陕西省宝鸡实验高级中学2024届高三上学期12月联考理科数学试题

这是一份陕西省宝鸡实验高级中学2024届高三上学期12月联考理科数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
1.设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知向量，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则.②若，，则.
③若，，则.④若，，则.
其中正确命题的序号是（ ）
A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③
4.已知是定义在上的奇函数，且当时，单调递增，要确保的零点唯一，则的值可以为（ ）
A.-4B.0C.-5D.5
5.若的展开式中含有常数项（非零），则正整数的可能值是（ ）
A .3B.4C.5D.6
6.某地市在 2023 年全市一模测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.函数的部分图象如图，轴，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前项和（ ）
A. B. C. D.
9.已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（ ）
A. B.
C. D.
10.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（ ）
A.3937万元B.3837万元C.3737万元D.3637万元
11.已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为（3，0），则的最大值为（ ）
A.7B.12C.14D.11
12.已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.若，则__________.
14.在中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，且.已知， S 为的面积，则的最大值是__________.
15.已知数列的前项和为，若，点在直线上.则数列的通项是__________.
16.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（本小题满分12分）
设函数.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）设函数对任意，有，且当时，；求函数在上的解析式.
18.（本小题满分12分）
2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，此会的胜利召开进一步促进了国内产品走出国门.某工厂要为“一带一路”沿线某国生产一批内径为28.50mm的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的1000个零件中抽出50个，测得其内径尺寸（单位：mm）如下：
28.51×8，28.52×6，28.50×4，28.48×11
，28.54×1，28.53×7，
这里用表示有n个尺寸为的零件，p， q均为正整数.若从这50个零件中随机抽取1个，则这个零件的内径尺寸小于28.49mm的概率为.
（1）求p，q的值.
（2）已知这50个零件内径尺寸的平均数为，标准差为，且，在某次抽检中，若抽取的零件中至少有80%的零件内径尺寸在内，则称本次抽检的零件合格.试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由.
19.（本小题满分12分）
如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若，，，，在棱上，且，求与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线：的准线与椭圆相交所得线段长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在y轴上截得的弦.当在抛物线C上运动时，弦的长是否有定值？说明理由；
（3）过作互相垂直的两条直线交抛物线C于G、H、R、S，求四边形的面积最小值.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点， ，证明：.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设函数，当时，，求的取值范围.
2024届高三联考数学（理科）
参考答案
一、选择题：
二、填空题
13. 14.3 15. 16.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.解析：（1）由已知
又因为则
所以，即，
所以函数在区间上的最大值和最小值分别为和0.
（2）由可知函数最小正周期为，
又由（1）可知
当时，则
由知
当时，则
由知
综上，.
18.解：（1）依题意可得，解得
（2）将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为
，
所以，
所以，，
所以这60个零件内径尺寸在内的个数为50-1-7-5=37.
因为，所以这次抽检的零件不合格.
19.解：（1）过点作垂足为
∵平面平面，平面平面
又面，，∴平面.
又∵平面，∴
∵，∴，
∵，，∴平面 .
（2）由（1）知平面，∴
∴在三角形中，，，，∴
在中， ，，，
由勾股定理逆定理可知，又∵，
以点为坐标原点，分别以，，方向为X轴Y轴Z轴建立坐标系如图所示
则，，，，，
∴，，
设平面的法向量为，则，即可知
设与平面所成角为，则
∴与平面所成角的正弦值为.
20. 解：（1）由已知，抛物线的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是，把代入椭圆方程化简得，解得.
所以抛物线的方程为.
（2）假设在抛物线上运动时弦长有定值，理由如下
设在抛物线上，可知到轴距离为
根据圆的弦长公式可知：
由已知：，
所以
则在抛物线上运动时弦的长的定值为4.
（3）设过的直线方程为，，
由得得，则
同理得
所以，四边形的面积
即四边形的面积的最小值为32.
21. 解:（1）的定义域为，
（i）时，即时，，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）时，即或时
①若，在上所以在单调递减.
②若时，令得，或.
当时，；
当，.
所以在，单调递减，
在单调递增.
综上，若时，在单调递减.
若时，在，单调递减，
在单调递增.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点，满足，所以，
不妨设，则.由于
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，即为到的距离的最小值，
.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，
此时的直角坐标为.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（2）当时，
，
当时等号成立，
所以当时，等价于.①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
C
C
A
B
B
D
A
C
D