人教A版高中数学选择性必修第二册第4章探究课斐波那契数列的常见性质课时学案

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　斐波那契数列的常见性质1．数列的数学模型数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，且a1＝1，a2＝1，an－2＋an－1＝an(n≥3)．这个数列就是著名的“斐波那契数列”，而这个数列中的每一项称为“斐波那契数”．2．斐波那契数列的性质性质1：斐波那契数列的前n项的平方和：a12+a22+a32+…+an2＝anan＋1，即性质2：斐波那契数列的奇数项之和：a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n，即性质3：斐波那契数列的偶数项之和：a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－1，即性质4：斐波那契数列的前n项之和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋2－1，即性质5：连续三项斐波那契数后两项乘积与前两项乘积的差，是中间项的平方，即an＋1an－an－1an＝an2(n≥2)．【典例】　同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”．在斐波那契数列{an}中，a1＝1，a2＝1，an－2＋an－1＝an(n≥3)．若a2 026＝a，那么数列{an}的前2 024项的和为________．a－1　[由a1＝a1，a2＝a3－a1，a3＝a4－a2，a4＝a5－a3，…，a2 024＝a2 025－a2 023可得：a1＋a2＋a3＋…＋a2 024＝a2 024＋a2 025－a2＝a2 026－1＝a－1． 故数列{an}的前2 024项的和为a－1．]斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．那么a1＋a3＋a5＋…＋a2 025是斐波那契数列中的第________项．2 026　[由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2 025＝a2 026－a2 024，可得：a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝a2 026，故a1＋a3＋a5＋…＋a2 025是斐波那契数列中的第2 026项．]