人教A版高中数学必修第一册第5章5-4-2第1课时周期性与奇偶性课时学案

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5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质第1课时　周期性与奇偶性1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期．(数学抽象、逻辑推理)2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)明日复明日，明日何其多．我生待明日，万事成蹉跎．如果今天是星期六，从明天起为第一天，那么至少再过几天为星期六？三角函数是否具有周期性？知识点1　函数的周期性(1)周期函数：设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．知识点2　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若sin 2π3+π6＝sin π6，则2π3是函数y＝sin x的一个周期． (　　)(2)所有的周期函数都有最小正周期． (　　)[答案]　(1)×　(2)×2．函数y＝sin x+π2的最小正周期为________，该函数是________函数(填奇偶性)．2π　偶　[y＝sin x+π2＝cos x，故此函数的最小正周期为2π且是偶函数．] 类型1　三角函数的周期【例1】　求下列函数的周期：(1)f (x)＝cos 2x+π3；(2)f (x)＝|sin x|．[解]　(1)法一(定义法)：∵f (x)＝cos 2x+π3＝cos 2x+π3+2π＝cos 2x+π+π3＝f (x＋π)，即f (x＋π)＝f (x)，∴函数f (x)＝cos 2x+π3的最小正周期T＝π．法二(公式法)：∵y＝cos 2x+π3，∴ω＝2．又T＝2πω＝2π2＝π．∴函数f (x)＝cos 2x+π3的最小正周期T＝π．(2)法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|，∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)，∴f (x)的最小正周期为π．法二(图象法)：作出函数y＝|sin x|的图象如图所示．由图象可知T＝π．　求三角函数周期的方法(1)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2πω．(2)定义法：即利用周期函数的定义求解．(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝πω．[跟进训练]1．求下列函数的最小正周期：(1)y＝7sin x，x∈R；(2)y＝sin 2x，x∈R；(3)y＝|cos x|，x∈R．[解]　(1)因为7sin (x＋2π)＝7sin x，由周期函数的定义知，y＝7sin x的周期为2π．(2)因为sin 2(x＋π)＝sin (2x＋2π)＝sin 2x，由周期函数的定义知，y＝sin 2x的周期为π．(3) y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．由图象可知，y＝|cos x|的周期为π． 类型2　三角函数奇偶性的判断【例2】　判断下列函数的奇偶性：(1)f (x)＝sin -x2+π2；(2)f (x)＝1-2cosx＋2cosx-1；(3)f (x)＝1+sinx-cos2x1+sin x．[解]　(1)显然x∈R，f (x)＝cos x2，∵f (－x)＝cos -x2＝cos x2＝f (x)，∴f (x)是偶函数．(2)由1-2cosx≥0，2cosx-1≥0，得cos x＝12，∴f (0)＝0，x＝2kπ±π3，k∈Z，∴f (x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－π2，k∈Z．∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．　1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f (x)与f (－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．[跟进训练]2．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x)＝x sin (π－x)；(2)f (x)＝cos π2-xsin π2+x．[解]　(1)f (x)＝x sin (π－x)＝x sin x的定义域为R．由于f (－x)＝－x sin (－x)＝－x(－sin x)＝x sin x＝f (x)，故f (x)为偶函数．(2)f (x)的定义域为R，由已知可得f (x)＝sin x cos x．因为f (－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f (x)，所以f (x)为奇函数． 类型3　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用【例3】　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)A．y＝cos |2x| B．y＝|sin 2x|C．y＝sin π2+2x D．y＝cos 3π2-2x(2)定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，若f (x)的最小正周期为π，且当x∈0，π2时，f (x)＝sin x，则f 5π3等于(　　)A．－12　　　B．12　　　C．－32　　　D．32(1)D　(2)D　[(1)y＝cos |2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin π2+2x＝cos 2x是偶函数，y＝cos 3π2-2x＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π．故选D．(2)f 5π3＝f 5π3-π＝f 2π3＝f 2π3-π＝f -π3＝f π3＝sin π3＝32．][母题探究]若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“11π12”，其他条件不变，结果如何？[解]　f 5π3＝f 5π3-11π12×2＝f -π6＝－f π6＝－sin π6＝－12．　与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．[跟进训练]3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象是(　　)A　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　D(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－1)＝3，则f (2 023)＝________．(1)B　(2)3　[(1)由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．(2)∵f (x)为周期是3的偶函数，∴f (2 023)＝f (3×674＋1)＝f (1)＝f (－1)＝3．]1．函数y＝sin -x2+π4的最小正周期为(　　)A．π　　　B．2π　　　C．4π　　　D．π2C　[T＝2π-12＝4π．故选C．]2．函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数A　[f (x)＝sin (－x)＝－sin x，∴f (－x)＝sin x．∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．故选A．]3．函数f (x)＝7sin 23x+π2是(　　)A．周期为3π的偶函数　 B．周期为2π的奇函数C．周期为3π的奇函数　 D．周期为4π3的偶函数A　[∵f (x)＝7cos 23x，∴T＝3π，为偶函数．故选A．]4．若函数y＝f (x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f (1)＝3，则f (5)＝________．－3　[由已知得f (x＋3)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)，所以f (5)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－3．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，则f (x)是周期函数吗？[提示]　不一定．若T≠0，则f (x)是周期函数，否则不是．2．你能写出计算f (x)＝A sin (ωx＋φ)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式吗？[提示]　函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都为T＝2πω．3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？[提示]　正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．课时分层作业(四十九)　周期性与奇偶性一、选择题1．(2022·山东泰安一中月考)函数f (x)＝sin ωx+π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于(　　)A．5　　　B．10　　　C．15　　　D．20B　[由已知得2πω＝π5，又ω＞0，所以2πω＝π5，ω＝10．故选B．]2．函数y＝|cos x|－1的最小正周期为(　　)A．π2　　　B．π　　　C．2π　　　D．4πB　[因为函数y＝|cos x|－1的周期同函数y＝|cos x|的周期一致，由函数y＝|cos x|的图象(略)知其最小正周期为π，所以y＝|cos x|－1的最小正周期也为π．故选B．]3．下列函数中最小正周期为π的偶函数是(　　)A．y＝sin x2 B．y＝cos x2C．y＝cos x D．y＝cos 2xD　[A中函数是奇函数，B、C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．]4．已知f (x)在R上是奇函数，且满足f (x＋4)＝f (x)，当x∈(0，2)时，f (x)＝2x2，则f (7)＝(　　)A．2　　　B．－2　　　C．－98　　　D．98B　[因为f (x＋4)＝f (x)，所以函数f (x)的周期是4．因为f (x)在R上是奇函数，且当x∈(0，2)时，f (x)＝2x2，所以f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝－f (1)＝－2．故选B．]5．(多选)若函数y＝sin (2x＋φ)的图象关于y轴对称，那么φ的取值可以是(　　)A．－π2　　　B．π2　　　C．π　　　D．5π2ABD　[由题意可知函数y＝sin (2x＋φ)是偶函数，故φ＝π2＋kπ，k∈Z，故选ABD．]二、填空题6．已知a∈R，函数f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．0　[因为f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f (0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0．]7．若函数f (x)＝2cos ωx+π3的最小正周期为T，且T∈(1，4)，则正整数ω的最大值为________．6　[∵T＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π，∴ω的最大值是6．]8．若f (x)为奇函数，当x＞0时，f (x)＝cos x－sin x，当x＜0时，f (x)的解析式为________．f (x)＝－cos x－sin x　[x＜0时，－x＞0，f (－x)＝cos (－x)－sin (－x)＝cos x＋sin x，因为f (x)为奇函数，所以f (x)＝－f (－x)＝－cos x－sin x，即x＜0时，f (x)＝－cos x－sin x．]三、解答题9．已知函数y＝12sin x＋12|sin x|．(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求出其最小正周期．[解]　(1)y＝12sin x＋12|sin x|＝sinx，x∈2kπ，2kπ+π，k∈Z，0，x∈2kπ-π，2kπ，k∈Z， 图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π．10．(2022·华南师大附中期中)图象为如图的函数可能是(　　)A．y＝x·cos x B．y＝x·sin xC．y＝x·|cos x| D．y＝x·2xA　[根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个，而y＝x·sin x是偶函数，y＝x·2x非奇非偶，由此可排除B，D；当x＞0时，y＝x·|cos x|≥0，由此可排除C．故选A．]11．定义在R上的函数f (x)周期为π，且是奇函数，f π4＝1，则f 3π4的值为(　　)A．1　　　B．－1　　　C．0　　　D．2B　[由已知得f (x＋π)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)，所以f 3π4＝f 3π4-π＝f -π4＝－f π4＝－1．]12．(2022·江苏南通中学月考)函数f (x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f (a)＝2，则f (－a)的值为(　　)A．3　　　B．0　　　C．－1　　　D．－2B　[可构造g(x)＝x3＋sin x(x∈R)，则g(x)＝x3＋sin x(x∈R)为奇函数，由g(－x)＝－g(x)得f (－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1，又f (a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1．所以f (－a)＝0．也可研究题中f (a)与所求的f (－a)之间的关系，得f (－a)＋f (a)＝2．]13．函数f (x)＝12sin ωx-π2(ω≠0)，则f (x)是________(填“奇函数”或“偶函数”)，若f (x)的周期为π，则ω＝________．偶函数　±2　[f (x)＝12sin ωx-π2＝－12cos ωx．∴f (－x)＝－12cos (－ωx)＝－12cos ωx＝f (x)，∴f (x)为偶函数，又T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝±2．]14．若定义在R上的函数f (x)满足f (x)·f (x＋2)＝13．(1)证明函数f (x)是周期函数；(2)若f (1)＝2，求f (99)的值．[解]　(1)证明：因为f (x)·f (x＋2)＝13，所以f (x＋2)＝13fx，所以f (x＋4)＝13fx+2＝1313fx＝f (x)，所以函数f (x)是周期为4的周期函数．(2)由(1)得f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝13f1＝132．15．已知函数f (x)＝cos π3x，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 023)的值．[解]　因为f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0，即每连续六项的和均为0．所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 023)＝f (2 023)＝f (1)＝cos π3＝12．函数y＝sin xy＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数