人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-2-1基本初等函数的导数课时学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-2-1基本初等函数的导数课时学案，共15页。
5.2　导数的运算5.2.1　基本初等函数的导数高铁是一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f (t)＝2t2，求它的瞬时速度，即求f (t)的导数．根据导数的定义，就是求当Δt→0时，ΔsΔt所趋近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求导数．是否有更简便的求导数的方法呢？知识点1　几个常用函数的导数这6个函数都是幂函数f (x)＝xα，对它们的求导要熟练记住公式，就没必要再利用定义求导了．知识点2　基本初等函数的导数公式函数f (x)＝ln x与f (x)＝logax的求导有什么内在联系？[提示]　f (x)＝ln x时f ′(x)＝1x，而f (x)＝logax＝lnxlna，∴f ′(x)＝1lnalnx′＝1lna×(ln x)′＝1xlna．1．(多选)下列结论正确的是(　　)A．若y＝2 023，则y′＝0B．若y＝x，则y′＝1C．若y＝x-1，则y′＝－x-2D．若y＝x12，则y′＝12x12ABC　[由公式易知ABC正确．]2．已知函数f (x)＝cos 2π3，则f ′(x)＝(　　)A．sin 2π3　　 B．－sin 2π3C．cos 2π3 D．0D　[f (x)＝cos 2π3＝－12，所以f ′(x)＝0．] 类型1　利用导数公式求函数的导数【例1】　求下列函数的导数．(1)y＝cos π6；(2)y＝1x5；(3)y＝x2x；(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos π2-x．[解]　(1)∵y＝cos π6＝32，∴y′＝0．(2)∵y＝1x5＝x-5，∴y′＝－5x-6．(3)∵y＝x2x＝x2x12＝x32，∴y′＝32x12．(4)∵y＝lg x，∴y′＝1xln10．(5)∵y＝5x，∴y′＝5x ln 5．(6)y＝cos π2-x＝sin x，∴y′＝cos x．　求简单函数的导函数的基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[跟进训练]1．求下列函数的导数：(1)y＝x3x；(2)y＝xx(x＞0)；(3)y＝sin(π－x)．[解]　(1)∵y＝x3x＝x43，∴y′＝x43′＝43x13＝433x．(2)∵y＝xx＝x(x＞0)，∴y′＝(x)′＝12x(x>0)．(3)y＝sin (π－x)＝sin x，∴y′＝cos x． 类型2　利用导数公式解决切线问题【例2】　(源于人教B版教材)已知函数f (x)＝x2，而l是曲线y＝f (x)的切线，且l经过点(2，3)．(1)判断(2，3)是否是曲线y＝f (x)上的点；(2)求l的方程．[思路引导]　利用导数的几何意义求解，但要注意(2，3)点不在曲线上，应另设切点求解．[解]　(1)因为 f (2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f (x)上的点．(2)设切点为(x0，f (x0))．因为f ′(x)＝2x，所以切线的斜率为f ′(x0)＝2x0，又因为f (x0)＝x02，所以直线l的方程为y-x02＝2x0(x－x0)，将(2，3)代入上式并整理，可得x02－4x0＋3＝0，由此可解得x0＝1或x0＝3．因此，切点为(1，1)或(3，9)，切线方程为y－1＝2(x－1)或y－9＝6(x－3)．即l的方程为y＝2x－1或y＝6x－9．[母题探究]1．将本例变为“求曲线f (x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”处的切线方程．[解]　由题意f ′(x)＝－2x-3，所以曲线f (x)＝x-2在点(a，a-2)处的切线方程为y－a-2＝－2a-3·(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2．2．将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线”，试求k的值．[解]　设切点坐标为(x0，y0)，由题意得又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝1e．　利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．[跟进训练]2．(1)求曲线y＝x在点B(1，1)处的切线方程；(2)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程．[解]　(1)设所求切线的斜率为k．因为y′＝(x)′＝12x-12，k＝12，所以曲线y＝x在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝12(x－1)，即x－2y＋1＝0．(2)设切点坐标为(x0，y0)．因为y′＝1x，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，所以1x0＝4，得x0＝14，所以y0＝－ln 4，所以切点为14，-ln4，所以所求切线方程为y＋ln 4＝4x-14，即4x－y－1－ln 4＝0． 类型3　导数公式的实际应用【例3】　某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095)[解]　由题意得p′(t)＝1.1t ln 1.1，所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年．　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．[跟进训练]3．从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．[解]　由q＝cos t得q′＝－sin t，所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安．1．已知f (x)＝x2，则f ′(3)等于(　　)A．0 B．2xC．6 D．9C　[因为f (x)＝x2，所以f ′(x)＝2x，所以f ′(3)＝6．]2．下列结论正确的个数为(　　)①若y＝ln 2，则y′＝12；②若f (x)＝1x2，则f ′(3)＝－227；③若y＝2x，则y′＝x2x-1；④若y＝log2x，则y′＝1xln5．A．4 B．3C．2 D．1D　[由y＝ln 2得y′＝0，故①错误；对于f (x)＝1x2，f ′(x)＝－2x3，故f ′(3)＝－227，故②正确；对于y＝2x，则y′＝2x ln 2，故③错误；对于y＝log2x，则y′＝1xln2，故④错误．]3．曲线f (x)＝x3在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．3　[因为f (x)＝x3，所以f ′(x)＝3x2，所以在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝3．]4．函数y＝sin x＋ex在点(0，1)处的切线方程为________________．2x－y＋1＝0　[当x＝0时，y＝sin 0＋e0＝1，即点(0，1)在函数y＝sin x＋ex的曲线上．y＝sin x＋ex的导数y′＝cos x＋ex，在点(0，1)处的切线斜率为k＝cos 0＋e0＝2，即在点(0，1)处的切线方程为2x－y＋1＝0．]回顾本节知识，自主完成以下问题：(1)如何理解常见的几个幂函数的求导？[提示]　几个常见函数的求导，也包括根式函数的求导，都可以统一为f (x)＝xα(α∈R，且a≠0)时，f ′(x)＝αxα-1．(2)对于三角函数关系式，如何求导？[提示]　对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．(3)求函数“在”或“过”某点处的切线方程时，有什么策略？遵循什么步骤？[提示]　①求解以曲线上的点(x0，f (x0))为切点的切线方程的步骤：ⅰ．求出函数f (x)的导数f ′(x)；ⅱ．求切线的斜率f ′(x0)；ⅲ．写出切线方程y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)，并化简．②若已知点(x1，y1)不在曲线上，则先设切点为(x0，y0)，再解方程组y0=fx0y1-y0x1-x0=f'x0，得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．导数法研究圆的面积与周长的关系我们知道，圆周长l是圆的半径r的函数，即l＝2πr．你知道吗？利用前面我们学习过的导数知识，可以由圆的周长计算公式得到圆的面积计算公式！如图1所示，设半径为r时圆的面积为S，且半径增加Δr时，圆的面积增加ΔS．半径为r时圆的周长为2πr，而且当Δr很小时，ΔS近似地等于如图2所示的矩形的面积，因此ΔS≈2πrΔr，从而可知ΔSΔr≈2πr，令Δr→0，并注意到Δr越接近于0，近似程度越高，由此可知S′＝2πr．又由于(πr2)′＝2πr，可知(S－πr2)′＝0，然后根据只有常数的导数才能恒为0，以及半径为0时面积也应该为0可得S＝πr2．利用类似的方法可以解决很多能求出平均变化率的函数问题，例如由球的表面积计算公式得到球的体积计算公式等，请读者自行尝试．课时分层作业(十四)　基本初等函数的导数一、选择题1．函数y＝xe的导数是(　　)A．y′＝xe　　　　 B．y′＝exe-1C．y′＝exe D．y′＝ln xB　[由(xα)′＝αxα-1得，y′＝exe-1．]2．函数y＝3x在x＝2处的导数为(　　)A．9 B．6C．9ln 3 D．6ln 3C　[y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3．]3．若函数f (x)的导函数为偶函数，则f (x)的解析式可能是(　　)A．f (x)＝x2 B．f (x)＝cos xC．f (x)＝sin x D．f (x)＝exC　[对于A，f ′(x)＝2x，为奇函数；对于B，f ′(x)＝－sin x，为奇函数；对于C，f ′(x)＝cos x，为偶函数；对于D，f ′(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数．]4．已知函数f (x)＝1x的导函数为f ′(x)，若f ′(x1)