人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-2第2课时奇偶性的应用课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-2第2课时奇偶性的应用课时学案，共16页。

第2课时　奇偶性的应用1．会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式．(数学运算)2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题．(逻辑推理、数学运算) 类型1　利用函数的奇偶性求解析式【例1】　函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式．[解]　设x<0，则－x>0，∴f (－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f (x)是定义域为R的奇函数，∴f (－x)＝－f (x)＝x＋1，∴当x<0时，f (x)＝－x－1．又x＝0时，f (0)＝0，所以f (x)＝-x-1，x<0，0，x=0， -x+1，x>0．　利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)．提醒：若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0．[跟进训练]1．(1)函数f (x)是R上的偶函数，且当x<0时，f (x)＝x(x－1)，则当x>0时，f (x)＝________．(2)设f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝1x-1，则函数f (x)的解析式为__________．(1)x(x＋1)　(2)f (x)＝1x2-1　[(1)设x>0，则－x<0，所以f (－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f (x)为R上的偶函数，故当x>0时，f (x)＝f (－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f (x)＝x(x＋1)．(2)∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)．由f (x)＋g(x)＝1x-1，①用－x代替x得f (－x)＋g(－x)＝1-x-1，∴f (x)－g(x)＝1-x-1，②(①＋②)÷2，得f (x)＝1x2-1．] 类型2　利用函数的单调性与奇偶性比较大小【例2】　设偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是(　　)A．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D．f (π)＜f (－2)＜f (－3)A　[由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则x∈(－∞，0)时，f (x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f (π)＞f (－3)＞f (－2)，故选A．][母题探究](1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系如何？(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小．[解]　(1)因为f (x)在[0，＋∞)上单调递减，所以有f (2)>f (3)>f (π)．又因为f (x)是R上的偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有f (－2)>f (－3)>f (π)．(2)因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数在R上是增函数，因为－3<－2<π，所以f (－3)m， -2≤1-m≤2，-2≤m≤2， 解得m∈-1，12，故m的取值范围为-1，12．(2)若f (x)是偶函数，因为f (x)在[0，2]上单调递减，故在[－2，0)上单调递增，由f (1－m)m， -2≤1-m≤2，-2≤m≤2， 解得m∈-1，12，故m的取值范围为-1，12．　利用函数奇偶性和单调性解不等式的策略(1)结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x1)f (x2)的形式；(2)利用单调性“脱去”函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．提醒：利用好偶函数性质f (x)＝f (|x|)可以避免讨论，简化计算；同时注意函数自身定义域对参数的影响．[跟进训练]3．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f (－3)＝0，则fxx<0的解集为________．(－3，0)∪(3，＋∞)　[结合题意，画出草图如图所示，由fxx<0可知：当x<0时，f (x)>0，此时x∈(－3，0)，当x>0时，f (x)<0，此时x∈(3，＋∞)．故所求不等式的解集是(－3，0)∪(3，＋∞)．] 类型4　证明函数图象的对称性【例4】　(源自人教B版教材)求证：二次函数f (x)＝x2＋4x＋6的图象关于x＝－2对称．[证明]　任取h∈R，因为f (－2＋h)＝(－2＋h)2＋4(－2＋h)＋6＝h2＋2，f (－2－h)＝(－2－h)2＋4(－2－h)＋6＝h2＋2，所以f (－2＋h)＝f (－2－h)，这就说明函数的图象关于x＝－2对称．　(1)要证明函数f (x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (h－x)＝f (h＋x)．(2)要证明函数f (x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b．[跟进训练]4．证明函数f (x)＝xx+1的图象关于点(－1，1)对称．[证明]　函数f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∵f (－1＋x)＋f (－1－x)＝-1+x-1+x+1＋-1-x-1-x+1＝-1+xx＋1+xx＝2，即f (－1＋x)＋f (－1－x)＝2×1，∴f (x)的图象关于点(－1，1)对称．1．(2022·陕西安康高一期中)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x＋2，则当x<0时，f (x)＝(　　)A．－x－2 B．－x＋2C．x－2 D．x＋2C　[∵当x<0时，－x>0，f (－x)＝－x＋2，∴f (x)＝－f (－x)＝x－2，故选C．]2．(2022·山西晋城一中月考)已知函数f (x)为定义在R上的奇函数，且x>0时，f (x)＝x2＋1，则f (－1)＋f (0)＝(　　)A．1　　　B．0　　　C．－2　　　D．2C　[因为函数f (x)为定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)＝－(12＋1)＝－2，所以f (－1)＋f (0)＝－2．故选C．]3．(多选)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且有f (3)>f (1)，则下列各式中一定成立的是(　　)A．f (－1)f (2) D．f (2)>f (0)AB　[∵f (x)为偶函数，∴f (－3)＝f (3)，f (－1)＝f (1)，又f (3)>f (1)，∴f (－3)>f (1)，f (3)>f (－1)都成立．]4．已知定义在R上的偶函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，若f (a)>f (3)，则实数a的取值范围是______．(－3，3)　[由题意可知|a|<3，解得－3f (b)，则a，b的大小关系如何？若f (x)为偶函数呢？[提示]　奇函数时，a>b；偶函数时，|a|<|b|．课时分层作业(二十三)　奇偶性的应用一、选择题1．设函数f (x)＝gx，x<0， x2-2x，>0，若f (x)是奇函数，则g(－2)等于(　　)A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2B　[由已知可得g(－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－(22－2×2)＝0．]2．定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，若f (a)bC．|a|<|b|D．0≤ab≥0C　[∵f (x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴由f (a)1．]5．(多选)(2022·安徽省六安中学期末)函数y＝f (x)是R上的奇函数，当x>0时f (x)＝x2－2x－3，则下列说法正确的是(　　)A．x<0时f (x)＝x2＋2x＋3B．f (0)＝－3C．x<0时f (x)＝－x2－2x＋3D．f (－2)＝3CD　[当x＝0时，f (0)＝0，选项B错误；函数y＝f (x)是R上的奇函数，故f (－x)＝－f (x)．当x<0时，－x>0，则 f (－x)＝x2＋2x－3＝－f (x)，故f (x)＝－x2－2x＋3，故C正确，A错误；又x＝－2<0，故f (－2)＝－4＋4＋3＝3，故D正确．故选CD．]二、填空题6．写出一个图象关于x＝2对称的函数：________．[答案]　f (x)＝x2－4x(答案不唯一)7．若f (x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是________．f (－2)f (1)>f (2)＝f (－2)．]8．已知f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f (x)＝________，g(x)＝________．x2－2　x　[f (－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f (x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f (x)－g(x)＝x2－x－2，又f (x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f (x)＝x2－2，g(x)＝x．]三、解答题9．设定义在[－2，2]上的奇函数f (x)＝x5＋x3＋b．(1)求b的值；(2)若f (x)在[0，2]上单调递增，且f (m)＋f (m－1)>0，求实数m的取值范围．[解]　(1)因为函数f (x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f (0)＝0，解得b＝0(经检验符合题意)．(2)因为函数f (x)在[0，2]上是增函数，又f (x)是奇函数，所以f (x)在[－2，2]上是增函数．因为f (m)＋f (m－1)>0，所以f (m－1)>－f (m)＝f (－m)，所以m－1>－m，①又需要不等式f (m)＋f (m－1)>0在函数f (x)定义域内有意义，所以-2≤m≤2， -2≤m-1≤2，　②解①②得12f (－1)>f (0)，即f (4)0成立．(1)判断f (x)在[－1，1]上的单调性，并证明；(2)解不等式：f x+120，又x1－x2<0，∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)