解】解：由可得在分段定义域上函数均为单调增函数,
当,时,得,
由,,可得,解得;
当,解得无解.
故答案为:.
【点睛】本题考查了分段函数的应用,考查分类讨论思想以及计算能力,属于基础题.
15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，______．
【答案】
【解析】
【分析】根据当时，，结合时函数的解析式以及奇偶性即可得结果．
【详解】函数是定义在上的奇函数，
当时，，
则当时，，，
故，
故答案为：．
16. 定义，设函数，则_____________；的最大值为_____________.
【答案】 ①. 4 ②. 5
【解析】
【分析】画出在同一坐标系的图像，即可求解
【详解】函数表示取小
画出在同一坐标系的图像如图所示：
联立得
则的最大值为5，
故答案为4；5
【点睛】本题给出取最小值的函数min{a，b}，着重考查了分段函数的单调性和函数的最值及其几何意义等知识，属于中档题．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）当时，求集合B与；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解分式不等式求集合B，再由集合的交运算求.
（2）由题设可知，结合已知列不等式求参数a的范围.
【小问1详解】
由，则或，得．
当时，集合，
所以；
【小问2详解】
若“”是“”的充分不必要条件，则，又，
所以，解得，即实数a的取值范围是．
18. 如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
（1）求的解析式；
（2）指出的单调区间；
（3）直接写出的值域．
【答案】（1）
（2）单调增区间为：，；单调减区间为：
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法结合图象即可求出其解析式；
（2）根据图象即可得到其单调区间；
（3）根据图象即可得到其值域.
【小问1详解】
当时，设解析式为，由图象有，解得，
∴，当时，设解析式为．
∵图象过点，∴，解得，∴，
综上，函数在上的解析式为．
【小问2详解】
由图知单调增区间为：，；单调减区间为：．
【小问3详解】
由图可知，其值域为．
19. 已知函数，．
（1）当时，求的最值；
（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出函数对称轴，判断函数在上的单调性即可求出最值；
（2）根据函数对称轴不在区间内，列不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，，对称轴为，由于，
∴在上单调递减，在上单调递增．
∴的最小值是，又，，故的最大值是35.
【小问2详解】
由于函数的图像开口向上，对称轴是，所以要使在上是单调函数，应有或，即或.
20. 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
（1）求这次行车总费用关于的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．（最后结果保留2位小数，）
【答案】（1）
（2）千米/时，行车总费用最低，最低为元.
【解析】
【分析】（1）设此次行车总时间为t，则时，求得总油费和工资为，进而求得关于的表达式；
（2）由（1）中的表达式，利用基本不等式，即可求解.
小问1详解】
设此次行车总时间为t，则时，（其中）
故汽车总耗油，总油费（元），
司机工资为（元），
所以行车总费用（元），（其中）.
【小问2详解】
由（1）可得，
当时，即时，等号成立，
即千米/时，行车总费用最低，最低为元.
21. 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，且，求的最小值．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】
【分析】（1）由，对分类讨论，判断与的大小，确定不等式的解集.
（2）利用把用表示,代入表示为的函数，利用基本不等式可求.
【详解】解：（1）因为，所以，
由，得，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）因为，由已知，
可得，
∴，∵，∴，
∴，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，基本不等式的应用，考查分类讨论的思想，运算求解能力，属于中档题.
22. 函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）；
（2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知得，，经检验，求得函数的解析式；
（2）根据函数单调性的定义可证明；
（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.
【小问1详解】
解：由函数是定义在上的奇函数，得，解得，
经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，
又，解得，
故；
【小问2详解】
解：函数在上为增函数.证明如下：
在任取且，
则，
因，
所以，即，
所以在上为增函数.
【小问3详解】
解：因为为奇函数所以，
不等式可化为，即，
又在上是增函数，所以 ，解得
所以关于的不等式解集为.