人教A版高中数学选择性必修第二册第4章4-1第2课时数列的通项公式与递推关系课时学案

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第2课时　数列的通项公式与递推关系观察下列钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型．自上而下：第1层钢管数为4，第2层钢管数为5，第3层钢管数为6，第4层钢管数为7，第5层钢管数为8，第6层钢管数为9，第7层钢管数为10．若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出各层的钢管数为一个数列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相邻两层的钢管数之间有没有关系？即an＋1与an有没有关系？知识点1　数列的递推公式(1)两个条件：①已知数列的首项(或前几项)；②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．知识点2　数列递推公式与通项公式的关系知识点3　数列{an}的前n项和(1)数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2．S1与a1是什么关系？S2呢？[提示]　由于S1表示数列的前1项的和，因此S1与a1相等，而S2表示数列的前2项的和，因此S2＝a1＋a2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)递推公式是表示数列的一种方法． (　　)(2)所有的数列都有递推公式． (　　)(3)利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×[提示]　(2)随机的一个数列就不一定有递推公式．(3)只能确定相邻两项间的关系但无法确定{an}．2．设数列{an}满足a1＝1，an＝1＋1an-1(n∈N*，n>1)，则a3＝________．32　[由已知，得a2＝1＋1a1＝2，a3＝1＋1a2＝32．]3．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝________．-1，n=1，2，n≥2　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－[2(n－1)－3]＝2，又a1＝S1＝2×1－3＝－1，故an＝-1，n=1，2，n≥2．] 类型1　由递推公式求数列中的项【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝anan+1构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．[解]　(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8．故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8．(2)∵bn＝anan+1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝a1a2＝12，b2＝a2a3＝23，b3＝a3a4＝35，b4＝a4a5＝58．故{bn}的前4项依次为b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58．　根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．[跟进训练]1．(源于人教B版教材)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．(1)1，2，4，7，11，…；(2)－1，2，5，8，11，…；(3)1，－2，4，－8，16，…．[解]　(1)因为a2－a1＝2－1＝1，a3－a2＝4－2＝2，a4－a3＝7－4＝3，a5－a4＝11－7＝4，所以an＋1－an＝n，即an＋1＝an＋n．从而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22．(2)因为a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝a5－a4＝3，所以an＋1－an＝3，即an＋1＝an＋3．从而a7＝a6＋3＝a5＋3＋3＝11＋6＝17．(3)因为a2a1＝a3a2＝a4a3＝a5a4＝－2，所以an+1an＝－2．即an＋1＝－2an．从而a7＝(－2)a6＝(－2)2a5＝(－2)2×16＝64． 类型2　由Sn求通项an【例2】　根据下列数列的前n项和Sn求通项an．(1)Sn＝2n2－n＋1；(2)Sn＝2·3n－2．[解]　(1)由Sn＝2n2－n＋1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]＝4n－3．当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3，∴an＝2，n=1，4n-3，n≥2．(2)由Sn＝2·3n－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－2－(2·3n-1－2)＝4·3n-1．当n＝1时，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4×31-1，∴an＝4·3n-1(n∈N*)．　由前n项和求通项公式的步骤(1)先利用a1＝S1，求出a1；(2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式；(3)注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an．[跟进训练]2．(1)数列{an}的前n项和Sn＝3n2，则an＝________．　(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n－5，那么它的通项公式是________．(1)6n－3　(2)an＝-2，n=1，4n-1，n≥2　[(1)①当n＝1时，a1＝S1＝3；②当n≥2时Sn－1＝3(n－1)2＝3n2－6n＋3，an＝Sn－Sn－1＝6n－3，当n＝1时上式也符合，所以an＝6n－3．(2)①当n＝1时，a1＝S1＝2＋1－5＝－2；②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n－5)－[2(n－1)2＋(n－1)－5]＝4n－1，当n＝1时，4n－1＝4－1＝3≠－2，综上，an＝-2，n=1，4n-1，n≥2．] 类型3　根据递推公式求通项【例3】　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＝an－1＋1nn-1，n∈N*且n≥2，求通项公式an；(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝1-1nan－1(n≥2)，求通项公式an．[思路引导]　(1)先将递推公式变形为an＋1－an＝1n－1n+1，再利用累加法求通项公式；(2)先将递推公式化为anan-1＝n-1n，再利用累乘法求通项公式．[解]　(1)由an－an－1＝1nn-1(n≥2)得，a2－a1＝11×2；a3－a2＝12×3；a4－a3＝13×4；…；an－an－1＝1n-1n．以上各式累加得，an－a1＝11×2＋12×3＋…＋1n-1n＝1-12＋12-13＋…＋1n-1-1n＝1－1n．∴an＋1＝1－1n，∴an＝－1n(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－1n(n∈N*)．(2)∵a1＝1，an＝1-1nan－1(n≥2)，∴anan-1＝n-1n，an＝anan-1×an-1an-2×an-2an-3×…×a3a2×a2a1×a1＝n-1n×n-2n-1×n-3n-2×…×23×12×1＝1n．又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝1n(n∈N*)．[母题探究](变条件)将本例条件变成“a1＝1，an＋1＝2anan+2”，求数列{an}的通项公式．[解]　由an＋1＝2anan+2，得1an+1＝1an＋12，即1an+1－1an＝12．又∵a1＝1，∴1an＝1an-1an-1＋1an-1-1an-2＋…＋1a2-1a1＋1a1＝12+12+…+12n-1项＋1＝n-12＋1＝n+12．又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝2n+1(n∈N*)．　1．由递推公式求通项公式常用的两种方法(1)累加法：当an＝an－1＋f (n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．(2)累乘法：当anan-1＝g(n)时，常用an＝anan-1·an-1an-2·…·a2a1·a1求通项公式．2．此类题在累加或累积时，常因忘记“n≥2”这个条件，而造成错把缺项的式子看成等式而失分．[跟进训练]3．已知数列{an}满足a1＝2，an＝an－1＋1n+1+n(n∈N*且n≥2)，求数列{an}的通项公式．[解]　因为an＝an－1＋1n+1+n(n≥2)，所以an－an－1＝1n+1+n＝n+1-n，所以a2－a1＝3-2，a3－a2＝4-3，…，an－an－1＝n+1-n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝n+1-2(n≥2)，所以an＝a1＋n+1-2＝n+1(n≥2)，所以an＝n+1(n≥2)，又a1＝2适合an＝n+1，故数列{an}的通项公式为an＝n+1．1．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是(　　)A．an＝an－1＋2(n≥2)B．an＝2an－1(n≥2)C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)C　[A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．故选C．]2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3，则a3＝________．5　[由Sn＝n2＋3可知a3＝S3－S2＝32＋3－(22＋3)＝5．]3．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．n　[由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－an－1＝1(n≥2)，以上各式相加，得an－a1＝1+1+…+1n-1个＝n－1，因为a1＝1，则an＝n(n≥2)，a1＝1也满足an＝n，所以数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*)．]4．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，则an＝________．1，n=1n2n-12，n≥2　[∵a1a2a3…an＝n2，∴n≥2时，a1a2a3…an－1＝(n－1)2，∴两式相除得an＝n2n-12，又∵a1＝12＝1，不适合an＝n2n-12，∴an＝1，n=1，n2n-12，n≥2．]回顾本节知识，自主完成以下问题：(1)数列的递推公式有什么特点？它与通项公式的区别是什么？[提示]　数列的递推公式是反映数列的相邻两项或多项之间的关系式，而通项公式是数列中的项与序号之间满足的函数关系式．(2)若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？[提示]　n≥2，n∈N*，而不能只是n∈N*，这是因为当n＝1时Sn－1＝S0，数列中S0无意义．(3)数列的递推关系满足什么特点时，可以用累加法和累积法求通项an?[提示]　①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累积法或迭代法．课时分层作业(二)　数列的通项公式与递推关系一、选择题1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9的值为(　　)A．15　　　B．17　　　C．49　　　D．64B　[由已知，a9＝S9－S8＝92－82＝17．]2．(多选)符合递推关系式an＝2an－1(n≥2且n∈N*)的数列是(　　)A．1，2，3，4，… B．1，2，2，22，…C．2，2，22，4，… D．0，2，2，22，…BC　[A不对，B、C经验证符合an＝2an－1，D中，因为首项为0，故不正确，故选BC．]3．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　)A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2B　[结合题图知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4．]4．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则这个数列的第4项是(　　)A．117 B．115C．2111 D．6B　[由an＋1＝2an＋1，a1＝1得，a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝53，a4＝2a3＋1＝115．故选B．]5．已知数列{an}，a1＝1，ln an＋1－ln an＝1，则数列{an}的通项公式是(　　)A．an＝n B．an＝1nC．an＝en-1 D．an＝1en-1C　[法一：由题意知ln an－ln an－1＝1，ln an－1－ln an－2＝1，…，ln a3－ln a2＝1，ln a2－ln a1＝1，以上各式累加得ln an－ln a1＝n－1，ln an＝n－1＋ln a1，又a1＝1，∴ln an＝n－1，∴an＝en-1．法二：由ln an－ln an－1＝1，得ln anan-1＝1，即anan-1＝e，故a2a1＝e，a3a2＝e，…，anan-1＝e，以上各式累乘得an＝en-1．]二、填空题6．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a7＝________．1　[由an＋1＝an＋an＋2知an＋2＝an＋1－an，又∵a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－2，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝1．]7．已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋n(n∈N*)，则S3＝________，数列{an}的通项公式an＝________．12　2n　[由Sn＝n2＋n，所以S3＝9＋3＝12．当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，得a1＝2成立，所以an＝2n．]8．已知数列{an}中，a1＝14，an＝1－1an-1(n≥2)，则a2 023的值是________．14　[数列{an}中，a1＝14，an＝1－1an-1(n≥2)，可得a2＝－3，a3＝43，a4＝14，所以数列{an}的周期为3，a2 023＝a674×3＋1＝a1＝14．]三、解答题9．已知数列{an}的前n项和Sn满足n＝log2(Sn-1)，求其通项公式an．[解]　根据条件可得Sn＝2n＋1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n-1－1＝2n-1(2－1)＝2n-1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3≠21-1，∴an＝3n=1，2n-1n≥2．10．数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝1+an2n为偶数，1an-1n为奇数，若an＝14，则n的值等于(　　)A．7 B．8C．9 D．10C　[因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝1a2＝12，a4＝1＋a2＝3，a5＝1a4＝13，a6＝1＋a3＝32，a7＝1a6＝23，a8＝1＋a4＝4，a9＝1a8＝14，所以n＝9．]11．在数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1a2a3…an＝n2，则a3＋a5等于(　　)A．259 B．2516C．6116 D．3115C　[由题意a1a2＝22，a1a2a3＝32，a1a2a3a4＝42，a1a2a3a4a5＝52，则a3＝3222＝94，a5＝5242＝2516．故a3＋a5＝6116．]12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，三角形数中蕴含一定的规律性，则第2 023个三角形数与第2 022个三角形数的差为________．2 023　[由条件可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，所以可推测a2 023－a2 022＝2 023．故应填2 023．]13．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－4，则a6＝________，an＝________．－12　－2n　[由条件知，a2＝a1＋a1＝－4，∴a1＝－2，a3＝a2＋a1＝－4－2＝－6，a4＝a3＋a1＝－8，a5＝a4＋a1＝－10，∴a6＝a5＋a1＝－12，依此类推可知an＝－2n．]14．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3anan+3(n∈N*)，求通项an．[解]　将an＋1＝3anan+3两边同时取倒数得，1an+1＝an+33an，则1an+1＝1an＋13，即1an+1－1an＝13，∴1a2－1a1＝13，1a3－1a2＝13，…，1an－1an-1＝13(n≥2)，把以上这(n－1)个式子累加，得1an－1a1＝n-13．∵a1＝1，∴an＝3n+2(n≥2)．又∵a1＝1满足an＝3n+2，∴an＝3n+2(n∈N*)．15．(多选)已知函数f (x)＝x+12，x≤12，2x-1，12