四川省成都市某校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省成都市某校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共17页。

2．解选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号．解非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式，再根据元素是自然数求出集合内的元素即可.
【详解】解不等式，解得，
又因为，所以满足的的值有，
所以集合为，
故选：C
2. 命题：“，都有”的否定是（ ）
A. ，都有B. ，有
C. ，都有D. ，有
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】命题：“，都有”为全称量词命题，
其否定为：，有.
故选：D
3. 在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形面积的最大值为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】设直角三角形两直角边长分别、，则，再利用基本不等式计算可得.
【详解】设直角三角形两直角边长分别为、，
依题意可得，
所以三角形的面积，当且仅当时取等号.
故选：B
4. 已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A. 9B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得.
【详解】设，则，所以，
则，所以.
故选：A
5. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负，分母不为零，零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可.
【详解】对于函数，则，解得或，
即函数的定义域为.
故选：C
6. 已知函数是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】因为为增函数，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
故选：B
7. 定义在R上的偶函数对都有，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，并比较的大小，再结合函数是偶函数，即可判断选项.
【详解】由题意可知，任意，，
所以函数在区间单调递增，
因为函数为偶函数，所以在区间上单调递减，
，，
所以，
所以，再根据函数是偶函数，
可得.
故选：D
8. 若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得与的图象有两个交点，画出的图象如图，结合图象可得出答案.
【详解】关于x的方程有两个不等的实数解，
即与的图象有两个交点，画出的图象如图，
由图象可得：.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数在区间上不具有单调性，则a的值可以是（ ）
A. B. C. 9D. 4
【答案】BD
【解析】
【分析】求出二次函数的对称轴，从而得到，求出，得到答案.
【详解】的对称轴为，
由于在区间上不具有单调性，故，
解得，所以AC错误，BD正确.
故选：BD
10. 若不等式的解集为或，则（ ）
A. B. 不等式的解集为
C. D. 集合只有1个真子集
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用一元二次不等式解集的性质，求出，后，依次代入计算可判断各选项.
【详解】因为不等式的解集为或,
所以，为方程的两根，
所以,，解得，，所以，故正确；
将的值代入得，解得，故错误；
，故正确；
将的值代入可得，解得，
所以只有一个真子集，故正确.
故选：.
11. 下列结论，正确的是（ ）
A. 函数的单调增区间是
B. 函数（且）的图像恒过定点
C. 函数与是同一函数
D. 函数的值域为
【答案】BC
【解析】
【分析】求出函数的定义域，参数分离结合反比例函数的性质，即可得出函数的单调区间；解，即可得出函数图象上的顶点；求出的定义域，化简函数解析式，即可判断C项；换元得出，根据二次函数的性质，即可得出函数的值域.
【详解】对于A项，因为，定义域为.
根据反比例函数的性质，可知在上单调递增，在上单调递增，故A错误；
对于B项，由可得，，，
所以，函数的图象恒过点.故B正确；
对于C项，由可得，，所以定义域为；
由可得，，所以定义域为，定义域相同.
且，
所以，为同一个函数.故C正确；
对于D项，令，则，
所以，.
根据二次函数的性质可知，当时，该函数在处取得最小值，无最大值.
所以，函数的值域为.故D错误.
故选：BC.
12. 已知函数对任意的x，都有，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. 在上有最大值D. 的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】令可判断A；令，结合奇偶函数的定义可判断B；由抽象函数的性质结合单调性的定义可判断C；利用奇偶性和单调性解不等式可判断D.
【详解】令，则，解得：，故A正确；
令，则，所以为奇函数，故B错误；
，，，，
所以，所以，
所以在上单调递增，所以在上有最大值，故C正确；
由，为奇函数，
可得，又因为在上单调递增，
所以，即，解得：或,故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 计算：________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据根式的性质及幂的运算法则计算可得.
【详解】
.
故答案为：
14. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，________．
【答案】
【解析】
【分析】利用奇函数的定义，卡好变量范围，代入解析式中求解即可.
【详解】是定义在上的奇函数，且当时，
，，
故答案为：
15. 命题，若是假命题，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】得到为真命题，只需，，求出的单调性，得到，得到答案.
【详解】若是假命题，则为真命题，
故，只需，
其中，
故上单调递减，在上单调递增，
其中，，
故，
所以，
故答案为：
16. 已知函数的最大值为m，若正数a，b满足，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设，，求出，结合函数的单调性作出函数的图象，结合图象，即可得出，.根据“1”的代换，推得，结合基本不等式，即可得出答案.
【详解】设，，
根据指数函数的性质可知，函数在上单调递增，且；
根据二次函数的性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，且.
作出函数的图象，
可知的最大值为A点的纵坐标，即，
所以，，则.
又因为，
所以，.
当且仅当，且，即，时等号成立.
所以，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合．
（1）设全集，若，求﹔
（2）若______（请从①，②是的充分条件，③这三个条件中选一个填入），求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，由交集和补集的定义求解即可；
（2）选①②③，可得出，即，解不等式即可求出答案.
【小问1详解】
由得：，故
所以或
由得：，故
故当时，故
【小问2详解】
选①，∵，∴
∴
解得：，故a的取值范围是，
选②，因为是的充分条件，∴，
选③，因为，所以，
注：选②或③，解法及其结果同①，具体过程同上．
18. 已知函数是奇函数，且．
（1）求a，b的值：
（2）判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明你的判断．
【答案】（1）
（2）函数上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知结合奇函数的性质得出，列出方程组，求解得出的值，代入函数解析式，求出函数的定义域，检验即可得出答案；
（2），且，作差整理得出，进而判断符号，即可推得.
【小问1详解】
因为函数是奇函数，且，
所以，
所以，，解得，
所以，，定义域为.
，都有，
所以，是奇函数，满足题意，
故.
【小问2详解】
函数在上单调递减．
由（1）知，
，且，
则
.
因为，且，
所以，，，，
故，
所以，
所以，函数在上单调递减．
19. 已知函数是二次函数，且满足．
（1）求函数的解析式：
（2）求函数在区间的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，利用待定系数法求函数的解析式.
（2）根据二次函数的性质讨论单调性即可得到最小值.
【小问1详解】
由题意设，
则 ，
，
∴由得，
∴，即.
故函数的解析式为.
【小问2详解】
由（1）知函数的对称轴为直线，开口向上，
①当，即时，在区间上单调递减，
此时；
②当，即时在区间上先减后增，
此时；
③当时，在区间上单调递增，
此时.
综上所述，.
20. 已知函数（，且）在上的最大值比最小值大2．
（1）求的值；
（2）设函数，求证：为奇函数的充要条件是．
【答案】（1）2； （2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）对参数分类讨论分别求出最大值和最小值，然后代入求出的值即可；
（2）先将代入证明奇函数得到充分性，再由奇函数求出得到必要性即可.
【小问1详解】
当时，此时单调递增，，
此时有，解得或（舍）；
当时，此时单调递减，，
此时有，方程无解，
所以的值为2；
【小问2详解】
由（1）知
先证充分性：
当时，，
所以，
所以此时为奇函数；
再证必要性：
因为为奇函数，且的定义域为，
所以，
即，
所以，
综上可知为奇函数的充要条件是．
21. 某地区上年度居民生活水价为2.8元/，年用水量为，本年度计划将水价降到2.3元/到2.6元/之间，而用户期望水价为2元/．经测算，下调水价后新增用水量和实际水价与用户的期望水价的差成反比（比例系数为k），已知该地区的水价成本价为1.8元/
（1）写出本年度水价下调后水务部门的收益y（单位：元）关于实际水价x（单位：元/）的函数解析式：（收益=实际水量×（实际水价一成本价））
（2）设，当水价最低定为多少时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长20%？
（3）设，当水价定为多少时，本年度水务部门的收益最低？并求出最低收益．
【答案】（1）
（2）2.4元/
（3）当水价定为2.4元/时，本年度水务部门的收益最低，最低收益为1.8a元
【解析】
【分析】（1）由题意分析得到实际水量为进而求解即可；
（2）表示出本年度最低收益为，列出不等式进行求解即可；
（3）令，将函数化成，运用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意知，新增水量为：
所以实际水量为：
所以： .
【小问2详解】
由题意值：
即，化简得：，
解得：或，
又∵，
∴，
故当水价最低定为2.4元/时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长20%．
【小问3详解】
由题意知：
令，则 ，
由均值不等式有： （当且仅当时，等号成立）
∴当，即时，y取得最小值，最小值为1.8a，
故当水价定为2.4元/时，本年度水务部门的收益最低，最低收益为1.8a元．
22. 已知函数的定义域为，其中．
（1）求的取值范围．
（2）当时，是否存在实数满足对，都使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）不等式在上恒成立.分类讨论即可得出答案；
（2）由题意，根据题意可得即可，令，分类讨论求解即可.
【小问1详解】
由题知：不等式在上恒成立.
当时，不等式变为，显然在上恒成立，符合题意.
当时，要不等式在上恒成立，则，
解得：.
综上：a的取值范围是 .
【小问2详解】
假设存在实数满足题意．
∵，∴.
令，则，
∵对，都使得成立.
∴不等式，即在区间恒成立，
①当时，不等式显然组成立，此时：
②当时，不等式可化为，，
由均值不等式有： （当且仅当时，等号成立），
∴，即，
由不等式恒成立有：.
③当时，不等式可化为：，
由均值不等式有：
（当且仅当时，等号成立），∴即，
由不等式恒成立有：：