人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-2第1课时奇偶性的概念课时学案

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3.2.2　奇偶性第1课时　奇偶性的概念1．理解奇函数、偶函数的定义．(数学抽象)2．了解奇函数、偶函数图象的特征．(直观想象)3．掌握判断函数奇偶性的方法．(逻辑推理)　　填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征．知识点　函数的奇偶性(1)函数的奇偶性是函数的整体性质．(2)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称．(3)当f (x)的定义域关于原点对称时：①若f (－x)≠±f (x)⇔f (x)是非奇非偶函数；②若f (－x)＝±f (x)⇔f (x)既是奇函数又是偶函数．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若f (－1)＝f (1)，则函数y＝f (x)(x∈R)一定是偶函数． (　　)(2)若存在x，使f (－x)＝－f (x)，则函数y＝f (x)一定是奇函数． (　　)(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数． (　　)(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．函数y＝f (x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于________．1　[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1．] 类型1　函数奇偶性的判断【例1】　判断下列函数的奇偶性：(1)f (x)＝x3＋x；(2)f (x)＝1-x2＋x2-1；(3)f (x)＝2x2+2xx+1；(4)f (x)＝x-1，x<0，x+1，x>0．[解]　(1)函数的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R．且f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f (x)，因此函数f (x)是奇函数．(2)由1-x2≥0，x2-1≥0 得x2＝1，即x＝±1．因此函数的定义域为{－1，1}，因为∀x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，且f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，因为∀x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，－x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不成立，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)函数f (x)的定义域为{x|x≠0}，因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}．f (－x)＝-x-1，-x<0，-x+1，-x>0，即f (－x)＝-x+1，x>0，-x-1，x<0．于是有f (－x)＝－f (x)．所以f (x)为奇函数．　判断函数奇偶性的2种方法(1)定义法：(2)图象法：[跟进训练]1．(多选)下列判断正确的是(　　)A．f (x)＝(x－1)1+x1-x是偶函数B．f (x)＝x2+xx<0，-x2+xx>0 是奇函数C．f (x)＝|x＋1|＋|x－1|是偶函数D．f (x)＝1-x2x+3-3是非奇非偶函数BC　[对于A，f (x)的定义域为[－1，1)，定义域不关于原点对称，∴f (x)不是偶函数，∴A错误；对于B，当x>0时，－x<0，∴f (－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f (x)．当x＜0时，－x＞0，∴f (－x)＝－x2－x＝－f (x)，∴f (x)是奇函数，∴B正确；对于C，f (x)的定义域是R．∵f (－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f (x)，∴f (x)是偶函数，∴C正确；对于D，解1-x2≥0， x+3-3≠0， 得－1≤x<0或00 B．f (x)f (－x)<0C．f (x)f (－x)B　[∵f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，又f (x)≠0，∴f (x)f (－x)＝－[f (x)]2<0．故选B．]4．已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b等于________．－1　[由题意可知－1＋2＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．具有奇偶性的函数，其定义域、图象和解析式各有什么特点？[提示]　(1)定义域特点：关于原点对称；(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；(3)解析式特点：偶函数满足f (－x)＝f (x)或f (x)－f (－x)＝0，奇函数满足f (－x)＝－f (x)或f (x)＋f (－x)＝0．2．判断函数奇偶性的常用方法有哪些？[提示]　定义法和图象法．课时分层作业(二十二)　奇偶性的概念一、选择题1．(2022·浙江台州期末)设f (x)是定义在R上的奇函数，若f (－1)＝1，则f (1)＝(　　)A．－1 B．0 C．1 D．2A　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－1．故选A．]2．若函数f (x)＝1，x>0，-1，x<0，则f (x)(　　)A．是偶函数 B．是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案]　B3．若f (x)＝3x3＋5x＋a－1为R上的奇函数，则a的值为(　　)A．0 B．－1 C．1 D．2C　[∵f (x)为R上的奇函数，∴f (0)＝0，得a＝1．]4．函数f (x)＝2x－1x的图象关于(　　)A．y轴对称 B．直线y＝－x对称C．直线y＝x对称 D．坐标原点对称D　[函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (－x)＝－2x＋1x＝－2x-1x＝－f (x)，则函数f (x)是奇函数，则函数f (x)＝2x－1x的图象关于坐标原点对称．故选D．]5．(多选)如果f (x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数为奇函数的是(　　)A．g(x)＝x＋f (x)B．g(x)＝xf (x)C．g(x)＝x2＋f (x)D．g(x)＝x2f (x)AD　[因为f (x)是奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．对于A，g(－x)＝－x＋f (－x)＝－x－f (x)＝－g(x)，所以g(x)＝x＋f (x)是奇函数；对于B，g(－x)＝－xf (－x)＝xf (x)＝g(x)，所以g(x)＝xf (x)是偶函数；对于C，g(－x)＝(－x)2＋f (－x)＝x2－f (x)，所以g(x)＝x2＋f (x)为非奇非偶函数；对于D，g(－x)＝(－x)2f (－x)＝－x2f (x)＝－g(x)，所以g(x)＝x2f (x)是奇函数．故选AD．]二、填空题6．(2022·广东惠州市惠阳区第一中学高中部月考)已知函数f (x)＝x3＋bx2＋x为定义在[2a－1，3－a]上的奇函数，则a＋b的值为________．－2　[因为函数f (x)为定义在[2a－1，3－a]上的奇函数，则有2a－1＋3－a＝0，解得a＝－2，又由函数f (x)为奇函数，则有f (－x)＋f (x)＝0，则-x3＋b(－x)2＋(－x)＋x3＋bx2＋x＝0，所以bx2＝0恒成立，即b＝0，所以a＋b＝－2．]7．已知函数y＝f (x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f (x)＝0的所有实根之和是________．0　[由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0．]8．下列说法中正确的有________．(填序号)①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；②图象关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图象一定过坐标原点；④偶函数的图象一定与y轴相交．①②　[由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f (x)＝1x，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f (x)＝1x2，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以④说法错误．]三、解答题9．已知函数f (x)＝x＋mx，且f (1)＝3．(1)求m的值；(2)判断函数f (x)的奇偶性．[解]　(1)由题意知，f (1)＝1＋m＝3，∴m＝2．(2)由(1)知，f (x)＝x＋2x，定义域为{x|x≠0}．∵∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且f (－x)＝(－x)＋2-x＝－x+2x＝－f (x)，∴函数f (x)为奇函数．10．已知f (x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝(　　)A．21 B．－21 C．26 D．－26B　[设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f (－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13．又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f (3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．故选B．]11．设函数f (x)＝1x2-2x+3，则下列函数中为偶函数的是(　　)A．f (x＋1) B．f (x)＋1C．f (x－1) D．f (x)－1A　[f (x)＝1x2-2x+3＝1x-12+2，则f (x＋1)＝1x2+2，因为y＝1x2+2是偶函数，故f (x＋1)为偶函数．故选A．]12．(多选)(2022·浙江湖州中学月考)已知函数f (x)，g(x)的定义域都为R ，且f (x)是奇函数，g(x) 是偶函数，则下列结论正确的是(　　)A．f (x)|g(x)|是奇函数B．|f (x)|g(x)是奇函数C．f (g(x))是偶函数D．g(f (x))是奇函数AC　[∵f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f (－x)＝－f (x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A：令h(x)＝f (x)|g(x)|，h(－x)＝f (－x)|g(－x)|＝－f (x)|g(x)|＝－h(x)，则f (x)|g(x)|为奇函数，即选项A正确；对于选项B：令h(x)＝|f (x)|g(x)，h(－x)＝|f (－x)|g(－x)＝|－f (x)|g(x)＝|f (x)|g(x)＝h(x)，则|f (x)|g(x)为偶函数，即选项B错误；对于选项C：令h(x)＝f (g(x))，h(－x)＝f (g(－x))＝f (g(x))＝h(x)，则f (g(x))为偶函数，即选项C正确；对于选项D：令h(x)＝g(f (x))，h(－x)＝g(f (－x))＝g(－f (x))＝g(f (x))＝h(x)，则g(f (x))为偶函数，即选项D错误；综上所述A，C正确，故选AC．]13．已知函数f (x)＝x2+x+1x2+1，若f (a)＝23，则f (－a)＝________．43　[根据题意，f (x)＝x2+x+1x2+1＝1＋xx2+1，而h(x)＝xx2+1是奇函数，故f (－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f (a)＝2－23＝43．]14．已知函数f (x)＝1x2+1，令g(x)＝f 1x．(1)已知f (x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，请据此在该坐标系中补全函数f (x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据；(2)求证：f (x)＋g(x)＝1(x≠0)．[解]　(1)∵f (x)＝1x2+1，∴f (x)的定义域为R．又对任意x∈R，都有f (－x)＝1-x2+1＝1x2+1＝f (x)，∴f (x)为偶函数，故f (x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示，(2)证明：∵g(x)＝f 1x＝11x2+1＝x21+x2(x≠0)，∴f (x)＋g(x)＝11+x2＋x21+x2＝1+x21+x2＝1，即f (x)＋g(x)＝1(x≠0)．15．设函数f (x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R．(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f (x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；(2)若f (x)是偶函数，求a的值；(3)在(2)的情况下，画出y＝f (x)的图象并指出其单调递增区间．[解]　(1)我同意王鹏同学的观点．理由如下：假设f (x)是奇函数，则由f (a)＝a2＋3，f (－a)＝a2－4|a|＋3，可得f (a)＋f (－a)＝0，即a2－2|a|＋3＝0，显然a2－2|a|＋3＝0无解，所以f (x)不可能是奇函数．(2)若f (x)为偶函数，则有f (a)＝f (－a)，即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0．经验证，此时f (x)＝x2－2|x|＋3是偶函数．(3)由(2)知f (x)＝x2－2|x|＋3，其图象如图所示，由图可得，其单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞)．x－3－2－1123f (x)＝x2g(x)＝1x奇偶性偶函数奇函数条件设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D结论f (－x)＝f (x)f (－x)＝－f (x)图象特点关于y轴对称关于原点对称