人教A版高中数学必修第一册第5章5-4-3正切函数的性质与图象课时学案

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5.4.3　正切函数的性质与图象1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(直观想象、数学抽象)2．能利用正切函数的图象与性质解决有关问题．(直观想象、数学运算)类比借助单位圆绘制函数y＝sin x图象的方法，先画出y＝tan x的图象，进而借助图象分析函数性质，这就是本节课的知识，让我们来一起学习．知识点　正切函数的图象与性质正切函数在整个定义域上是单调递增的吗？[提示]　不是．正切函数在每一个区间kπ-π2，kπ+π2(k∈Z)上是单调递增的，但在整个定义域上不具有单调性．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是R． (　　)(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心． (　　)(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±π2，k∈Z． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)× 类型1　正切函数的图象【例1】　函数y＝tan 12x-π3在一个周期内的图象是(　　)　A　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　DA　[法一：利用“三点两线法”列表、描点、连线的方法画简图比较．法二：当x＝2π3时，tan 12×2π3-π3＝0，排除C、D．当x＝5π3时，tan 12×5π3-π3＝tan π2，无意义，排除B．故选A．]　解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法(1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．(2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定正确答案．[跟进训练]1．(1)图中的图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈-3π2，3π2内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)a　　　　　　　　　　bc　　　　　　　　　　dA．①②③④ B．①③④②C．③②④① D．①②④③(2)(多选)与函数y＝tan 2x-π4的图象不相交的一条直线是(　　)A．x＝3π8　　B．x＝－π2　　C．x＝π4　　D．x＝－π8(1)D　(2)AD　[(1)y＝tan (－x)＝－tan x在-π2，π2上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③．故选D．(2)令2x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝3π8＋kπ2，k∈Z，∴直线x＝3π8＋kπ2，k∈Z与函数y＝tan 2x-π4的图象不相交，令k＝－1，得x＝－π8，令k＝0，得x＝3π8．] 类型2　正切函数的周期性、奇偶性与对称性【例2】　(1)函数f (x)＝sin x＋tan x的奇偶性为(　　)A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数(2)y＝tan 2x+π3的最小正周期为________；对称中心为________．(1)A　(2)π2　kπ4-π6，0(k∈Z)　[(1)由题意可知，自变量x的取值范围为xx≠π2+kπ，k∈Z．又f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)，∴f (x)为奇函数，故选A．(2)T＝π2，令2x＋π3＝kπ2(k∈Z)，则x＝kπ4－π6(k∈Z)．所以对称中心为kπ4-π6，0(k∈Z)．]　与正切函数有关的周期性、奇偶性解题策略(1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝πω，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x)与f (x)的关系．[跟进训练]2．(1)函数y＝tan x+π5的一个对称中心是(　　)A．(0，0)　　B．π5，0　　C．4π5，0　　D．(π，0)(2)函数f (x)＝|tan 2x|是(　　)A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数(1)C　(2)D　[(1)令x＋π5＝kπ2，k∈Z，得x＝kπ2－π5，k∈Z，所以函数y＝tan x+π5的对称中心是kπ2-π5，0，k∈Z．令k＝2，可得函数的一个对称中心为4π5，0．(2)f (－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f (x)为偶函数，T＝π2．故选D．] 类型3　正切函数的单调性　比较大小【例3】　(源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)tan (－3)，tan (－3.1)；(2)tan 7π6，tan 7π5．[解]　(1)由于 －π2－π<－3.1<－3<π2－π，且函数y＝tan x 在区间-π2-π，π2-π上单调递增，因此tan (－3.1)0时，先把ωx＋φ看成一个整体，解－π2＋kπ<ωx＋φ<π2＋kπ，k∈Z即可；当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．[跟进训练]3．(1)函数y＝tan x-π4的单调递增区间为________．(2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．①tan 220°________tan 200°；②tan 65π________tan -137π．(1)kπ-π4，kπ+3π4，k∈Z　(2)①>　②>　[(1)由kπ－π2tan 200°．②tan 65π＝tan π+π5＝tan π5，tan -137π＝tan -2π+π7＝tan π7，因为－π2<π7<π5<π2，y＝tan x在-π2，π2上单调递增，所以tan π7tan -137π．]1．函数y＝2tan 3x+π4的最小正周期是(　　)A．π6　　B．π3　　C．π2　　D．2π3B　[T＝π3．故选B．]2．(多选)已知函数f (x)＝tan 2x，则下列结论正确的是(　　)A．f (x)是奇函数B．f (x)的定义域是xx≠kπ+π4，k∈ZC．f (x)在-π4，π4上单调递增D．y＝f (x)的图象的对称中心是kπ4，0，k∈ZACD　[f (x)的定义域为xx≠kπ2+π4，k∈Z，B错误；f (－x)＝tan (－2x)＝－tan 2x＝－f (x)，∴f (x)是奇函数，A正确；令－π2＋kπ<2x<π2＋kπ，k∈Z，则－π4＋kπ2tan 36°＝tan π5．故选ABC．]二、填空题6．若函数y＝3tan ωx+π6的最小正周期是π2，则ω＝________．±2　[由πω＝π2可知ω＝±2．]7．若tan 2x-π6≤1，则x的取值范围是________．x-π6+kπ2tan -12π5C．tan 4tan 665°AB　[已知正切函数y＝tan x在-π2，π2和π2，3π2上单调递增，∵tan 47π＝tan π-37π＝tan -37π，且－37π<37π，∴tan 47π－2π5，∴tan -134π>tan -125π，故B正确；∵π2<3<π<4<3π2，∴tan 4>0>tan 3，故C错误；∵tan 281°＝tan (360°－79°)＝tan (－79°)，tan 665°＝tan (720°－55°)＝tan (－55°)，且－90°<－79°<－55°<0°，∴tan 281°