高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时学案及答案，共17页。


为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示．如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，且中区座位共有8排，第一排有4个座位，后面每一排都比它的前一排多4个座位．你能帮助这个公司算出共需要多少个座位吗？
知识点1 等差数列的前n项和公式及推导
注：等差数列的前n项和的公式是用倒序相加法推导的．
知识点2 等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．
(2)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S2n-1T2n-1．
(3)若等差数列{an}的项数为2n，则
S2n＝n(an＋an＋1)，
S偶－S奇＝nd，S偶S奇＝an+1an．
(4)若等差数列{an}的项数为2n－1，则
S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，
S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn-1．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．( )
(2)等差数列{an}的前n项和Sn＝na2+an-12．( )
(3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn．( )
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也是等差数列．( )
(5)在等差数列{an}中，S4，S8，S12，…成等差数列．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
[提示] (1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)正确．由a1＋an＝a2＋an－1可知其正确．
(3)错误．当公差为零时，Sn为一次函数．
2．(1)在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________．
(2)在等差数列{an}中 ，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝________．
(1)24 (2)3或－1 [(1)∵S10＝10a1+a102＝120，∴a1＋a10＝24．
(2)由题意得a1＋(n－1)×2＝11，①
Sn＝na1＋nn-12×2＝35，②
由①②解得a1＝3或－1．]
3．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，S2＝4，S4＝9，则S6＝________．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，也就是4，5，S6－9成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5，解得S6＝15．]
类型1 等差数列前n项和的有关计算
【例1】 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 021，S6－2S3＝18，则S2 023＝( )
A．－2 021 B．2 021
C．2 022 D．2 023
(2)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是( )
A．a7 B．a8
C．S15 D．S16
(1)D (2)BC [(1)设等差数列{an}的公差为d．
∵a1＝－2 021，S6－2S3＝18，
∴6a1＋6×52·d－6a1－2×3×22·d＝18，
整理可得9d＝18，解得d＝2．
则S2 023＝2 023×(－2 021)＋2 023×2 0222×2＝2 023．故选D．
(2)由a1＋a15＝2a8，a1＋a8＋a15为定值，可得a8是定值，S15＝12×15×(a1＋a15)＝15a8，故S15为定值，故选BC．]
等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值．
(2)利用等差数列的性质解题．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)(1)已知等差数列{an}的公差为2，且a20＝29，求这个等差数列前20项的和S20．
(2)求等差数列5，12，19，26，…，201，208的各项之和．
[解] (1)由等差数列的通项公式可得29＝a1＋19×2，由此可解得a1＝－9．因此S20＝20×-9+292＝200．
(2)可以看出，所求数列是公差为7的等差数列．
设共有n项，则208＝5＋(n－1)×7，解得n＝30．因此各项之和为30×5+2082＝3 195．
类型2 等差数列前n项和的性质及应用
【例2】 (1)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若S88－S66＝2，则S10等于( )
A．10 B．100 C．110 D．120
(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m．
(3)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn＝7n+2n+3，求a5b5的值．
[思路引导] 根据题目的条件，灵活的选择等差数列前n项和的性质解题．
(1)B [∵{an}是等差数列，a1＝1，
∴Snn也是等差数列且首项为S11＝1．
又S88－S66＝2，
∴Snn的公差是1，
∴S1010＝1＋(10－1)×1＝10，
∴S10＝100．]
(2)[解] 法一：在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，
∴S3m＝210．
法二：在等差数列中，Smm，S2m2m，S3m3m成等差数列，
所以2S2m2m＝Smm＋S3m3m．
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210．
(3)[解] a5b5＝12a1+a912b1+b9＝9a1+a929b1+b92＝S9T9＝7×9+29+3＝6512．
[母题探究]
(变结论)在本例(3)条件不变的情况下，求a5b7．
[解] 设Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt．
则a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，
b7＝T7－T6＝70t－54t＝16t．
∴a5b7＝65t16t＝6516．
等差数列前n项和计算的两种思维方法
(1)整体思路：利用公式Sn＝na1+an2，设法求出整体a1＋an，再代入求解．
(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用Snn是关于n的一次函数，设Snn＝an＋b(a≠0)进行计算．
(3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解．
[跟进训练]
2．(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝63，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．71
C．99 D．117
(2)等差数列{an}共有2n＋1项，其中a1＋a3＋…＋a2n＋1＝4，a2＋a4＋…＋a2n＝3，则n的值为( )
A．3 B．5
C．7 D．9
(1)C (2)A [(1)由等差数列{an}的前n项和性质，得S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，又因为S3＝9，S6＝63，
则解得S9＝162，
因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99．
(2)由a1＋a3＋…＋a2n＋1＝4，得(n＋1)an＋1＝4，由a2＋a4＋…＋a2n＝3，得nan＋1＝3，n+1an+1nan+1＝43，解得n＝3．]
类型3 求数列{|an|}的前n项和问题
【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝－32n2＋2052n，求数列{|an|}的前n项和Tn．
[思路引导] 先求出通项an，再确定数列中项的正负，去掉绝对值号，利用Sn求解．
[解] a1＝S1＝－32×12＋2052×1＝101，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104．
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．
由an＝－3n＋104≥0，得n≤3423．
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0．
(1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－32n2＋2052n．
(2)当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2-32×342+2052 ×34－-32n2+2052 n＝32n2－2052n＋3 502．
故Tn＝-32n2+2052n，n≤34且n∈N*，32n2-2052n+3 502，n≥35且n∈N*．
已知等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的步骤
(1)确定通项公式an；
(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号，即判断数列{an}是先负后正，还是先正后负；
(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，以直接利用数列{an}的前n项和公式；
(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式．
[跟进训练]
3．等差数列{an}的通项公式为an＝3n－23，求数列{|an|}的前n项和．
[解] 因为an＝3n－23，所以a1＝3×1－23＝－20，d＝an－an－1＝3n－23－3(n－1)＋23＝3．令3n－23≥0，得n≥233，所以当n≤7时，an<0；当n≥8时，an>0．
因此当n≤7时，Tn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－-20n+nn-1·32＝－32n2＋432n；
当n≥8时，Tn＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋a8＋…＋an＝－2(a1＋a2＋…＋a7)＋(a1＋a2＋…＋a7)＋a8＋…＋an＝32n2－432n＋154．
所以Tn＝-32n2+432 n，n≤7且n∈N*，32n2-432 n+154，n≥8且n∈N*．
1．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且Sn＝20，S2n＝80，则S3n＝( )
A．130 B．180 C．210 D．260
B [在等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，即20，60，S3n－80成等差数列．∴20＋(S3n－80)＝2×60．
∴S3n＝180．故选B．]
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．12
A [∵a5a3＝59，∴S9S5＝92a1+a952a1+a5＝9a55a3＝95×59＝1．故选A．]
3．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且a5b5＝23，则S9T9＝________．
23 [由等差数列前n项和的性质得a5b5＝S2×5-1T2×5-1＝S9T9＝23．]
4．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项和为________．
75 [因为an＝2n＋1，所以a1＝3．
所以Sn＝n3+2n+12＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2，
所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)等差数列的前n项和公式有几种形式？
[提示] Sn＝na1+an2＝na1＋nn-12d．另有Sn＝An2＋Bn形式．
(2)等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质的推理基础是什么？
[提示] 推理基础是等差数列的性质，如在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．
(3)常用的数列求和公式有哪些？
[提示] 1＋2＋3＋…＋n＝nn+12；
2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2．
高斯的故事
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根．幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育．1795—1798年在格丁根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位．从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世．
高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101……共有50对这样的数，用101乘以50得到5 050．这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了．
课时分层作业(五) 等差数列的前n项和公式
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若a2＋a3＝8，S5＝25，则该数列的公差为( )
A．－2 B．2
C．－3 D．3
B [由条件可得(a1＋d)＋(a1＋2d)＝8，且5a1＋5×42d＝25．解得d＝2．]
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a12＝a7＋6，则S11＝( )
A．99 B．33
C．198 D．66
D [因为a1＋a12＝a7＋6，所以a6＝6，则
S11＝11a1+a112＝11a6＝11×6＝66，故选D．]
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝20，S20＝15，则S30＝( )
A．10 B．20
C．－30 D．－15
D [由等差数列{an}的前n项和的性质可得：S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
∴2×(15－20)＝20＋S30－15，解得S30＝－15．故选D．]
4．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则下列正确的是( )
A．a1＝－2 B．a1＝2
C．d＝4 D．d＝－4
AC [因为a4+a5=2a1+7d=24，S6=6a1+15d=48，
所以a1=-2，d=4．]
5．已知等差数列{an}中，前m项(m为偶数)和为126，其中偶数项之和为69，且am－a1＝20，则数列{an}公差为( )
A．－4 B．4
C．6 D．－6
B [设数列{an}公差为d，由题意得等差数列{an}前m项中，奇数项之和为57，偶数项之和与奇数项之和的差为12，所以m2d＝12，即md＝24，又am－a1＝(m－1)d＝20，所以d＝md－20＝24－20＝4．故选B．]
二、填空题
6．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
27 [由a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为12的等差数列，故S9＝9a1＋9×9-12×12＝9＋18＝27．]
7．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知SnTn＝7nn+3，则a10b9+b12＋a11b8+b13＝________．
14023 [由等差数列的性质可得：a10b9+b12＋a11b8+b13＝a10+a11b9+b12＝S20T20＝7×2020+3＝14023．]
8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则d＝________，a5＝________．
－2 －1 [由题意知2a1+d=6a1+6×52d，a1+3d=1，
解得a1=7，d=-2，所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1．]
三、解答题
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50．
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n．
[解] (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d．
则a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，
解得a1=12，d=2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n．
(2)由Sn＝na1＋nn-12d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋nn-12×2，即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11．
10．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若S55－S33＝2，则a10的值为( )
A．18 B．19
C．20 D．21
B [设等差数列的公差为d，因为在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若S55－S33＝2，则5a1+a525－3a1+a323＝a1+a52－a1+a32＝d＝2，所以a10＝a1＋9d＝19．]
11．(多选)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn＝S13－n(n∈N*且n＜13)，有以下结论，则正确的结论为( )
A．S13＝0 B．a7＝0
C．{an}为递增数列 D．a13＝0
AB [对B，由题意，Sn＝S13－n，令n＝7有S7＝S6⇒S7－S6＝0⇒a7＝0，故B正确．对A，S13＝13a1+a132＝13a7＝0，故A正确．
对C，当an＝0时满足Sn＝S13－n＝0，故{an}为递增数列不一定正确，故C错误．
对D，由A，B项，可设当an＝7－n时满足Sn＝S13－n，
但a13＝－6，故D错误．
故AB正确．]
12．已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7∶6，则中间项为________．
29 [因为n为奇数，
所以S奇S偶＝n+1n-1＝76，解得n＝13，
所以S13＝13a7＝377，所以a7＝29．
故中间项为29．]
13．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 014，Sk＝S2 002，则正整数k为________．
2 023 [因为等差数列{an}的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数，所以由二次函数图象的对称性及S2 011＝S2 014，Sk＝S2 002，可得2 011+2 0142＝2 002+k2，解得k＝2 023．]
14．已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn．
[解] 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2＝16，S4＝24，得2a1+2×12d=16，4a1+4×32d=24，
即2a1+d=16，2a1+3d=12，解得a1=9，d=-2．
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．
由an≥0，解得n≤512，则
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n．
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×((-5^2 ) ＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝-n2+10n，n≤5且n∈N*，n2-10n+50，n≥6且n∈N*．
15．若数列{an}是正项数列，且a1+a2＋…＋an＝n2＋3n(n∈N*)，则an＝________，a12＋a23＋…＋ann+1＝________．
4(n＋1)2 2n2＋6n [令n＝1，得a1＝4，
∴a1＝16．
当n≥2时，a1+a2＋…＋an-1＝(n－1)2＋3(n－1)，这个等式与等式a1+a2＋…＋an＝n2＋3n左、右两边分别相减，得an＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2．
∴an＝4(n＋1)2．
又n＝1时，a1＝4(1＋1)2＝16，满足此式，
∴an＝4(n＋1)2(n∈N*)．
∴ann+1＝4n＋4，∴数列ann+1是首项为8，公差为4的等差数列，
∴a12＋a23＋…＋ann+1＝n8+4n+42＝2n2＋6n．]
学习任务
1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．(数学运算)
2．借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的关系．(数学运算)
3．掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用．(数学运算)
等差数列的前n项和公式
Sn＝na1+an2或Sn＝na1＋nn-12d
推导方法
倒序相加法
推导过程
设等差数列的前n项分别为a1，a2，a3，…，an－2，an－1，an，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－2＋an－1＋an，依等差数列的通项公式，得：
Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]．①
再把项的次序反过来，Sn又可以写成：
Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]．②
①②两边分别相加，得：
2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)＝n(a1＋an)，
∴Sn＝na1+an2