人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案设计，共13页。

1．理解充分条件、必要条件的概念．(数学抽象)
2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(数学抽象)
3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
我国战国时期所著《墨经》中有这样两句话：
(1)“有之则必然，无之则未必然”；
(2)“无之则必不然，有之则未必然”．
这两句话蕴含什么逻辑关系呢？这就是本节我们所要探讨的内容．
知识点 充分条件与必要条件
对充分、必要条件的理解
(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后．
(2)“ p是q的充分条件” “ q是p的必要条件” “ q的一个充分条件是p” “ p的一个必要条件是q”，这四种表述形式等价．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“两角相等”是“两角是对顶角”的必要条件．( )
(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．( )
(3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立．( )
(4)“x>1”是“x>0”的充分条件．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
类型1 充分条件的判断
【例1】 (源自苏教版教材)下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？
(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；
(3)p：同位角相等，q：两条直线平行；
(4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．
[解] (1)因为p⇒q，所以p是q的充分条件．
(2)因为pq，所以p不是q的充分条件．
(3)因为p⇒q，所以p是q的充分条件．
(4)因为p⇒q，所以p是q的充分条件．
充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．
(2)除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．
[跟进训练]
1．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有( )
A．若x＜1，则x＜2
B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C．若|x|≠1，则x≠1
D．若ab＞0，则a＞0，b＞0
ABC [由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a＝b＝－1，所以本选项不符合题意．故选ABC．]
类型2 必要条件的判断
【例2】 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若a是1的平方根，则a＝1；
(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12；
(3)若a是无理数，则a是无限不循环小数；
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．
[解] (1)1的平方根是±1，所以pq，所以q不是p的必要条件．
(2)因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2，所以m＝±12，所以pq，所以q不是p的必要条件．
(3)因为无理数是无限不循环小数，
所以p⇒q，所以q是p的必要条件．
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．
必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．
(2)可利用集合间的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．
[跟进训练]
2．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有( )
A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数
B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根
C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
D．若ab＝0，则a＝0
BCD [对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以都是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0⇒a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；对于C，因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，所以符合题意．故选BCD．]
类型3 充分条件与必要条件的应用
【例3】 已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围．
思路导引：若P的充分条件为Q 逻辑推理 判断P与Q的推出关系 数学运算 求实数m的取值范围
[解] 由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集．
当3m－2＞5m＋2，即m＜－2时，Q＝∅，满足题意，
当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时，由题意得3m-2>-2，5m+2<4， 解得0＜m＜25，
综上，m的取值范围是mm<-2或0[母题探究]
已知集合P＝{x|－2＜x＜1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围．
[解] 由题意得，P是Q的子集，
则3m-2≤-2，5m+2≥1， 解得－15≤m≤0．
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[跟进训练]
3．(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值；
(2)已知M＝{x|a－1[解] (1)解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，
令A＝{2，－3}，B＝-1m，
∵q是p的充分条件，
∴B⊆A．
当－1m＝2时，m＝－12；
当－1m＝－3时，m＝13．
所以m＝－12或m＝13．
(2)因为N是M的必要条件，
所以M⊆N．
于是a-1≥-3，a+1≤8， 从而可得－2≤a≤7．
故a的取值范围为－2≤a≤7．
1．若p是q的充分条件，则q是p的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
B [因为p是q的充分条件，所以p⇒q，
所以q是p的必要条件．故选B．]
2．若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是( )
A．0 B．2 C．4 D．16
B [由“x＝2”能得出“x2＝4”，选项B正确．]
3．设x∈R，则使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4B．x>0
C．x>2D．x<2
A [只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3．]
4．用符号“⇒”与“”填空：
(1)x2＝1________x＝1；
(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．
(1) (2)⇒ [(1)命题“若x2＝1，则x＝1”是假命题，故x2＝1x＝1．
(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若“p⇒q”是真命题，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
[提示] p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？
[提示] 不同．若p是q的充分条件，则p⇒q；若p的充分条件是q，则q⇒p．
3．充分条件、必要条件的主要判断方法有哪些？
[提示] 定义法和集合关系法．
课时分层作业(六) 充分条件与必要条件
一、选择题
1．命题“正方形的四条边都相等”中的条件是( )
A．正方形B．正方形的四条边
C．四条边D．四条边都相等
A [将命题改写成“若p，则q”的形式，“若四边形为正方形，则它的四条边都相等”，故选A．]
2．已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A⊆B的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
A [若A⊆B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时，有A⊆B，而A⊆B时，m不一定是1，故m＝1是A⊆B的充分条件，不是必要条件．]
3．(多选)如果命题“p⇒q”是真命题，那么下列说法一定正确的是( )
A．p是q的充分条件B．p是q的必要条件
C．q是p的必要条件 D．q是p的充分条件
AC [根据必要条件和充分条件的定义，p⇒q为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，所以AC正确．]
4．下列选项中p是q的必要条件的是( )
A．p：a＝1，q：|a|＝1
B．p：－1C．p：aD．p：a>b，q：a>b＋1
D [要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a>b＋1⇒p：a>b，故选D．]
5．(多选)使ab>0成立的充分条件是( )
A．a>0，b>0B．a＋b>0
C．a<0，b<0D．a>1，b>1
ACD [因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0，所以选项A，C，D都是使ab>0成立的充分条件．]
二、填空题
6．试从①x＝1；②x＝－1；③(x－1)(x＋1)(x－3)＝0中，选出适合下列条件者，用序号填空：
(1)x2＝1是________的充分条件；
(2)x2＝1是________的必要条件．
(1)③ (2)①或② [由x2＝1可得x＝±1，由(x－1)(x＋1)(x－3)＝0可得x＝±1或x＝3．
(1)∵{－1，1}{－1，1，3}，故x2＝1是③的充分条件；
(2)∵{－1}{－1，1}，{1}{－1，1}，则x2＝1是①或②的必要条件．]
7．下列说法正确的是________．(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2①③ [②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②错误；①③正确．]
8．已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x{a|a>2} [“B的充分条件是A”，即A是B的充分条件，得A⇒B，即A⊆B，得a>2．]
三、解答题
9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？
(1)若x>2，则x>1；
(2)若x－1＝x-1，则x＝1；
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等．
[解] (1)若x>2，则x>1成立，反之不成立，即p是q的充分条件．
(2)由x－1＝x-1得x＝1或x＝2，故p是q的必要条件．
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
10．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
A [因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A．
]
11．集合A＝{x|－1A．{b|－2≤b<0}B．{b|0C．{b|－2C [A＝{x|－1因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，
所以－1≤b－1<1或－112．(多选)下列式子：
①x<1；②0其中，可以是－1A．① B．② C．③ D．④
BCD [∵－113．设集合A＝{1，2}．
(1)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件；
(2)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件．
[答案] (1){1，2，3}(答案不唯一) (2){1}(答案不唯一)
14．(2022·浙江绿谷联盟月考)已知集合A＝{x|a－2(1)若a＝1，求A∪B，A∩(∁UB)；
(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围．
[解] (1)若a＝1，则A＝{x|－1∵B＝{x|0∴A∪B＝{x|－1∴A∩(∁UB)＝{x|－1(2)∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B，
①当A＝∅时，a－2≥2a＋1，解得a≤－3，
②当A≠∅时，a-2<2a+1，a-2≥0， 2a+1≤7， 解得2≤a≤3，
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－3或2≤a≤3}．
15．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？
[解] (1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，
则只要xx＜-m2⊆{x|x<－1，或x>3}，
即只需－m2≤－1，所以m≥2．
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1，或x>3}⊆xx＜-m2，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
pq
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件