数学选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时导学案

这是一份数学选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时导学案，共16页。


(1)传说中，古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
请同学们想一想，以上两组数有什么特征？
(2)某种树木的分枝生长规律如图所示，你能预计到第6年时，树木的分枝数是多少吗？
知识点1 数列的概念及一般形式
表示数列时不要漏写“{ }”，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母．
知识点2 数列的分类
若数列{an}满足a1[提示] 不一定，因为只有部分项满足大小关系，不能确定数列的单调性．
知识点3 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为：an＝f(n)．
知识点4 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表：
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，3，5，7，…，2n是无穷数列．( )
(2)－1，1，－1，1，…是一个摆动数列．( )
[答案] (1)× (2)√
[提示] (1)无穷数列末尾带有“…”．
(2)满足摆动数列的定义．
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．数列中能重复出现同一个数
B．1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C．1，1，1，1不是数列
D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
AD [由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1，1，1，1，故A正确，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确．]
3．若数列{an}的通项公式是an＝n2－1，则该数列的第10项a10＝________，224是该数列的第______项．
99 15 [a10＝102－1＝99．令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是该数列的第15项．]
4．根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式．
(1)2，4，6，8，…；
(2)2，4，8，16，…．
[解] (1)an＝2n(n∈N*)；(2)an＝2n(n∈N*)．
类型1 数列的概念与分类
【例1】 (1)(多选)以下四个数列中的递增数列是( )
A．1，12，14，18，…
B．sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…
C．－1，－12，－14，－18，…
D．1，2，3，…，21
(2)给出下列说法：
①数列中的项数一定是无限的；②数列1，3，2，6，3，9，…是递增的无穷数列；③数列12，14，16，18，…是递减的无穷数列．
其中正确说法的序号是________．
(1)CD (2)③ [(1)A是递减数列；B是摆动数列；CD是递增数列．
(2)对于①，错误，数列中的项数可以是有限的或无限的；对于②，错误，该数列是无穷数列，但不是递增数列；对于③，正确．]
数列的判定方法及其分类
(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；
(2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的．
[跟进训练]
1．给出下列数列：
①2015—2022年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；
②无穷多个3构成数列3，3，3，3，…；
③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…．
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
① ②③ ① ② ③ [①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]
类型2 根据数列的前几项求通项公式
【例2】 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)9，99，999，9 999，…；
(3)－14，29，－316，425，－536，…；
(4)1，2，1，2，1，2，…．
[解] (1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1．
(2)各项加上1后，数列变成10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an＝10n－1．
(3)数列的符号负正相间，可用(－1)n调整，分数的分子依次为自然数，而分母则是分子加上1后的平方，故可表示为nn+12，所以该数列的通项公式为an＝(－1)nnn+12．
(4)法一：可写成分段函数形式：
an＝1，n为奇数，n∈N*，2，n为偶数，n∈N*．
法二：an＝1+2+-1n+11-22＝3+-1n+1-12，
即an＝32＋-1n2．
根据数列的前几项求其通项公式的方法
据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
[跟进训练]
2．(源于人教B版教材)写出以下各数列{an}的一个通项公式．
(1)2，4，6，8，10，…；
(2)1，3，5，7，9，…；
(3)0，2，0，2，0，…；
(4)－23，415，－635，863，－1099，…．
[解] (1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an＝2n．
(2)因为这个数列每一项都比(1)中数列的对应项小1，因此数列的一个通项公式为an＝2n－1．
(3)因为数列的第1，3，5，…项都是0，而第2，4，…项都是2，因此它的一个通项公式为
an＝0，n为奇数，2，n为偶数．
(4)忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是2，4，6，8，10，…，其中每一个数都是序号的2倍；数列每一项的分母都是分子的平方减去1．又因为负号、正号是交替出现的，因此它的一个通项公式为an＝(－1)n2n4n2-1．
类型3 通项公式的应用
【例3】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n．
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)－49是不是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是不是该数列的一项呢？
[思路引导] (1)已知数列的通项公式，将n＝4，n＝6分别代入通项公式可求得a4和a6的值．
(2)假设－49与68是数列中的项．建立n的方程，求出结果观察n是否为正整数即可．
[解] (1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60．
(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝73(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝343，均不合题意，所以68不是该数列的项．
[母题探究]
(变结论)若本例中的条件不变，
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？
[解] (1)因为an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32．
(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－23(舍去)，所以20是该数列的第10项．
1．利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列中的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的项．
[跟进训练]
3．已知数列的通项公式为an＝4n2+3n．
(1)写出数列的前3项；
(2)110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？
[解] (1)数列的前3项：a1＝412+3×1＝1，a2＝422+3×2＝410＝25，a3＝432+3×3＝418＝29．
(2)令4n2+3n＝110，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，因为n∈N*，故n＝－8舍去．
所以110是数列的第5项．
令4n2+3n＝1627，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝32或n＝－92，
因为n∈N*，所以1627不是此数列中的项．
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，12，13，14，…
B．－1，－2，－3，－4
C．－1，－12，－14，－18，…
D．1，2，3，…，n
C [A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．]
2．有下列一列数：1，2，4，( )，16，32，…，按照规律，括号中的数应为( )
A．6 B．8
C．4 D．10
B [根据前三项和后两项的规律可知，从第二个数起，每个数与前一个数的比都是2，则括号中的数是8．]
3．(多选)下列叙述不正确的是( )
A．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B．1，3，1，3，…是常数列
C．数列0，1，2，3，…的通项公式为an＝n
D．数列{2n＋1}是递增数列
ABC [A中，1，3，5，7与7，5，3，1不是相同的数列，因为数列是有顺序排列的一列数；B中，明显不是常数列；C中，0，1，2，3，…的通项公式为an＝n－1；D中{2n＋1}是递增数列，故选ABC．]
4．已知数列{an}的通项公式an＝4n－1，则它的第7项是________，a2 022－a2 021＝__________，199是数列的第________项．
27 4 50 [a7＝4×7－1＝27，a2 022－a2 021＝(4×2 022－1)－(4×2 021－1)＝4．令4n－1＝199，解得n＝50．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)数列是怎样定义的？数列中的项具有什么特点？
[提示] 数列是按确定的顺序排列的一列数．数列中的项有三个特征：有序性、确定性和可重复性．
(2)你是如何对数列进行分类的？相等数列应具备什么条件？
[提示] 按项数可分为：有穷数列和无穷数列．
按项的变化趋势可以分为：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．
相等数列是指项数相等，对应项也相等的数列．
(3)所有数列都能写出它的通项公式吗？当数列确定后，它的通项公式唯一吗？你能否各举出1个例子？
[提示] 并不是所有数列都能写出通项公式，如π的近似值数列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，3.141 59，…．
当数列确定后，它的通项公式也不一定唯一．如数列1，－1，1，－1，1，－1，…，可以用
an＝1，n为奇数，-1，n为偶数，
也可以用an＝(－1)n+1，an＝sin 2n-1π2，an＝cs [(n－1)π]表示等．
课时分层作业(一) 数列的概念与简单表示法
一、选择题
1．已知数列的通项公式an＝3n+1，n为奇数，2n-2，n为偶数， 则a2a3等于 ( )
A．70 B．28
C．20 D．8
C [由an＝3n+1，n为奇数，2n-2，n为偶数，得a2a3＝2×10＝20．]
2．已知数列－1，14，－19，…，(－1)n1n2，…，则它的第5项为( )
A．15 B．－15
C．125 D．－125
D [易知数列的通项公式为an＝(－1)n1n2，当n＝5时，该项为(－1)5152＝－125．]
3．(多选)能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是( )
A．an＝1＋(－1)n+1 B．an＝1－(－1)n
C．an＝1＋(－1)n D．an＝1－cs nπ
ABD [经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C项不符合．]
4．若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
A [an＋1－an＝3n+1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．]
5．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是( )
A．an＝(－1)n2n B．an＝(－1)n+12n
C．an＝(－1)n2n D．an＝(－1)n+12n
B [根据题意，数列2，－4，6，－8，…，
其中a1＝1×2×1＝2，a2＝(－1)×2×2＝－4，a3＝1×2×3＝6，a4＝(－1)×2×4＝－8，
其通项公式可以为an＝(－1)n+1×2n．]
二、填空题
6．数列{an}中，若an＝n16-2n，则a4＝________．
2 [a4＝416-8＝2．]
7．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为an＝________．
n＋2 [经验证可知，它的一个通项公式为an＝n＋2．]
8．已知数列2，10，4，…，23n-1，…，则8是该数列的第________项．
11 [令23n-1＝8，解得n＝11，所以8是该数列的第11项．]
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)45，12，411，27，…；
(2)1，3，6，10，15，…；
(3)7，77，777，…．
[解] (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即45，48，411，414，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝43n+2．
(2)注意6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有an＝nn+12．
(3)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9，99，999，…，因而有an＝79(10n－1)．
10．(多选)已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3可以是( )
A．数列{an}中的第1项
B．数列{an}中的第2项
C．数列{an}中的第4项
D．数列{an}中的第6项
BD [由an＝n2－8n＋15＝3，得n2－8n＋12＝0，
解得n＝2或6．故应选BD．]
11．已知数列{an}的通项公式为an＝2n+1n，则数列{an}为( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定
B [∵an＝2＋1n，n∈N*，∴an＋1－an＝2n+1+1n+1－2n+1n＝-1nn+1<0，∴{an}是递减数列．]
12．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为ai，j，例如a4，3＝9，则a64，7等于( )
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……
A．2 020 B．2 021
C．2 022 D．2 023
D [根据题意，第1行第1列的数为1，此时a1，1＝1×1-12＋1＝1，第2行第1列的数为2，此时a2，1＝2×2-12＋1＝2，第3行第1列的数为4，此时a3，1＝3×3-12＋1＝4，据此分析可得：
第64行第1列的数为a64，1＝64×64-12＋1＝2 017，则a64，7＝2 023．]
13．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．
2 [∵a1=a+m=2，a2=a2+m=4，∴a2－a＝2，
∴a＝2或a＝－1，又a<0，∴a＝－1．
又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2．]
14．在数列{an}中，an＝－2n2＋9n＋3．
(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
(2)求数列中的最大项．
[解] (1)令an＝－107，－2n2＋9n＋3＝－107，即2n2－9n－110＝0，
解得n＝10或n＝－112(舍去)，所以a10＝－107．
(2)an＝－2n2＋9n＋3＝－2n-942＋1058，
由于n∈N*，所以最大项为a2＝13．
15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________．
2 n [因为OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi＋1，(i＝1，2，3，…)为直角三角形，∴OA2＝2，OA3＝3，OA4＝4＝2，依此类推可归纳为OAn＝an＝n．]
学习任务
1．借助实例了解数列的相关概念．(数学抽象)
2．理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的任意项．(逻辑推理)
3．理解数列与函数的关系，能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(数学运算、逻辑推理)
年份
1
2
3
4
5
6
分枝数
1
1
2
3
5
？
分类
类别
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
定义域
正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法