高中数学1.5 全称量词与存在量词学案设计

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1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(数学抽象)
2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(数学抽象)
3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(逻辑推理)
学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000 名学生参加的开幕式团体操表演．这1 000名学生符合下列条件：
(1)所有学生都来自高二年级；
(2)至少有30名学生来自高二(一)班；
(3)每一个学生都有固定表演路线．
上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”，这些短语在逻辑上被称为什么？含有这些短语的命题被称作什么命题？
知识点1 全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．变量x的取值范围用M表示．那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．
有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
知识点2 存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为∃x∈M，p(x)．
1．下列命题中是全称量词命题的有________．(填序号)
①任意一个偶数都能被2整除；
②有的矩形是正方形；
③三角形的内角和是180°．
[答案] ①③
2．“任意一个实数的平方都大于等于0”用符号“∀”可表示为________．
∀x∈R，x2≥0 [命题“任意一个实数的平方都大于等于0”，用“∀”符号可以表示为∀x∈R，x2≥0．]
3．命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________．(填“全称量词”或“存在量词”)
[答案] 有些 存在量词
类型1 全称量词命题与存在量词命题的识别
【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题．
(1)对任意x∈{x|x>－1}，3x＋4>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(4)某个四边形不是平行四边形．
[解] (1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1}，3x＋4>0．
(2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．
(4)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
[跟进训练]
1．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________．(填序号)
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
①②③ ④ [①②③是全称量词命题；④是存在量词命题；⑤不是命题．]
类型2 全称量词命题与存在量词命题的真假
【例2】 (源自苏教版教材)判断下列命题的真假：
(1)∃x∈R，x2>x；
(2)∀x∈R，x2>x；
(3)∃x∈Q，x2－8＝0；
(4)∀x∈R，x2＋2>0．
[解] (1)因为当x＝2时，x2>x成立，所以，
“∃x∈R，x2>x”是真命题．
(2)因为当x＝0时，x2>x不成立，所以，
“∀x∈R，x2>x”是假命题．
(3)因为使x2－8＝0成立的x的值只有x＝22与x＝－22，但它们都不是有理数，所以，
“∃x∈Q，x2－8＝0”是假命题．
(4)因为对任意实数x，都有x2≥0，所以，
对任意实数x，都有x2＋2≥2>0，即
对任意实数x，都有x2＋2>0成立，因此，
“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
[跟进训练]
2．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．一切实数均有相反数
B．∃a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根
C．梯形的对角线相等
D．有些三角形不是等腰三角形
ABD [A为真命题；对于B，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于C，等腰梯形的对角线相等，故C错误；D为真命题．故选ABD．]
类型3 依据含量词命题的真假求参数的取值范围
【例3】 命题p：存在x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
思路导引：命题p为真命题 等价转换 方程ax2＋2x－1＝0有解．
[解] 当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；
当a≠0时，由题意可得若ax2＋2x－1＝0有实根，则Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0．
综上可得a≥－1．
即实数a的取值范围是aa≥-1．
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
[跟进训练]
3．已知M＝{x|a≤x≤a＋1}．
(1)“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；
(2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)∀x∈M，x＋1＞0是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1，
所以实数a的取值范围是a＞－1．
(2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2，
所以实数a的取值范围是a＞－2．
1．(多选)下列是全称量词的是( )
A．任意一个B．所有的
C．每一个D．很多
ABC [很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词．故选ABC．]
2．下列命题中是存在量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．任意一个负数都比零小
C．每一个正方形都是矩形
D．一定存在没有最大值的二次函数
D [D选项是存在量词命题．]
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
C [B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C．]
4．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________．
∃x<0，使(1＋x)(1－9x)>0 [“有些”是存在量词，所以命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”可表述为“∃x<0，使(1＋x)(1－9x)>0”．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．常见的全称量词有哪些？用符号怎么表示？
[提示] 全称量词有：“所有的”“任意一个”等，并用符号“∀”表示．
2．常见的存在量词有哪些？用符号怎么表示？
[提示] 存在量词有：“存在一个”“至少有一个”等，用符号“∃”表示．
3．全称量词命题如何用符号表述？存在量词命题呢？
[提示] 全称量词命题用符号简记为“∀x∈M，p(x)”；存在量词命题用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．
课时分层作业(八) 全称量词与存在量词
一、选择题
1．(多选)下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是( )
A．有一个x∈R，使得x2>3成立
B．对有些x∈R，使得x2>3成立
C．任选一个x∈R，都有x2>3成立
D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立
ABD [原命题为存在量词命题，A，B，D选项均为对应的存在量词命题，C为全称量词命题，故选ABD．]
2．下列命题中的假命题是( )
A．∃x∈R，|x|＝0B．∃x∈R，2x－10＝1
C．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R，x2＋1>0
C [当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．]
3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．{m|m≥1}B．{m|m＞1}
C．{m|m＜1}D．{m|m≤1}
B [命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1．]
4．(多选)(2022·山东师范大学附中月考)下列命题是全称量词命题且是真命题的是( )
A．所有的二次函数的图象都是轴对称图形
B．平行四边形的对角线相等
C．有些实数是无限不循环小数
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
AD [对于选项A，所有的二次函数图象都是抛物线，图象关于对称轴对称，故A是真命题；对于选项B，平行四边形的对角线不一定相等，故B是假命题；对于选项C，不是全称量词命题；对于选项D，由线段垂直平分线的性质可知D是真命题；故选AD．]
5．(多选)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，且P≠Q，则下列选项中正确的是( )
A．∀x∈Q，有x∈P
B．∃x∈Q，使得x∉P
C．∃x∈P，使得x∉Q
D．∀x∉Q，有x∉P
BD [由题意得P⊆Q且P≠Q．
对于A，B，∃x∈Q，使得x∉P，故A错误，B正确；
对于C，∀x∈P，有x∈Q，故C错误；
对于D，∀x∉Q，有x∉P，故D正确．故选BD．]
二、填空题
6．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．
存在量词命题 假 [命题p是存在量词命题，
因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式Δ＝22－4×5<0，即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．]
7．下列命题：
①对于一切x<0，都有|x|>x；
②不存在实数x，使x2＋x＋1<0；
③已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅．
其中，所有正确命题的序号为________．
①② [命题①显然为真命题；②由于对于∀x∈R，x2＋x＋1＝x+122＋34>0恒成立，故②为真命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，6∈(A∩B)，故③为假命题．]
8．若一次函数y＝kx＋2(x∈R)的图象恒过第三象限，则实数k的取值范围为________．
{k|k>0} [一次函数y＝kx＋2的图象过点(0，2)，若恒过第三象限，则k>0．]
三、解答题
9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后用符号表示，并判断真假．
(1)对任意实数a，b，若a>b，则1a<1b；
(2)有些实数a，b能使a-b＝a＋b成立．
[解] (1)全称量词命题．
用符号表示：∀a，b∈R，若a>b，则1a<1b；
当a＝1，b＝－1时，1a＝1，1b＝－1，则1a>1b，可知该命题为假命题．
(2)存在量词命题．
用符号表示：∃a，b∈R，a-b＝a＋b；
当a＝b＝0时，a-b＝a＋b，可知该命题为真命题．
10．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是( )
A．{a|a≥－3}B．{a|a>－3}
C．{a|a≤－3}D．{a|a<－3}
D [因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}．又因为对∀a∈M，都有a∉A，所以a<－3．故选D．]
11．(多选)(2022·江苏常州月考)命题“∀x<9，a≥x”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥9B．a>9
C．a≥10D．a≥8
BC [若命题“∀x<9，a≥x”是真命题，则a≥9，因此，命题“∀x<9，a≥x”是真命题的一个充分不必要条件是a>9、a≥10．故选BC．]
12．已知命题p：∃x≥－12，2x＋2－a＝0为真命题，则实数a的取值范围为________．
{a|a≥1} [因为p为真命题，即方程2x＋2－a＝0，在x≥－12范围内有实根，所以a＝2x＋2≥2×-12＋2＝1，
∴a≥1，即实数a的取值范围为{a|a≥1}．]
13．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________．
12，13(答案不唯一) [存在两个不相等的正数a，b，如a＝12，b＝13时，使得a－b＝ab是真命题．]
14．选择合适的量词(∀，∃)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题．
(1)x>2；
(2)x是偶数；
(3)若x是无理数，则x2是无理数；
(4)a2＋b2＝c2．(这是含有三个变量的语句，则用p(a，b，c)表示)
[解] (1)∃x∈R，x>2．
(2)∃x∈Z，x是偶数．
(3)∃x∈R，若x是无理数，则x2是无理数．
(4)∃a，b，c∈R，a2＋b2＝c2．
15．是否存在整数m，使得命题“∀x≥－14，－5<3－4m[解] 假设存在整数m，使得命题“∀x≥－14，－5<3－4m因为当x≥－14时，x＋1≥34，
所以－5<3－4m<34，解得916又m为整数，
所以m＝1，
故存在整数m＝1，使得命题“∀x≥－14，－5<3－4m