湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高二上学期期中质量检测数学试题

这是一份湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高二上学期期中质量检测数学试题，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1．已知a,b∈R，若z1=a−i1+i与z2=b−3i是共轭复数，则a=（ ）
A．−7B．−4C．2D．5
2．设直线l的方程为x−ysinθ−2=0，则直线l的倾斜角α的范围是（ ）
A．0,πB．π4,π2
C．π4,3π4D．π4,π2∪π2,3π4
3．直线l1:ax+3y+a2−5=0，l2:x+(a−2)y+4=0，若两条直线平行，则实数a=（ ）
A．−1B．1C．3D．−1或3
4．若圆E:x2+y2=4与圆F:x2+y−a2=1仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A．3B．±1C．±3D．1
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：16=5+11.在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（ ）
A．12B．35C．710D．45
6．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体FE−ABCD的形状（如图②），若四边形ABCD是矩形，AB//EF，且AB=2EF=2BC=8，EA=ED=FB=FC=3，则三棱锥F−ADE的体积为（ ）
A．83B．3C．43D．163
7．如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，∠ABC=2π3，则折后直线AC与平面OEF所成角的正弦值为（ ）更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
A．77B．1111C．31313D．217
8．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱A1B1的中点，M,N分别是底面ABCD与侧面CDD1C1的中心，P为该正方体表面上的一个动点，且满足PM⊥BE，记点P的轨迹所在的平面为α，则过N,C,B1,C1四点的球面被平面α截得的圆的周长是（ ）
A．43πB．655πC．83πD．453π
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场
B．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，事件B为“向上的点数为奇数”，则A与B互为对立事件
C．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是950
D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率
10．在空间直角坐标系Oxyz中，点O(0,0,0)，A(−2,−1,1)，B(3,4,5)，下列结论正确的有（ ）
A．AB=35 B．向量OA与OB的夹角的余弦值为−36
C．点A关于z轴的对称点坐标为(−2,−1,−1) D．向量OA在OB上的投影向量为−110OB
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(−3,0),B(6,0)，点P满足PAPB=12．设点P的轨迹为C，则（ ）
A．轨迹C的方程为(x+3)2+y2=36
B．在x轴上存在异于A,B的两点D,E，使得PDPE=12
C．当A,B,P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线
D．在轨迹C上存在点M，使得MA⋅MO=2
12．如图，O是正四棱台ABCD−A1B1C1D1的底面中心，上底面边长是1，下底面边长是2，侧棱长是2，P是棱B1C1上的动点．下列选项中说法正确的是（ ）
A．将四棱锥O−A1B1C1D1翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥
B．平面OA1D1与平面OB1C1所成锐二面角的余弦值是1315
C．当PA⋅PC取得最大值时，三棱锥O−A1B1P的体积是1412
D．当PA⋅PC取得最小值时，二面角P−AB−C平面角的正切值是142
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知Ax,−3,5,B0,y,2,C2,7,−1三点共线，则x+y= ．
14．已知点P2cs10°,2sin10°，点Q(2cs50°,−2sin50°)，则直线PQ的倾斜角为 ．
15．如图所示，四边形ABCD为正方形，ABEF为矩形，且它们所在的平面互相垂直，AB=2BE=4，M为对角线AC上的一个定点，且3AM=MC，则M到直线BF的距离为 .
16．圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点3,2为圆心，2为半径的圆上取任意一点Px,y，若3x+4y+a+6−3x−4y的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 .
四、解答题（本题共6小题，共70分.）
17．（10分）已知△ABC的顶点A1,3，边AB上的中线CD所在直线方程为2x−3y+2=0，边AB上的高线CE所在直线方程为x−y+1=0.
(1)求边AC所在直线的方程；
(2)求点D到边AC的距离.
18．（12分）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3.

(1)证明：B2C2//A2D2；
(2)求D到平面A2C2D2的距离；
19．（12分）如图，圆x2+y2=4与x轴交于A、B两点，动直线l：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，与圆交于C、D两点．
(1)求CD中点M的轨迹方程；
(2)设直线AD、CB的斜率分别为k1、k2，是否存在实数k使得k1k2=2？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
20．（12分）古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,5050,60,⋯,90,100，得到如图所示的频数分布表．
(1)求频数分布表中a和b的值，并求样本成绩的中位数和平均数；
(2)已知落在50,60的分数的平均值为56，方差是7；落在60,70的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s2．
21．（12分）如图1，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=2π3,E为BC的中点，F为AB上一点，且EF⊥AB.将△BEF沿EF翻折到△B′EF的位置，如图2.

(1)当AB′=2时，证明：平面B′AE⊥平面ABC；
(2)已知二面角B′−EF−A的大小为π4，棱AC上是否存在点M，使得直线B′E与平面B′MF所成角的正弦值为1010？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.
22．（12分）已知两定点F1(4,0),F2(1,0)，动点N满足F1N=2F2N．
(1)求动点N的方程；
(2)如图，过点P(0,1)）且互相垂直的两条直线分别与圆O:x2+y2=4交于点A，B，与圆M:(x−2)2+(y−1)2=1交于点C，D，CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．样本分数段
40,50
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
频数
5
10
20
a
25
10
频率
0.05
0.1
0.2
b
0.25
0.1