人教A版高中数学必修第一册第3章3-1-2第2课时分段函数课时学案

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第2课时　分段函数1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(数学抽象、数学运算)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(数学建模)国家电网依据不同的时间段来收取电费：一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些．反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税问题等．这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴．知识点　分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，有不同的对应关系，则称其为分段函数．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)分段函数由几个函数构成． (　　)(2)分段函数有多个定义域． (　　)(3)分段函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线． (　　)(4)函数f (x)＝|x|可以用分段函数表示． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 类型1　分段函数的求值问题【例1】　已知函数f (x)＝x+1，x≤-2，　　　3x+5，-2－2，不符合题意，舍去；当－22x，求x的取值范围．[解]　当x≤－2时，f (x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－22x可化为2x－1>2x，则x∈∅．综上可得，x的取值范围是(－∞，2)．　1．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．[跟进训练]1．(多选)(2022·广东石门高级中学月考)已知函数f (x)＝x+2，x≤-1，　x2，-1100时，月电费＝100 kW·h的电费＋超过100 kW·h部分的电费，可得y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93．所以y＝0.57x，x∈0，100，　　　1.5x-93，x∈100，+∞．(2)由(1)可知，当电费不超过57元时，说明月用电量不超过100 kW·h；当电费超过57元时，说明月用电量超过100 kW·h．因此用电量应使用函数的不同关系式来计算．因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即1.5x－93＝114，1.5x－93＝75，分别算出1月份用电138 kW·h，2月份用电112 kW·h；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，有0.57x＝45.6，算出3月份用电80 kW·h．因此，小赵家第一季度共用电330 kW·h．　分段函数的建模(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．[跟进训练]3．某市出租车的收费标准如下表：(1)设里程为x公里时乘车费用为y元，请根据题意完善下列解题过程：①当08时，y＝________．综上，y关于x的函数关系式是y＝________，08．　　 (2)若计价器中显示的里程数为5公里，问乘客需支付多少费用？(3)若某乘客支付了32元的费用，问该乘客的乘车里程是多少公里？[解]　(1)根据收费标准列式，可得：当08时，y＝10＋(8－3)×2＋3(x－8)＝3x－4，所以y＝10，08　　　(2)由(1)知x＝5时，y＝2×5＋4＝14．(3)由函数式知x>3时，y随x的增大而增大，而2×8＋4＝20，所以y＝32时，3x－4＝32，x＝12，即该乘客的乘车里程是12公里．1．已知函数f (x)＝x+5，x≥4，x-2，x<4，则f (3)的值是(　　)A．1　　　B．2　　　C．8　　　D．9A　[f (3)＝3－2＝1．故选A．]2．函数f (x)＝|x－1|的图象是(　　)A　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　DB　[f (x)＝|x－1|＝x-1，x≥1，1-x，x<1．故选B．]3．函数y＝f (x)的图象如图所示，观察图象可知函数y＝f (x)的定义域、值域分别是(　　)A．[－5，0]∪[2，6)，[0，5]B．[－5，6)，[0，＋∞)C．[－5，0]∪[2，6)，[0，＋∞)D．[－5，＋∞)，[2，5]C　[由图象可知，函数的定义域即为自变量的取值范围，即[－5，0]∪[2，6)，值域即为因变量的取值范围，即[0，＋∞)．]4．函数y＝f (x)的图象如图所示，则其解析式为________．f (x)＝2x，0≤x≤1，2，10时，f (x)＝x＋xx＝x＋1，当x<0时，f (x)＝x－1，且x≠0，根据一次函数图象可知C正确．故选C．]3．著名的Dirichlet函数D(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数，则D(D(x))等于(　　)A．0 B．1C．1，x为无理数，0，x为有理数 D．1，x为有理数，0，x为无理数B　[∵D(x)∈{0，1}，∴D(x)为有理数，∴D(D(x))＝1．]4．(2022·河北石家庄一中月考)已知函数f (x)＝3-2x，x≥-1，x+6，x<-1， 若f (x)＝1，则x＝(　　)A．1或－5 B．－1或－5C．－1或5 D．1或5A　[当x≥－1时，由3－2x＝1，得x＝1；当x<－1时，由x＋6＝1，得x＝－5；综上，x＝1或x＝－5．故选A．]5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　)A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米A　[该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝mx，0≤x≤10， 2mx-10m，x>10．由y＝16m，可知x>10．令2mx－10m＝16m，解得x＝13．故选A．]二、填空题6．已知f (x)＝2x，x>0， fx+1，x≤0，则f -43＋f43＝________．4　[∵f -43＝f -43+1＝f -13＝f-13+1＝f 23＝2×23＝43，f 43＝2×43＝83，∴f -43＋f 43＝43＋83＝123＝4．]7．已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式是________．f (x)＝x+1，-1≤x<0，-x，0≤x≤1. 　[由题图可知，当－1≤x<0时，设f (x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，则-a+b＝0，b＝1， ∴a＝1，b＝1，即f (x)＝x＋1．当0≤x≤1时，设f (x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f (x)＝－x．综上，f (x)＝x+1，-1≤x＜0，-x，0≤x≤1． ]8．(2022·河北石家庄外国语学校月考)某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km后到10 km(含10 km)每多走1 km(不足1 km 按1 km计)加价0.5元，10 km后每多走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了13 km，他应交费______元．11.9　[结合已知条件可知，某人坐出租车走了13 km 所交费为y＝6＋(10－3)×0.5＋(13－10)×0.8＝11.9(元)．]三、解答题9．(2022·福建龙岩二中月考)已知函数f (x)＝-xx-4，x≥0，-x，x<0． (1)求f (f (－1))的值；(2)若f (a)>3，求a的取值范围；(3)画出函数y＝f (x)的图象，若方程f (x)＝b有三个解，求b的取值范围(直接写出答案)．[解]　(1)由题意可得f (－1)＝1，则f (f (－1))＝f (1)＝3．(2)当a≥0时，由f (a)＝－a2＋4a>3，得a2－4a＋3<0，解得13，可得a<－3，此时a<－3．综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，3)．(3)作出函数y＝f (x)的图象如图所示：由图象可知，当00，1－a<1，1＋a>1，则f (1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f (1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a，2－a＝－1－3a，a＝－32，不合题意；若a<0，1－a>1，1＋a<1，则f (1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f (1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，－1－a＝2＋3a，a＝－34，综上，a＝－34．故选A．]11．设x∈R，定义符号函数sgn x＝1，x>0， 0，x＝0， -1，x<0，则函数f (x)＝|x|sgn x的图象大致是(　　)A　　　　B　　　　　C　　　　　DC　[由题意知f (x)＝x，x>0，0，x＝0， x，x<0，则f (x)的图象为C中图象所示．]12．函数f (x)＝x-3，x≥10， ffx+5，x<10，则f (7)＝________．8　[∵函数f (x)＝x-3，x≥10， ffx+5，x<10，∴f (7)＝f (f (12))＝f (9)＝f (f (14))＝f (11)＝8．]13．若定义运算a⊙b＝b，a≥b，a，ag(x)的x的取值范围．[解]　(1)f (x)＝2x-1，x≥2， 3，-1g(x)，则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件．此时对应的x满足x>0或x<－2，即不等式f (x)>g(x)的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．月份123合计计费金额/元1147545.6234.6里程收费标准不超过3公里的部分10元(起步价)超过3公里但不超过8公里的部分每公里2元超过8公里的部分每公里3元