四川省甘孜藏族自治州泸定中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省甘孜藏族自治州泸定中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共13页。

注意事项：
1．全卷总分150分，考试时间120分钟．
2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．
3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．请按照题号在答题卡上各题对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题卷上答题均无效．
第Ⅰ卷 选择题
一． 单选题（每小题5分，共40分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出集合和范围，直接求交集即可得解.
【详解】，
，
所以，
故选：B.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用特称命题的否定形式判定即可.
【详解】根据特称命题的否定形式可知命题“，”的否定是“，”.
故选：C
3. 已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的概念即可求解.
【详解】若集合，则，但，故选：C.
4. 若， ，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数的单调性和值域，比较算式的大小.
【详解】幂函数在上单调递增，值域为，
由，则，又，
所以.
故选：D
5. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.
【详解】,又，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
6. 已知，，且，则的最大值为（ ）
A. 0B. 1C. -1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式，求解即可得出答案.
【详解】因为，，
则由基本不等式可得，
所以有，
当且仅当时等号成立.
故选：B.
7. 设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由对称轴求解.
【详解】解：函数的对称轴方程为：，
因为函数在区间上是减函数，
所以，解得，
故选：B
8. 已知是定义在上的奇函数，，若且满足，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设易知奇函数在、上递增，结合且或，即可求解集.
【详解】由题设在上递增，又是定义在上的奇函数，
所以在上递增，而，则，
由，有或，则或，
所以不等式解集为.
故选：A
二、多选题（每题5分，共20分．全对得5分，漏选得2分，错选0分．）
9. （多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A. ，B. 所有的正方形都是矩形
C. ，D. 至少有一个实数x，使
【答案】AC
【解析】
【分析】AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.
【详解】A.原命题的否定为：，，是全称量词命题；因为，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；
B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；
C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程，，所以，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.
D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有，如时，，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.
故选：AC
10. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】BC
【解析】
【分析】
分别求出四个答案中两个函数的定义域和对应法则是否一致，若定义域和对应法则都一致即是相同函数.
【详解】对于：，两个函数的对应法则不一致，所以不是相同函数，故选项不正确；
对于：与定义域和对应关系都相同，所以是相同函数，故选项正确；
对于：与定义域都是，，所以两个函数是相同函数，故选项正确
对于：定义域是，定义域是，两个函数定义域不同，所以不是相等函数，故故选项不正确；
故选：
【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为相同函数，判断的依据是两个函数的定义域和对应法则是否一致，属于基础题.
11. 对于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由特值法可判断A、D；由不等式的性质可判断B、C．
【详解】解：对于A，当时，，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，因为，当时，，故D错误．
故选：BC．
12. 已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（ ）
A -2B. 1C. 2D. 3
【答案】CD
【解析】
【分析】由求出的范围即可得解.
【详解】因为函数是上的减函数，
所以，解得，
故选：CD
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题（每题5分，共20分．）
13. 已知幂函数f(x)=（m2-m-1）xm在x∈（0，+∞）上单调递减，则实数m=_________
【答案】-1
【解析】
【分析】根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果．
【详解】由题意，解得或，
又函数在区间上单调递减，则，∴．
故答案为：．
14. 已知，，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】需将y的符号转化成-y，再采用同向可加性进行求解
【详解】，根据同向可加性，满足，即
【点睛】同向可加性的适用前提是符号必须相同：同为大于号或同为小于号
15. 若函数的定义域为，则的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可.
【详解】因为的定义域为，则，
所以的定义域为.
故答案为：.
16. 已知函数同时满足：①对于定义域上任意，恒有；②对于定义域上的任意当时，恒有，则称函数为“理想函数”.在下列三个函数中：，，“理想函数”有______________（只填序号）
【答案】
【解析】
【分析】根据题中条件，先判断函数奇函数，且单调递减；再逐项判断所给函数，即可得出结果.
【详解】因为对于定义域上任意，恒有，即，
所以是奇函数；
又对于定义域上的任意当时，恒有，所以函数在定义域内单调递减；
函数的定义域为，取，，则，，此时，不满足在定义域内单调递减；排除；
由得，所以是偶函数，排除；
对于函数，根据二次函数的单调性，可得时，单调递减；时，单调递增，且，所以函数在定义域内单调递减；
又当时，，所以；
当时，，所以；
综上为奇函数；故满足题意.
故答案：.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，以及简单函数的单调性，属于基础题型.
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分．）
17. 设全集，，，求
（1）
（2）；
（3）
【答案】（1）或；
（2）或；
（3）或.
【解析】
【分析】化简A，结合集合的补集，交集的运算即可求解.
【小问1详解】
，，
结合数轴，由图可知或；
【小问2详解】
又，
或；
【小问3详解】
或，或.
18. 已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入，得到一元二次不等式，解一元二次不等式即可；
（2）函数中涉及到最高次项系数含参问题，需将是否为0进行分类讨论.
【小问1详解】
当时，，，
即，，
所以：或，
所以不等式的解集为：.
【小问2详解】
①当时，恒成立，
②当时，恒成立，，即，
综上所述：的取值范围为：．
19. 函数是定义在R上的奇函数，当时，．
（1）求函数在R上的解析式；
（2）在坐标系里画出函数的图象，并写出函数的单调递减区间．

【答案】（1）
（2）图象见解析，函数的单调递减区间为：，．
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，求解得出时，的解析式，即可得出答案；
（2）根据函数图象，即可得出函数的单调递减区间.
【小问1详解】
∵函数是定义在R上的奇函数，
当时，有，，
∴，
∴
【小问2详解】
函数的图象为：

由图象可得，函数的单调递减区间为：，．
20. 某企业计划建造一个占地面积为40平方米，高为2米的长方体冷库，已知冷库正面每平方米的造价为220元，顶部和地面每平方米的造价为200元，其他三个面每平方米的造价为180元.设冷库正面的长为x米.
（1）求建造这个冷库的总费用y（单位：元）与该冷库正面的长x（单位：米）之间的函数关系式.
（2）当这个冷库正面的长为何值时，建造这个冷库的总费用y最低？总费用最低是多少？
【答案】（1）
（2）冷库正面的长为6米时，建造这个冷库的总费用y最低，最低是25600元
【解析】
【分析】（1）根据题意建立函数关系即可；
（2）利用基本不等式求最值即可.
【小问1详解】
因为该冷库正面的长为x米，所以该冷库侧面的长为米，
则建造这个冷库的总费用，
即；
【小问2详解】
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则当这个冷库正面的长为6米时，建造这个冷库的总费用y最低，最低是25600元.
21. 已知函数．
（1）求的解析式；
（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明详见解析
【解析】
【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.
（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.
【小问1详解】
，
所以.
【小问2详解】
，
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，所以，
所以，所以在上单调递增.
22. 已知定义在上的奇函数是增函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用及即可确定与的值，则可得到的解析式；
（2）利用为奇函数，且在上为增函数将不等式转化为求解.
【详解】解：（1）∵是区间上的奇函数，
∴,又，
∴∴，此时，
为奇函数；
（2）∵，且为奇函数，
∴
又函数在区间上是增函数
∴，解得
故关于的不等式的解集为．